Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Определение степени с натуральным показателем. Умножение и деление степеней

Степень

23.07.2024
1890
0

Определение степени с натуральным показателем. Умножение и деление степеней

План урока

  • Определение степени с натуральным показателем
  • Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Цели урока

  • Знать определение степени с натуральным показателем
  • Знать правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями
  • Уметь находить значение степени
  • Уметь умножать и делить степени с одинаковыми основаниями

Разминка

  • Какие числа называются натуральными?
  • Как найти периметр квадрата P=a+a+a+a или P=4a?
  • Как найти площадь квадрата S=a·a или S=a2?
  • Как найти объём куба V=aaa или V=a3?

Определение степени с натуральным показателем

 

При вычислении площади квадрата и при вычислении объёма куба произведение одинаковых множителей записывали кратко: a2 и a3 (читали так: «квадрат числа a» и «куб числа a»).

 

Краткая запись произведения одинаковых множителей применяется для любого количества множителей.

 

Рассмотрим произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a:

 

aaa=ann раз

 

Выражение an называют степенью числа a (читают так: «a в степени n» или «n-я степень числа a»)


Степенью числа a с натуральным показателем n ( n>1) называется выражение an, равное произведению n множителей, каждый из которых равен a.

Если n=1, то a1=a.


Повторяющийся множитель называют  основанием степени , а число, которое показывает количество этих множителей — показателем степени .

В выражении an основанием степени является число a, число n — показатель степени.

Нахождение значения степени называют возведением в степень .


Пример 1

Выполните возведение в степень:

 

а) 54

б) 0,63

в) 343;  

г) 18;   

д) 107;    

е) 0,15;   

ж) (-2)5;   

з) (-2)6;  

и) -26.


а) 54=5·5·5·5=625;

б) 0,63=0,6·0,6·0,6=0,216;

в) 343=34·34·34=2764;

г) 18=1·1·1·1·1·1·1·1=1.  

 

при возведении 1 в любую степень всегда в ответе получим 1;

 

д) 107=10·10·10·10·10·10·10=10000000

 

при возведении в степень числа 10 в ответе получаем число, записанное с помощью 1 и 0, причём количество 0 равно показателю степени;

 

е) 0,15=0,1·0,1·0,1·0,1·0,1=0,00001

 

при возведении в степень числа 0,1 в ответе получаем десятичную дробь, записанную с помощью 0 и 1, причём количество знаков после запятой равно показателю степени;

 

ж) (-2)5=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=-32.

 

при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получим в ответе отрицательное число;

 

з) (-2)6=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=64.

 

при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получим в ответе положительное число;

 

и) -26=-2·2·2·2·2·2=-64.


Квадрат любого числа есть положительное число или нуль

a20 при любом a


Если числовое выражение содержит несколько действий (без скобок), то порядок действий такой: возведение в степень, умножение и деление, сложение и вычитание.


Пример 2

Укажите порядок действий в выражении:

 

              а) 253·103

              б) (253)·103.


Решение

 

 а) 253·103

              1) возведение в степень,

              2) умножение,

              3) вычитание;

 

б) (253)·103

             1) вычитание,

             2) возведение в степень,

             3) умножение.


Упражнение 1

1. Очень часто в математике, в информатике встречается степень числа 2. Вычислите и запомните:

 

21 =              25 =             29 =

22 =              26 =            210 =

23 =               27 =

24=                28 =

 

2. Найдите значения выражений в примере 2.

3. Вычислите, чему равна сумма кубов чисел 4 и 5.

4. Найдите квадрат разности чисел 7 и 3.


Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями


Основное свойство степени

 

Для любого числа a и произвольных натуральных чисел m и n         

am·an=am+n


Доказательство

 

am·an=(aaa)m раз·(aaa)n раз=aaam + n раз=am+n


Правило умножения степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.


Заметим, что правило умножения степеней распространяется на произведение трёх и более степеней. Например,

 

amanak=am+nak=am+n+k=am+n+k.


Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями

 

Для любого числа a0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n   

                                     am:an=am-n                                      (1)


Доказательство

 

По определению частного равенство (1) будет иметь место, если будет справедливо равенство 

                                               am=am-n·an.                                           (2)

Применим к выражению am-n·an основное свойство степени: am-n·an=am-n+n=am

 

Таким образом доказали равенство (2), а, значит, справедливо и равенство (1).


Правило деления степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя.


Рассмотрим частное an:an=an-n=a0. Так как при делении числа на такое же число получается 1, то, с другой стороны, an:an=1. Тогда получили, что a0=1.


Степень числа a, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.


Выражение 00 не имеет смысла

Теперь после того, как мы ввели нулевую степень, можно сделать вывод, что формула aman=am+n при  a0 имеет место и в том случае, когда m=0 и n=0. Формула am: an=am-n справедлива для всех неотрицательных m и n, таких, что mn.

 


Пример 3

Представьте выражение в виде степени: 

               а) x7x10x;      б) y15:y8;       в) c19c0.


Решение

 

а) x7x10x=x7+10+1=x18;

 

б) y15:y8=y15-8=y7;

 

в) c19c0=c191=c19.


Упражнение 2

1. Вычислите:

                      а) 12312201221;   б) 51455755;  в) 0,480,4120,4110,47.

 

2. Упростите: C24C8CC28C5.

 

3. Решите уравнение: а) 417x=420;        б) 823:x=821.                   


Контрольные вопросы

 

  1. Что называют степенью с натуральным показателем.
  2. Запишите в виде степени произведение 3·3·3·3·3. Назовите основание степени, показатель степени. Выполните возведение в степень.
  3. Объясните, как возвести в степень смешанное число.
  4. Сформулируйте правило сложения степеней с одинаковыми основаниями.
  5. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.
  6. Чему равно значение выражения p0 (p0).


Ответы

Упражнение 1

             

2. а) - 2975; б) 22 000;

3. 189;

4. 16.

 

Упражнение 2

 

1. а) 144; б) 125; в) 0,16;

2. 1;

3. а) 64; б) 64.

Предыдущий урок
Степень с натуральным показателем. Умножение и деление степеней
Степень
Следующий урок
Статистические характеристики
Статистика
Поделиться:
  • Былины. «Вольга и Микула Селянинович». Былина «Садко»

    Литература

  • Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

    Алгебра

  • Единицы измерения информации

    Информатика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке