Конспект урока: Многочлен и его стандартный вид. Сложение и вычитание многочленов

Многочлен и его стандартный вид

Мы уже умеем умножать и возводить в степень одночлены, знаем, что в результате применения этих операций получим тоже одночлены. А что будет, если сложить или вычесть одночлены? 

Рассмотрим выражение $5x^{2}y-2xy+4y-3$. Оно представляет собой сумму одночленов $5x^{2}y$, $-2xy$, $4y$, $-3$.

Одночлены, из которых составлен многочлен, — это члены многочлена.

Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех – трехчленом.

Одночлен — это многочлен, состоящий из одного члена.

Если в многочлене несколько членов имеют одинаковую буквенную часть (т. е. являются подобными слагаемыми), то их называют подобными членами многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — это приведение подобных членов многочлена.

Если многочлен не содержит подобных членов, то его называют многочлен стандартного вида.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, надо каждый член этого многочлена привести к стандартному виду и привести подобные члены. 

Степень многочлена — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов (многочлен должен быть приведён к стандартному виду).

Степень произвольного многочлена – степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Если в членах многочлена присутствует только одна переменная, то для записи его в стандартном виде, нужно записать все члены в порядке убывания степеней.

Для данного многочлена $2+7a-3a^3+15-10a$:

а) назовите члены многочлена;

б) приведите его к стандартному виду;

в) определите степень многочлена.

Решение

а) члены многочлена: $2; 7a; -3a^3; 15; -10a$;

б) $2+7a-3a^3+15-10a=-3a^3-3a+17$;

в) степень данного многочлена равна $3$.

1. Приведите многочлен к стандартному виду и укажите его степень:

а) $-4x^4+12x-5x^3-7x+8x^3$;

б) $3a{b}^2-4a{b}^2+ab-3a{b}^2+9a^{2}b-7ab$;

в) $2x\cdot 5y+8x\cdot 4y-0,5x\cdot 2y+7x\cdot y$.

2. Найдите значение многочлена:

а) $3n^5-2n^3+n-10n^3+n^2-2n^5$  при $n=-2$;

б) $2p^{2}x-3p+4p^{2}x-5p+5x$ при $p=-1$, $x=3$.

Сложение и вычитание многочленов 

Чтобы сложить многочлены, надо составить их сумму, раскрыть скобки и привести подобные члены. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «плюс», знаки у слагаемых внутри скобок не меняются.

Чтобы вычесть из одного многочлена другой многочлен, надо составить разность многочленов, раскрыть скобки и привести подобные члены. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «минус», знаки у слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Для данных многочленов  $3x^2-8x$ и $3x^2+2x-5$:

а) составьте сумму и преобразуйте её в многочлен стандартного вида;

б) составьте разность второго и первого многочленов и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.

Решение

а) Составим сумму данных многочленов, раскроем скобки, приведем подобные члены многочлена, запишем в стандартном виде:

$\left(3x^2-8x\right)+\left(3x^2+2x-5\right)=3x^2-8x+3x^2+2x-5=6x^2-6x-5$.

б) Составим разность второго и первого многочленов, раскроем скобки, приведем подобные члены многочлена, запишем в стандартном виде: 

$\left(3x^2+2x-5\right)-\left(3x^2-8x\right)=3x^2+2x-5-3x^2+8x=10x-5$.

1. Упростите выражения:

а) $\left(4x^5-2x+1\right)+\left(3x^5-x-4\right)$;

б) $\left(8a^2-a^{2}b+b+4a\right)-\left(2a^2-a^{2}b+b-7a\right)$;

в) $(2a-12)-(7a+3)+(a-15)$.

2. Решите уравнение:

а) $(6x-14)+(8x-3)=10-(27+3x)$;

б) $(7-10x)-(2-3x)+(8x-6)=-11$.