Конспект урока: Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки

Многочлен — это сумма одночленов. В результате преобразований некоторые многочлены можно заменить произведением, т. е. разложить на множители .  

Один из способов разложения на множители — это вынесение общего множителя за скобки . 

Общим множителем для членов многочлена может быть число, переменная, степень, произведение. Если члены многочлена содержат различные степени одной и той же переменной, то за скобки выносим степень с наименьшим показателем.

Разложите многочлен на множители:

а) $25x-5+15y$;

б) $18x^5-3x^4+x^3$;

в) $27x^2{y}^3-18x^3{y}^2+54x{y}^5$.

Решение

а) $25x-5+15y= 5(5x-1+3y)$, общий множитель — $5$;

б) $18x^5-3x^4+x^3=x^3(18x^2-3x+1)$, общий множитель — $x^3$;

в) $27x^2{y}^3-18x^3{y}^2+54x{y}^5=9x{y}^2\left(3xy-2x^2+6y^3\right)$, общий множитель — $9x{y}^2$.

В заданиях такого вида всегда можно сделать проверку, выполнив обратное действие — раскрытие скобок, например:

Рассмотрим выражения, в которых общим множителем является двучлен.

Разложите на множители выражение:  

а) $8(x-y)+a^2(x-y)$;

б) $6(x-y)-d(y-x)$.

Решение

а) $8(x-y)+a^2(x-y)$. Для данного выражения общий множитель — это $(x-y)$, вынесем его за скобки:

$8(x-y)+a^2(x-y)=(x-y)\left(8+a^2\right)$;

б) $6(x-y)-d(y-x)$. В этом выражении множители $(x-y)$ и $(y-x)$ отличаются друг от друга знаком.

Если во втором выражении вынести за скобки число $-1$, то знаки у слагаемых внутри скобок изменятся:

$y-x=-1\cdot (-y+x)=-1\cdot (x-y)=-(x-y)$,

значит, при подстановке этого результата в данное в условии выражение, изменится знак перед вторым произведением:

$6(x-y)-d(y-x)=6(x-y)+d(x-y)=(x-y)(6+d)$.

Разложение на множители упрощает выполнение некоторых заданий, например, решение уравнений. 

Решите уравнение $5x^2-14x=0$.

Решение

Вынесем за скобки общий множитель:

$x(5x-14)=0$.

Произведение равно 0, значит, хотя бы один из множителей равен 0:

$x=0$ или $5x-14=0$,

                  $5x=14$,

                  $x=2,8$.

Ответ: $0; 2,8$.

1. Разложите на множители:

а) $y^4-5y^2-y$;

б) $16x^5-4x^4+28x^3$;

в) $11an-22a{n}^2-33a^{2}n$.

2. Вынесите за скобки общий множитель:

а) $5(a-b)+x(a-b)$;

б) $b(x-y)+(x-y)$;

в) $4a(7x-3)+3(3-7x)$;

г) $8m(2a-1)-(1-2a)$.

3. Решите уравнение:

     а) $4x^2-x=0$;

     б) $0,7x^2-7x=0$;

     в) $\frac{1}{5}{a}^2+a=0$.