Возведение в степень произведения и степени

План урока

Возведение в степень произведения
Возведение степени в степень

Цели урока

Знать правила возведения в степень произведения и степени
Уметь возводить в степень произведение и степень

Разминка

Как называется выражение вида $a^{n}$ ? Как называется число $a$ ? Число $n$ ?
Как выполнить умножение степеней с одинаковыми основаниями?
Как выполнить деление степеней с одинаковыми основаниями?

Возведение в степень произведения

Для любых $a$ и $b$ и произвольного натурального числа $n$

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$

Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Пример 1

Выполните возведение в степень: ${(5 c p)}^{4}$ .

Решение

${(5 c p)}^{4} = 5^{4} \cdot c^{4} \cdot p^{4} = 625 c^{4} p^{4}$

Ответ: $625 c^{4} p^{4}$ .

Пример 2

Найдите значение выражения: $\frac{7^{10} \cdot 9^{10}}{63^{9}}$ .

Решение

$\frac{7^{10} \cdot 9^{10}}{63^{9}} = \frac{{(7 \cdot 9)}^{10}}{63^{9}} = \frac{63^{10}}{63^{9}} = 63^{10 - 9} = 63^{1} = 63$

Ответ: 63.

Упражнение 1

Вычислите: а) $4^{9} \cdot 0, 25^{9}$ ; б) $0, 4^{6} \cdot 5^{6}$ .
Найдите значение выражения: а) $\frac{2^{9} \cdot 3^{9}}{6^{7}}$ ; б) $\frac{45^{8}}{15^{7} \cdot 3^{7}}$ .
Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 5 раз?

Возведение степени в степень

Для любого числа $a$ и произвольных натуральных чисел $m$ и $n$

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

Пример 3

Выполните возведение в степень: ${(x^{12})}^{4}$ .

Решение

${(x^{12})}^{4} = x^{12 \cdot 4} = x^{48}$

Ответ: $x^{48}$ .

Рассмотренные выше свойства степени о возведении в степень произведения и степени справедливы и в случае нулевых показателей (при условии ненулевого основания).

Пример 4

Запишите $2^{60}$ в виде степени с основанием:

а) 4;

б) 8;

в) 16;

г) 32.

Решение

а) Так как $4 = 2^{2}$ , получим $2^{60} = {(2^{2})}^{30} = 4^{30}$ .

б) Так как $8 = 2^{3}$ , получим $2^{60} = {(2^{3})}^{20} = 8^{20}$ .

в) Так как $16 = 2^{4}$ , получим $2^{60} = {(2^{4})}^{15} = 16^{15}$ .

г) Так как $32 = 2^{5}$ , получим $2^{60} = {(2^{5})}^{12} = 32^{12}$ .

Упражнение 2

1. Вычислите:

а) $\frac{2^{4} \cdot {(2^{5})}^{2}}{2^{9}}$ ;

б) $\frac{{(5^{4})}^{2} \cdot 5^{7}}{{(5^{5})}^{3}}$ ;

в) $\frac{4^{8} \cdot 16}{{(4^{3})}^{3}}$ ;

г) $\frac{3^{10} \cdot 9}{27^{3}}$ .

2. Решите уравнение: $\frac{x^{3} \cdot x^{7}}{{(x^{4})}^{2}} = 49$ .

Контрольные вопросы

Объясните, как возвести произведение в степень.
Объясните, как степень возвести в степень.
Представьте выражение $a^{18}$ в виде квадрата степени; в виде куба степени.

Ответы

Упражнение 1

а) 1; б) 64.
а) 36; б) 45.
В 25 раз.

Упражнение 2

а) 32; б) 1; в) 4; г) 27.
-7 и 7.

Конспект урока: Возведение в степень произведения и степени

Степень

Возведение в степень произведения

Возведение степени в степень