Разложение многочлена на множители способом группировки

План урока

Разложение многочлена на множители способом группировки;
Решение заданий.

Цели урока

Знать алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки;
Уметь раскладывать многочлены на множители способом группировки.

Разминка

Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.
Вспомните переместительный, сочетательный и распределительный законы сложения и умножения.
Что значит вынести общий множитель за скобки?

Разложение многочлена на множители способом группировки

В предыдущем параграфе мы научились умножать многочлены. Однако в математике очень важна и обратная задача – представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов, среди которых могут быть и одночлены. Данную задачу называют разложением многочлена на множители.

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители .

На практике разложение на множители довольно трудная задача, а иногда даже и не имеющая решения. Для чего же тогда нам нужно такое разложение? В математике оно широко используется при сокращении алгебраических дробей, приведении их к общему знаменателю, при выполнении действий над алгебраическими выражениями, при решении уравнений и в других случаях.

Мы с вами изучим ряд несложных приёмов для разложения многочленов на множители. С одним из них вы уже знакомы. Это вынесение общего множителя за скобки.

Теперь рассмотрим следующий приём разложения многочлена на множители – способ группировки . Его применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Способ группировки основан на применении переместительного, сочетательного и распределительного законов умножения и сложения. Для того, чтобы понять суть данного способа рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Разложите на множители многочлен:

а) $x (y + z) + y + z$ ;

б) $x (y - z) - y + z$ .

Решение

а) Поставим скобки следующим образом:

$x (y + z) + y + z = x (y + z) + (y + z)$

Теперь мы видим, что появился общий множитель y+z, который можно вынести за скобки.

$x (y + z) + y + z = x (y + z) + (y + z) = (y + z) (x + 1)$

Таким образом, мы выполнили разложение на множители.

б) В данном примере объединим последние два слагаемых, предварительно поставив перед скобками минус:

$x (y - z) - y + z = x (y - z) - (y - z)$

Теперь мы видим, что появился общий множитель y-z, который можно вынести за скобки.

$x (y - z) - y + z = x (y - z) - (y - z) = (y - z) (x - 1)$

Таким образом, мы выполнили разложение на множители.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 2

Разложите на множители:

а) $a b + 3 b + 2 a^{2} + 6 a$ ;

б) $6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z$ ;

в) $2 x a + 2 x b - 3 y a - 3 y b$ .

Решение

а) С помощью скобок объединим в одну группу первые два члена, а во вторую группу – последние два члена многочлена:

$a b + 3 b + 2 a^{2} + 6 a = (a b + 3 b) + (2 a^{2} + 6 a)$ .

Заметим, что в первой группе можно вынести за скобки общий множитель $b$ , а во второй группе – общий множитель $2 a$ . Получим:

$(a b + 3 b) + (2 a^{2} + 6 a) = b (a + 3) + 2 a (a + 3)$ .

Теперь появился общий множитель $a + 3$ , который также можно вынести за скобки:

$b (a + 3) + 2 a (a + 3) = (a + 3) (b + 2 a)$ .

Приведём решение примера ещё раз от начала до конца без комментариев:

$a b + 3 b + 2 a^{2} + 6 a = (a b + 3 b) + (2 a^{2} + 6 a) = b (a + 3) + 2 a (a + 3) =$

$= (a + 3) (b + 2 a)$ .

б) Сгруппируем члены многочлена как в предыдущем примере. Объединим первый член многочлена со вторым и третий с четвертым.

$6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z = (6 x^{2} - 6 y z) - (4 x y - 9 x z)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(6 x^{2} - 6 y z) - (4 x y - 9 x z) = 6 (x^{2} - y z) - x (4 y - 9 z)$

У полученных нами слагаемых общего множителя не оказалось. В этом случае, говорят, что группировка оказалась неудачной.

Попробуем объединить в группу первый член многочлена с третьим, а второй с четвертым.

$6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z = (6 x^{2} - 4 x y) - (6 y z - 9 x z)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(6 x^{2} - 4 x y) - (6 y z - 9 x z) = 2 x (3 x - 2 y) - 3 z (2 y - 3 x)$ .

Во второй группе вынесем минус за скобки и поменяем слагаемые местами:

$2 x (3 x - 2 y) - 3 z (2 y - 3 x) = 2 x (3 x - 2 y) + 3 z (3 x - 2 y)$

Теперь появился общий множитель $3 x - 2 y$ , который можно вынести за скобки. Эта группировка оказалась удачной.

$2 x (3 x - 2 y) + 3 z (3 x - 2 y) = (3 x - 2 y) (2 x + 3 z)$

Ещё раз приведем решение целиком:

$6 x^{2} - 6 y z - 4 x y + 9 x z = (6 x^{2} - 4 x y) - (6 y z - 9 x z) = 2 x (3 x - 2 y) - 3 z (2 y - 3 x) =$

$= 2 x (3 x - 2 y) + 3 z (3 x - 2 y) = (3 x - 2 y) (2 x + 3 z)$

в) Иногда группировку можно проводить разными способами.

1 способ. Сгруппируем первый член многочлена со вторым, а третий с четвертым.

$2 x a + 2 x b - 3 y a - 3 y b = (2 x a + 2 x b) - (3 y a + 3 y b) =$

$= 2 x (a + b) - 3 y (a + b) = (a + b) (2 x - 3 y)$

2 способ. Сгруппируем первый член многочлена с третьим, а второй с четвертым:

$2 x a + 2 x b - 3 y a - 3 y b = (2 x a - 3 y a) + (2 x b - 3 y b) =$

$= a (2 x - 3 y) + b (2 x - 3 y) = (2 x - 3 y) (a + b)$

Подведем некоторые итоги.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

1) объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы после вынесения из каждой группы общего для её членов множителя получить в скобках одинаковые выражения.

2) вынести за скобки это одинаковое выражение как общий множитель.

Не всегда с первого раза группировка бывает удачной. Если группировка оказалась неудачной, то нужно найти другой способ объединения членов многочлена в группы. По мере приобретения опыта вы сможете быстро находить удачные группировки.

Иногда полезно проверять себя. Для этого в полученном разложении на множители нужно выполнить операцию умножения многочленов (раскрыть скобки) и убедиться, что в результате получился исходный многочлен.

Упражнение 1

1. Разложите на множители:

а) $x (y + z) + 3 (y + z)$ ;

б) $b (a - c) + 5 a - 5 c$ ;

в) $a (m - n) - 2 m + 2 n$ ;

г) $x - y + {(x - y)}^{2}$ .

2. Представить многочлен в виде произведения:

а) $5 a^{2} - 5 a x - 7 a + 7 x$ ;

б) $2 b y - 3 a x^{2} - 6 b y x + a x$ ;

в) $5 a y - 3 b x + a x - 15 b y$ ;

г) $35 a x + 24 x y - 20 a y - 42 x^{2}$ .

Рассмотрим пример разложения на множители многочлена, состоящего из шести членов.

Пример 3

Разложите на множители: $x^{2} + 8 y - 3 x z + 2 x y - 12 z + 4 x$ .

Решение

1 способ. Сгруппируем по три члена:

$x^{2} + 8 y - 3 x z + 2 x y - 12 z + 4 x = (x^{2} - 3 x z + 2 x y) + (8 y - 12 z + 4 x) =$

$= x (x - 3 z + 2 y) + 4 (2 y - 3 z + x) = x (x - 3 z + 2 y) + 4 (x - 3 z + 2 y) =$

$= (x - 3 z + 2 y) (x + 4)$ .

2 способ. Сгруппируем по два члена:

$x^{2} + 8 y - 3 x z + 2 x y - 12 z + 4 x = (x^{2} + 4 x) + (2 x y + 8 y) + (- 3 x z - 12 z) =$

$= x (x + 4) + 2 y (x + 4) - 3 z (x + 4) = (x + 4) (x + 2 y - 3 z)$ .

Пример 4

Решите уравнение $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ .

Решение

Чтобы решить данное уравнение, разложим многочлен в левой части на множители. На первый взгляд кажется, что здесь невозможно применить способ группировки, так как количество членов многочлена нечетное. Но мы можем прибегнуть к хитрости, и слагаемое $3 x$ представить в виде суммы двух слагаемых $x$ и $2 x$ .

$x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + x + 2 x + 2$

Теперь можно применить способ группировки и разложить многочлен на множители:

$x^{2} + x + 2 x + 2 = (x^{2} + x) + (2 x + 2) = x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)$

Однако, нашей задачей было не просто разложить многочлен на множители, а решить уравнение. Вспомните, когда произведение двух множителей равно нулю? Когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получается, что либо $x + 1 = 0$ , либо $x + 2 = 0$ . Откуда получаем, что $x = - 1$ или $x = - 2$ .

Ещё раз приведем полное решение без комментариев:

$x^{2} + 3 x + 2 = 0$

$x^{2} + x + 2 x + 2 = 0$

$(x^{2} + x) + (2 x + 2) = 0$

$x (x + 1) + 2 (x + 1) = 0$

$(x + 1) (x + 2) = 0$

$x + 1 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x = - 1$ или $x = - 2$

Ответ: -2; -1.

Упражнение 2

1. Разложите на множители:

а) $a x^{2} - a y - b x^{2} + c y + b y - c x^{2}$ ;

б) $a b - a^{2} b^{2} + a^{3} b^{3} - c + a b c - c a^{2} b^{2}$ .

2. Вычислите рациональным способом:

а) $139 \cdot 15 + 18 \cdot 139 + 15 \cdot 261 + 18 \cdot 261$ ;

б) $14, 7 \cdot 13 - 2 \cdot 14, 7 + 13 \cdot 5, 3 - 2 \cdot 5, 3$ .

3. Решите уравнение:

а) $(x^{2} - 5 x) + x - 5 = 0$ ;

б) $6 x^{2} - 12 x + (x - 2) = 0$ .

4. Разложите многочлен на множители, представив один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

а) $x^{2} + 6 x + 8$ ;

б) $x^{2} - 5 x + 6$ .

5*. Решите уравнение:

а) $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ;

б) $x^{2} + 9 x - 10 = 0$ .

Контрольные вопросы

Опишите алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки.
В каких случаях группировка оказывается удачной, а в каких – нет?

Ответы

Упражнение 1

1. а) $(y + z) (x + 3)$ ;

б) $(a - c) (b + 5)$ ;

в) $(m - n) (a - 2)$ ;

г) $(x - y) (1 + x - y)$ .

2. а) $(5 a - 7) (a - x)$ ;

б) $(1 - 3 x) (2 b y + a x)$ ;

в) $(a - 3 b) (5 y + x)$ ;

г) $(5 a - 6 x) (7 x - 4 y)$ .

Упражнение 2

1. а) $(x^{2} - y) (a - b - c)$ ;

б) $(1 - a b + a^{2} b^{2}) (a b - c)$ .

2. а) $(15 + 18) (139 + 261) = 13200$ ;

б) $(13 - 2) (14, 7 + 5, 3) = 220$ .

3. а) $(x - 5) (x + 1) = 0; x = 5; x = - 1$ ;

б) $(x - 2) (6 x + 1) = 0; x = 2; x = - \frac{1}{6}$ .

4. а) $(x + 2) (x + 4)$ ;

б) $(x - 2) (x - 3)$ .

5. а) $(x - 1) (x - 6) = 0; x = 1; x = 6$

б) $(x + 10) (x - 1) = 0; x = - 10; x = 1$ .

Конспект урока: Разложение многочлена на множители способом группировки

Многочлены

Разложение многочлена на множители способом группировки