Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Разложение многочлена на множители способом группировки

Многочлены

17.04.2024
1723
0

Разложение многочлена на множители способом группировки

План урока

  • Разложение многочлена на множители способом группировки;
  • Решение заданий.

Цели урока

  • Знать алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки;
  • Уметь раскладывать многочлены на множители способом группировки.

Разминка

  • Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.
  • Вспомните переместительный, сочетательный  и распределительный законы сложения и умножения.
  • Что значит вынести общий множитель за скобки?

Разложение многочлена на множители способом группировки

 

В предыдущем параграфе мы научились умножать многочлены. Однако в математике очень важна и обратная задача – представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов, среди которых могут быть и одночлены. Данную задачу называют разложением многочлена на множители.


Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители .


На практике разложение на множители довольно трудная задача, а иногда даже и не имеющая решения. Для чего же тогда нам нужно такое разложение? В математике оно широко используется при сокращении алгебраических  дробей, приведении их к общему знаменателю, при выполнении действий над алгебраическими выражениями,  при решении уравнений и в других случаях.

 

Мы с вами изучим ряд несложных приёмов для разложения многочленов на множители. С одним из них вы уже знакомы. Это вынесение общего множителя за скобки. 

 

Теперь рассмотрим следующий приём разложения многочлена на множители – способ группировки . Его применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Способ группировки основан на применении переместительного, сочетательного и распределительного законов умножения и сложения. Для того, чтобы понять суть данного способа рассмотрим несколько примеров.


Пример 1

Разложите на множители многочлен:

а) x(y+z)+y+z;

б) x(y-z)-y+z.


Решение

 

а) Поставим скобки следующим образом:

 

x(y+z)+y+z =x(y+z)+(y+z)

 

Теперь мы видим, что появился общий множитель y+z, который можно вынести за скобки.

 

x(y+z)+y+z =x(y+z)+(y+z)= (y+z)(x+1)

 

Таким образом, мы выполнили разложение на множители.

 

б) В данном примере объединим последние два слагаемых, предварительно поставив перед скобками минус:

 

x(y-z)-y+z= x(y-z)-(y-z)

 

Теперь мы видим, что появился общий множитель y-z, который можно вынести за скобки.

 

x(y-z)-y+z= x(y-z)-(y-z)=(y-z)(x-1)

 

Таким образом, мы выполнили разложение на множители.


Рассмотрим более сложный пример.


Пример 2

Разложите на множители:

а) ab+3b+2a2+6a;

б) 6x2 - 6yz-4xy+9xz;

в) 2xa+2xb-3ya-3yb.


Решение

 

а) С помощью скобок объединим в одну группу первые два члена, а во вторую группу – последние два члена многочлена:

 

ab+3b+2a2+6a=ab+3b+2a2+6a.

 

Заметим, что в первой группе можно вынести за скобки общий множитель b, а во второй группе – общий множитель 2a. Получим:

 

ab+3b+2a2+6a=ba+3+2aa+3.

 

Теперь появился общий множитель a+3, который также можно вынести за скобки:

 

b(a+3)+2a(a+3)=(a+3)(b+2a).

 

Приведём решение примера ещё раз от начала до конца без комментариев:

 

ab+3b+2a2+6a=(ab+3b)+2a2+6a=b(a+3)+2a(a+3)=

=(a+3)(b+2a).

 

б) Сгруппируем члены многочлена как в предыдущем примере. Объединим первый член многочлена со вторым и третий с четвертым.

 

6x2-6yz-4xy+9xz=(6x2-6yz)-(4xy-9xz)

 

Вынесем общие множители из каждой группы:

 

6x2 - 6yz-(4xy-9xz)=6(x2  yz)-x(4y-9z)

 

У полученных нами слагаемых общего множителя не оказалось. В этом случае, говорят, что группировка оказалась неудачной. 

Попробуем объединить в группу первый член многочлена с третьим, а второй с четвертым.

 

6x2 - 6yz-4xy+9xz=6x2-4xy-(6yz-9xz)

 

 

Вынесем общие множители из каждой группы:

 

6x2-4xy-(6yz-9xz)=2x(3x-2y)-3z(2y-3x).

 

Во второй группе вынесем минус за скобки и поменяем слагаемые местами:

 

2x(3x-2y)-3z(2y-3x)= 2x(3x-2y)+3z(3x-2y)

 

Теперь появился общий множитель 3x-2y, который можно вынести за скобки. Эта группировка оказалась удачной.

 

2x(3x-2y)+3z(3x-2y)= (3x-2y)(2x+3z)

 

Ещё раз приведем решение целиком:

 

6x2-6yz-4xy+9xz=6x2-4xy-(6yz-9xz)= 2x(3x-2y)-3z(2y-3x)= 

=2x(3x-2y)+3z(3x-2y)= (3x-2y)(2x+3z)

 

в) Иногда группировку можно проводить разными способами.

 

1 способ. Сгруппируем первый член многочлена со вторым, а третий с четвертым.

 

2xa+2xb-3ya-3yb=(2xa+2xb)-(3ya+3yb)=

=2x(a+b)-3y(a+b)= (a+b)(2x-3y)

 

2 способ. Сгруппируем первый член многочлена с третьим, а второй с четвертым:

 

2xa+2xb-3ya-3yb=(2xa-3ya)+(2xb-3yb)=

=a(2x-3y)+ b(2x-3y)= (2x-3y)(a+b)


Подведем некоторые итоги.

 

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

1) объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы после вынесения из каждой группы общего для её членов множителя получить в скобках одинаковые выражения.

2) вынести за скобки это одинаковое выражение как общий множитель.

 

Не всегда с первого раза группировка бывает удачной. Если группировка оказалась неудачной, то нужно найти другой способ объединения членов многочлена в группы. По мере приобретения опыта вы сможете быстро находить удачные группировки.

 

Иногда полезно проверять себя. Для этого в полученном разложении на множители нужно выполнить операцию умножения многочленов (раскрыть скобки) и убедиться, что в результате получился исходный многочлен.


Упражнение 1

1. Разложите на множители:

а) x(y+z)+3(y+z);

б) b(a-c)+5a-5c;

в) a(m-n)-2m+2n;

г) x-y+(x-y)2.

 

2. Представить многочлен в виде произведения:

а) 5a2-5ax-7a+7x;

б) 2by-3ax2-6byx+ax;

в) 5ay-3bx+ax-15by;

г) 35ax+24xy-20ay-42x2.


Рассмотрим пример разложения на множители многочлена, состоящего из шести членов.


Пример 3

Разложите на множители: x2+8y-3xz+2xy-12z+4x.


Решение

 

1 способ. Сгруппируем по три члена:

 

x2+8y-3xz+2xy-12z+4x=x2-3xz+2xy+(8y -12z+4x)=

=x(x-3z+2y)+4(2y-3z+x)= x(x-3z+2y)+4(x-3z+2y)=

=(x-3z+2y)(x+4).

 

2 способ. Сгруппируем по два члена:

 

x2+8y-3xz+2xy-12z+4x=x2+4x+(2xy+8y)+(-3xz-12z)=

=x(x+4)+2y(x+4)-3z(x+4)= (x+4)(x+2y-3z).


Пример 4

Решите уравнение x2+3x+2=0.


Решение

 

Чтобы решить данное уравнение, разложим многочлен в левой части на множители. На первый взгляд кажется, что здесь невозможно применить способ группировки, так как количество членов многочлена нечетное. Но мы можем прибегнуть к хитрости, и слагаемое 3x представить в виде суммы двух слагаемых x и 2x.

 

x2+3x+2= x2+x+2x+2

 

Теперь можно применить способ группировки и разложить многочлен на множители:

 

x2+x+2x+2= x2+x+(2x+2)=x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)

 

Однако, нашей задачей было не просто разложить многочлен на множители, а решить уравнение. Вспомните, когда произведение двух множителей равно нулю? Когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получается, что либо x+1=0, либо x+2=0. Откуда получаем, что x=-1 или x=-2.

 

Ещё раз приведем полное решение без комментариев:

 

x2+3x+2=0

x2+x+2x+2=0

x2+x+2x+2=0

x(x+1)+2(x+1)=0

(x+1)(x+2)=0

x+1=0 или x+2=0

x=-1 или  x=-2

Ответ: -2; -1.


Упражнение 2

1. Разложите на множители:

а) ax2-ay-bx2+cy+by-cx2;

б) ab-a2b2+a3b3-c+abc-ca2b2.

 

2. Вычислите рациональным способом:

а) 139·15+18·139+15·261+18·261;

б) 14,7·13-2·14,7+13·5,3-2·5,3.

 

3. Решите уравнение:

а) (x2-5x)+x-5=0;

б) 6x2-12x+(x-2)=0.

 

4. Разложите многочлен на множители, представив один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

а) x2+6x+8;

б) x2-5x+6.

 

5*. Решите уравнение:

а) x2-7x+6=0;

б) x2+9x-10=0.


Контрольные вопросы

 

  1. Опишите алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки.
  2. В каких случаях группировка оказывается удачной, а в каких – нет?


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) (y+z)(x+3);

б) (a-c)(b+5);

в) (m-n)(a-2);

г) (x-y)(1+x-y).

 

2. а) (5a-7)(a-x);

б) (1-3x)(2by+ax);

в) (a-3b)(5y+x);

г) (5a-6x)(7x-4y).

 

Упражнение 2

 

1. а) (x2-y)(a-b-c);

б) (1-ab+a2b2)(ab-c).

 

2. а) (15+18)(139+261)=13200;

б) (13-2)(14,7+5,3)=220.

 

3. а) (x-5)(x+1)=0; x=5; x=-1;

б) x-26x+1=0; x=2; x=-16.

 

4. а) (x+2)(x+4);

б) (x-2)(x-3).

 

5. а) (x-1)(x-6)=0; x=1; x=6

б) (x+10)(x-1)=0; x=-10; x=1.

Предыдущий урок
Вынесение общего множителя за скобки
Многочлены
Следующий урок
Умножение одночлена на многочлен
Многочлены
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Формирование изображения на экране компьютера

    Информатика

  • А.С. Пушкин. «Станционный смотритель»

    Литература

  • Сравнение значений выражений

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке