Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
7 класс
Алгебра
Разложение многочлена на множители способом группировки

Алгебра 7 класс Алгебра 7 класс

Конспект урока: Разложение многочлена на множители способом группировки

Многочлены

10.12.2024

2187

Разложение многочлена на множители способом группировки

План урока

Разложение многочлена на множители способом группировки
Решение заданий

Цели урока

Знать алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки
Уметь раскладывать многочлены на множители способом группировки

Разминка

Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен
Вспомните переместительный, сочетательный и распределительный законы сложения и умножения
Что значит вынести общий множитель за скобки?

Разложение многочлена на множители способом группировки

В предыдущем параграфе мы научились умножать многочлены. Однако в математике очень важна и обратная задача – представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов, среди которых могут быть и одночлены. Данную задачу называют разложением многочлена на множители.

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители.

На практике разложение на множители довольно трудная задача, а иногда даже и не имеющая решения. Для чего же тогда нам нужно такое разложение? В математике оно широко используется при сокращении алгебраических дробей, приведении их к общему знаменателю, при выполнении действий над алгебраическими выражениями, при решении уравнений и в других случаях.

Мы с вами изучим ряд несложных приёмов для разложения многочленов на множители. С одним из них вы уже знакомы. Это вынесение общего множителя за скобки.

Теперь рассмотрим следующий приём разложения многочлена на множители – способ группировки. Его применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Способ группировки основан на применении переместительного, сочетательного и распределительного законов умножения и сложения. Для того, чтобы понять суть данного способа рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Разложите на множители многочлен:

а) $x (y + z) + y + z$ ;

б) $x (y - z) - y + z$ .

Решение

а) Поставим скобки следующим образом:

$x (y + z) + y + z = x (y + z) + (y + z)$

Теперь мы видим, что появился общий множитель y+z, который можно вынести за скобки.

$x (y + z) + y + z = x (y + z) + (y + z) = (y + z) (x + 1)$

Таким образом, мы выполнили разложение на множители.

б) В данном примере объединим последние два слагаемых, предварительно поставив перед скобками минус:

$x (y - z) - y + z = x (y - z) - (y - z)$

Теперь мы видим, что появился общий множитель y-z, который можно вынести за скобки.

$x (y - z) - y + z = x (y - z) - (y - z) = (y - z) (x - 1)$

Таким образом, мы выполнили разложение на множители.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 2

Разложите на множители:

а) $a b + 3 b + 2 a^{2} + 6 a$ ;

б) $6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z$ ;

в) $2 x a + 2 x b - 3 y a - 3 y b$ .

Решение

а) С помощью скобок объединим в одну группу первые два члена, а во вторую группу – последние два члена многочлена:

$a b + 3 b + 2 a^{2} + 6 a = (a b + 3 b) + (2 a^{2} + 6 a)$ .

Заметим, что в первой группе можно вынести за скобки общий множитель $b$ , а во второй группе – общий множитель $2 a$ . Получим:

$(a b + 3 b) + (2 a^{2} + 6 a) = b (a + 3) + 2 a (a + 3)$ .

Теперь появился общий множитель $a + 3$ , который также можно вынести за скобки:

$b (a + 3) + 2 a (a + 3) = (a + 3) (b + 2 a)$ .

Приведём решение примера ещё раз от начала до конца без комментариев:

$a b + 3 b + 2 a^{2} + 6 a = (a b + 3 b) + (2 a^{2} + 6 a) = b (a + 3) + 2 a (a + 3) =$

$= (a + 3) (b + 2 a)$ .

б) Сгруппируем члены многочлена как в предыдущем примере. Объединим первый член многочлена со вторым и третий с четвертым.

$6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z = (6 x^{2} - 6 y z) - (4 x y - 9 x z)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(6 x^{2} - 6 y z) - (4 x y - 9 x z) = 6 (x^{2} - y z) - x (4 y - 9 z)$

У полученных нами слагаемых общего множителя не оказалось. В этом случае, говорят, что группировка оказалась неудачной.

Попробуем объединить в группу первый член многочлена с третьим, а второй с четвертым.

$6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z = (6 x^{2} - 4 x y) - (6 y z - 9 x z)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(6 x^{2} - 4 x y) - (6 y z - 9 x z) = 2 x (3 x - 2 y) - 3 z (2 y - 3 x)$ .

Во второй группе вынесем минус за скобки и поменяем слагаемые местами:

$2 x (3 x - 2 y) - 3 z (2 y - 3 x) = 2 x (3 x - 2 y) + 3 z (3 x - 2 y)$

Теперь появился общий множитель $3 x - 2 y$ , который можно вынести за скобки. Эта группировка оказалась удачной.

$2 x (3 x - 2 y) + 3 z (3 x - 2 y) = (3 x - 2 y) (2 x + 3 z)$

Ещё раз приведем решение целиком:

$6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z = (6 x^{2} - 4 x y) - (6 y z - 9 x z) = 2 x (3 x - 2 y) - 3 z (2 y - 3 x) =$

$= 2 x (3 x - 2 y) + 3 z (3 x - 2 y) = (3 x - 2 y) (2 x + 3 z)$

в) Иногда группировку можно проводить разными способами.

1 способ. Сгруппируем первый член многочлена со вторым, а третий с четвертым.

$2 x a + 2 x b - 3 y a - 3 y b = (2 x a + 2 x b) - (3 y a + 3 y b) =$

$= 2 x (a + b) - 3 y (a + b) = (a + b) (2 x - 3 y)$

2 способ. Сгруппируем первый член многочлена с третьим, а второй с четвертым:

$2 x a + 2 x b - 3 y a - 3 y b = (2 x a - 3 y a) + (2 x b - 3 y b) =$

$= a (2 x - 3 y) + b (2 x - 3 y) = (2 x - 3 y) (a + b)$

Подведем некоторые итоги.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

1) объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы после вынесения из каждой группы общего для её членов множителя получить в скобках одинаковые выражения.

2) вынести за скобки это одинаковое выражение как общий множитель.

Не всегда с первого раза группировка бывает удачной. Если группировка оказалась неудачной, то нужно найти другой способ объединения членов многочлена в группы. По мере приобретения опыта вы сможете быстро находить удачные группировки.

Иногда полезно проверять себя. Для этого в полученном разложении на множители нужно выполнить операцию умножения многочленов (раскрыть скобки) и убедиться, что в результате получился исходный многочлен.

Упражнение 1

1. Разложите на множители:

а) $x (y + z) + 3 (y + z)$ ;

б) $b (a - c) + 5 a - 5 c$ ;

в) $a (m - n) - 2 m + 2 n$ ;

г) $x - y + {(x - y)}^{2}$ .

2. Представить многочлен в виде произведения:

а) $5 a^{2} - 5 a x - 7 a + 7 x$ ;

б) $2 b y - 3 a x^{2} - 6 b y x + a x$ ;

в) $5 a y - 3 b x + a x - 15 b y$ ;

г) $35 a x + 24 x y - 20 a y - 42 x^{2}$ .

Рассмотрим пример разложения на множители многочлена, состоящего из шести членов.

Пример 3

Разложите на множители: $x^{2} + 8 y - 3 x z + 2 x y - 12 z + 4 x$ .

Решение

1 способ. Сгруппируем по три члена:

$x^{2} + 8 y - 3 x z + 2 x y - 12 z + 4 x = (x^{2} - 3 x z + 2 x y) + (8 y - 12 z + 4 x) =$

$= x (x - 3 z + 2 y) + 4 (2 y - 3 z + x) = x (x - 3 z + 2 y) + 4 (x - 3 z + 2 y) =$

$= (x - 3 z + 2 y) (x + 4)$ .

2 способ. Сгруппируем по два члена:

$x^{2} + 8 y - 3 x z + 2 x y - 12 z + 4 x = (x^{2} + 4 x) + (2 x y + 8 y) + (- 3 x z - 12 z) =$

$= x (x + 4) + 2 y (x + 4) - 3 z (x + 4) = (x + 4) (x + 2 y - 3 z)$ .

Пример 4

Решите уравнение $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ .

Решение

Чтобы решить данное уравнение, разложим многочлен в левой части на множители. На первый взгляд кажется, что здесь невозможно применить способ группировки, так как количество членов многочлена нечетное. Но мы можем прибегнуть к хитрости, и слагаемое $3 x$ представить в виде суммы двух слагаемых $x$ и $2 x$ .

$x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + x + 2 x + 2$

Теперь можно применить способ группировки и разложить многочлен на множители:

$x^{2} + x + 2 x + 2 = (x^{2} + x) + (2 x + 2) = x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)$

Однако, нашей задачей было не просто разложить многочлен на множители, а решить уравнение. Вспомните, когда произведение двух множителей равно нулю? Когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получается, что либо $x + 1 = 0$ , либо $x + 2 = 0$ . Откуда получаем, что $x = - 1$ или $x = - 2$ .

Ещё раз приведем полное решение без комментариев:

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

$x^{2} + x + 2 x + 2 = 0$

$(x^{2} + x) + (2 x + 2) = 0$

$x (x + 1) + 2 (x + 1) = 0$

$(x + 1) (x + 2) = 0$

$x + 1 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x = - 1$ или $x = - 2$

Ответ: -2; -1.

Упражнение 2

1. Разложите на множители:

а) $a x^{2} - a y - b x^{2} + c y + b y - c x^{2}$ ;

б) $a b - a^{2} b^{2} + a^{3} b^{3} - c + a b c - c a^{2} b^{2}$ .

2. Вычислите рациональным способом:

а) $139 \cdot 15 + 18 \cdot 139 + 15 \cdot 261 + 18 \cdot 261$ ;

б) $14, 7 \cdot 13 - 2 \cdot 14, 7 + 13 \cdot 5, 3 - 2 \cdot 5, 3$ .

3. Решите уравнение:

а) $(x^{2} - 5 x) + x - 5 = 0$ ;

б) $6 x^{2} - 12 x + (x - 2) = 0$ .

4. Разложите многочлен на множители, представив один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

а) $x^{2} + 6 x + 8$ ;

б) $x^{2} - 5 x + 6$ .

5*. Решите уравнение:

а) $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ;

б) $x^{2} + 9 x - 10 = 0$ .

Контрольные вопросы

Опишите алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки.
В каких случаях группировка оказывается удачной, а в каких – нет?

Ответы

Упражнение 1

1. а) $(y + z) (x + 3)$ ;

б) $(a - c) (b + 5)$ ;

в) $(m - n) (a - 2)$ ;

г) $(x - y) (1 + x - y)$ .

2. а) $(5 a - 7) (a - x)$ ;

б) $(1 - 3 x) (2 b y + a x)$ ;

в) $(a - 3 b) (5 y + x)$ ;

г) $(5 a - 6 x) (7 x - 4 y)$ .

Упражнение 2

1. а) $(x^{2} - y) (a - b - c)$ ;

б) $(1 - a b + a^{2} b^{2}) (a b - c)$ .

2. а) $(15 + 18) (139 + 261) = 13200$ ;

б) $(13 - 2) (14, 7 + 5, 3) = 220$ .

3. а) $(x - 5) (x + 1) = 0; x = 5; x = - 1$ ;

б) $(x - 2) (6 x + 1) = 0; x = 2; x = - \frac{1}{6}$ .

4. а) $(x + 2) (x + 4)$ ;

б) $(x - 2) (x - 3)$ .

5. а) $(x - 1) (x - 6) = 0; x = 1; x = 6$

б) $(x + 10) (x - 1) = 0; x = - 10; x = 1$ .

Предыдущий урок

Многочлен и его стандартный вид. Сложение и вычитание многочленов

Многочлены

Следующий урок

Вынесение общего множителя за скобки

Многочлены

Всемирная паутина как информационное хранилище

Информатика
Программное обеспечение компьютера. Системное программное обеспечение

Информатика
Тип Круглые черви

Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке