Степень с натуральным показателем. Умножение и деление степеней

Определение степени с натуральным показателем. Умножение и деление степеней

План урока

Определение степени с натуральным показателем
Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Цели урока

Знать определение степени с натуральным показателем
Знать правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями
Уметь находить значение степени
Уметь умножать и делить степени с одинаковыми основаниями

Разминка

Какие числа называются натуральными?
Как найти периметр квадрата $P = a + a + a + a$ или $P = 4 a$ ?
Как найти площадь квадрата $S = a \cdot a$ или $S = a^{2}$ ?
Как найти объём куба $V = a \cdot a \cdot a$ или $V = a^{3}$ ?

Определение степени с натуральным показателем

При вычислении площади квадрата и при вычислении объёма куба произведение одинаковых множителей записывали кратко: $a^{2}$ и $a^{3}$ (читали так: «квадрат числа a» и «куб числа a»).

Краткая запись произведения одинаковых множителей применяется для любого количества множителей.

Рассмотрим произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$ :

$\underset{n р а з}{\underset{⏟}{a \cdot a \dots a} = a^{n}}$

Выражение $a^{n}$ называют степенью числа $a$ (читают так: « $a$ в степени $n$ » или « $n$ -я степень числа $a$ »)

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ ( $n > 1$ ) называется выражение $a^{n}$ , равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ .

Если $n = 1$ , то $a^{1} = a$ .

Повторяющийся множитель называют основанием степени , а число, которое показывает количество этих множителей — показателем степени .

В выражении $a^{n}$ основанием степени является число $a$ , число $n$ — показатель степени.

Нахождение значения степени называют возведением в степень .

Пример 1

Выполните возведение в степень:

а) $5^{4}$ ;

б) $0, 6^{3}$ ;

в) ${(\frac{3}{4})}^{3}$ ;

г) $1^{8}$ ;

д) $10^{7}$ ;

е) $0, 1^{5}$ ;

ж) $(- 2)^{5}$ ;

з) $(- 2)^{6}$ ;

и) $- 2^{6}$ .

а) $5^{4} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$ ;

б) $0, 6^{3} = 0, 6 \cdot 0, 6 \cdot 0, 6 = 0, 216$ ;

в) ${(\frac{3}{4})}^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{64}$ ;

г) $1^{8} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ .

при возведении 1 в любую степень всегда в ответе получим 1;

д) $10^{7} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000000$ .

при возведении в степень числа 10 в ответе получаем число, записанное с помощью 1 и 0, причём количество 0 равно показателю степени;

е) $0, 1^{5} = 0, 1 \cdot 0, 1 \cdot 0, 1 \cdot 0, 1 \cdot 0, 1 = 0, 00001$ .

при возведении в степень числа 0,1 в ответе получаем десятичную дробь, записанную с помощью 0 и 1, причём количество знаков после запятой равно показателю степени;

ж) $(- 2)^{5} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 32$ .

при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получим в ответе отрицательное число;

з) $(- 2)^{6} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 64$ .

при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получим в ответе положительное число;

и) $- 2^{6} = - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = - 64$ .

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль

$a^{2} \geq 0$ при любом $a$

Если числовое выражение содержит несколько действий (без скобок), то порядок действий такой: возведение в степень, умножение и деление, сложение и вычитание.

Пример 2

Укажите порядок действий в выражении:

а) $25 - 3 \cdot 10^{3}$ ;

б) $(25 - 3) \cdot 10^{3}$ .

Решение

а) $25 - 3 \cdot 10^{3}$

1) возведение в степень,

2) умножение,

3) вычитание;

б) $(25 - 3) \cdot 10^{3}$

1) вычитание,

2) возведение в степень,

3) умножение.

Упражнение 1

1. Очень часто в математике, в информатике встречается степень числа 2. Вычислите и запомните:

$2^{1}$ = $2^{5}$ = $2^{9}$ =

$2^{2}$ = $2^{6}$ = $2^{10}$ =

$2^{3}$ = $2^{7}$ =

$2^{4}$ = $2^{8}$ =

2. Найдите значения выражений в примере 2.

3. Вычислите, чему равна сумма кубов чисел 4 и 5.

4. Найдите квадрат разности чисел 7 и 3.

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Основное свойство степени

Для любого числа $a$ и произвольных натуральных чисел $m$ и $n$

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Доказательство

$a^{m} \cdot a^{n} = \underset{m р а з}{\underset{⏟}{(a a \dots a)}} \cdot \underset{n р а з}{\underset{⏟}{(a a \dots a)}} = \underset{m + n р а з}{\underset{⏟}{a a \dots a}} = a^{m + n}$

Правило умножения степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Заметим, что правило умножения степеней распространяется на произведение трёх и более степеней. Например,

$a^{m} a^{n} a^{k} = a^{m + n} a^{k} = a^{(m + n) + k} = a^{m + n + k}$ .

Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями

Для любого числа $a \neq 0$ и произвольных натуральных чисел $m$ и $n$ , таких, что $m > n$

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ (1)

Доказательство

По определению частного равенство (1) будет иметь место, если будет справедливо равенство

$a^{m} = a^{m - n} \cdot a^{n}$ . (2)

Применим к выражению $a^{m - n} \cdot a^{n}$ основное свойство степени: $a^{m - n} \cdot a^{n} = a^{m - n + n} = a^{m}$ .

Таким образом доказали равенство (2), а, значит, справедливо и равенство (1).

Правило деления степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.

Рассмотрим частное $a^{n} : a^{n} = a^{n - n} = a^{0}$ . Так как при делении числа на такое же число получается 1, то, с другой стороны, $a^{n} : a^{n} = 1$ . Тогда получили, что $a^{0} = 1$ .

Степень числа $a$ , не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

Выражение $0^{0}$ не имеет смысла.

Теперь после того, как мы ввели нулевую степень, можно сделать вывод, что формула $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ при $a \neq 0$ имеет место и в том случае, когда $m = 0$ и $n = 0 .$ Формула $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ справедлива для всех неотрицательных $m$ и $n$ , таких, что $m \geq n$ .

Пример 3

Представьте выражение в виде степени:

а) $x^{7} x^{10} x$ ; б) $y^{15} : y^{8}$ ; в) $c^{19} c^{0}$ .

Решение

а) $x^{7} x^{10} x = x^{7 + 10 + 1} = x^{18}$ ;

б) $y^{15} : y^{8} = y^{15 - 8} = y^{7}$ ;

в) $c^{19} c^{0} = c^{19} \cdot 1 = c^{19}$ .

Упражнение 2

1. Вычислите:

а) $\frac{12^{3} \cdot 12^{20}}{12^{21}}$ ; б) $\frac{5^{14} \cdot 5}{5^{7} \cdot 5^{5}}$ ; в) $\frac{0, 4^{8} \cdot 0, 4^{12}}{0, 4^{11} \cdot 0, 4^{7}}$ .

2. Упростите: $\frac{C^{24} \cdot C^{8} \cdot C}{C^{28} \cdot C^{5}}$ .

3. Решите уравнение: а) $4^{17} \cdot x = 4^{20}$ ; б) $8^{23} : x = 8^{21}$ .

Контрольные вопросы

Что называют степенью с натуральным показателем.
Запишите в виде степени произведение $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ . Назовите основание степени, показатель степени. Выполните возведение в степень.
Объясните, как возвести в степень смешанное число.
Сформулируйте правило сложения степеней с одинаковыми основаниями.
Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
Чему равно значение выражения $p^{0} (p \neq 0)$ .

Ответы

Упражнение 1

2. а) - 2975; б) 22 000;

3. 189;

4. 16.

Упражнение 2

1. а) 144; б) 125; в) 0,16;

2. 1;

3. а) 64; б) 64.

Конспект урока: Степень с натуральным показателем. Умножение и деление степеней

Степень

Определение степени с натуральным показателем

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями