Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Вынесение общего множителя за скобки

Многочлены

Вынесение общего множителя за скобки

План урока

  • Вынесение общего множителя за скобки

Цели урока

  • Знать, что значит разложить многочлен на множители
  • Уметь выносить за скобки общий множитель
  • Уметь выносить общий множитель за скобки при выполнении упражнений

Разминка

1) Разложим на множители числа 15 и 28:   

                       

15=3·528=4·7.

 

2) а) Найдём значение выражения 12·17+8·17 удобным способом:                                                                                            

 

12·17+8·17=17·(12+8)=17·20=340.

 

б) Упростим выражение 3a+7a:

 

3a+7a=a(3+7)=10a.

 

Заметим, что при выполнении заданий мы применили распределительное свойство умножения относительно сложения: ab+ac=a(b+c) ― вынесли за скобки общий (одинаковый) множитель.

 

Вынесение общего множителя за скобки

 

Многочлен — это сумма одночленов. В результате преобразований некоторые многочлены можно заменить произведением, т. е. разложить на множители .  

 

Один из способов разложения на множители — это вынесение общего множителя за скобки

Общим множителем для членов многочлена может быть число, переменная, степень, произведение. Если члены многочлена содержат различные степени одной и той же переменной, то за скобки выносим степень с наименьшим показателем.


Пример 1

Разложите многочлен на множители:

 

а) 25x-5+15y;

б) 18x5-3x4+x3;

в) 27x2y3-18x3y2+54xy5.


Решение

 

а) 25x-5+15y= 5(5x-1+3y), общий множитель — 5;

б) 18x5-3x4+x3=x3(18x2-3x+1), общий множитель — x3;

в) 27x2y3-18x3y2+54xy5=9xy23xy-2x2+6y3, общий множитель — 9xy2.


В заданиях такого вида всегда можно сделать проверку, выполнив обратное действие — раскрытие скобок, например:

Рассмотрим выражения, в которых общим множителем является двучлен.


Пример 2

Разложите на множители выражение:  

 

а) 8(x-y)+a2(x-y);

б) 6(x-y)-(y-x).


Решение

 

а) 8(x-y)+a2(x-y). Для данного выражения общий множитель — это (x-y), вынесем его за скобки:

 

8(x-y)+a2(x-y)=(x-y)8+a2;

 

б) 6(x-y)-(y-x). В этом выражении множители (x-y) и (y-x) отличаются друг от друга знаком.

Если во втором выражении вынести за скобки число -1, то знаки у слагаемых внутри скобок изменятся:

 

y-x=-1(-y+x)=-1(x-y)=-(x-y),

 

значит, при подстановке этого результата в данное в условии выражение, изменится знак перед вторым произведением:

 

6(x-y)-(y-x)=6(x-y)+(x-y)=(x-y)(6+d).


Разложение на множители упрощает выполнение некоторых заданий, например, решение уравнений. 


Пример 3

Решите уравнение 5x2-14x=0.


Решение

 

5x2-14x=0 вынесем за скобки общий множитель:

 

x(5x-14)=0

 

произведение равно 0, значит, хотя бы один из множителей равен 0:

 

x=0 или 5x-14=0,

                  5x=14,

                  x=2,8.

 

Ответ: 0; 2,8.


Упражнение 1

1. Разложите на множители:

 

а) y4-5y2-y;

б) 16x5-4x4+28x3;

в) 11an-22an2-33a2n.

 

2. Вынесите за скобки общий множитель:

 

а) 5(a-b)+x(a-b);

б) b(x-y)+(x-y);

в) 4a(7x-3)+3(3-7x);

г) 8m(2a-1)-(1-2a).

 

3. Решите уравнение:

 

     а) 4x2-x=0;

     б) 0,7x2-7x=0;

     в) 15a2+a=0.


Контрольные вопросы

 

  1. Объясните, что значит «разложить многочлен на множители»?
  2. Назовите один из способов разложения на множители.
  3. Какой числовой множитель можно вынести за скобки у многочлена 36x-108y?
  4. Какую степень множителя  можно вынести за скобки у многочлена n5x2-3n2?


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) yy3-5y-1;

б) 4x34x2-x+7;

в) 11an(1-2n-3a).

 

2. а) (a-b)(5+x);

б) (x-y)(b+1);

в) (7x-3)(4a-3);

г) (2a-1)(8m+1).

 

3. а) 0; 0,25;      

б) 0; 10;      

в) 0; -5.

 

Контрольные вопросы

 

3. 36.

4. 2.

Многочлен. Сложение и вычитание многочленов

Многочлены
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История