Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение задач с помощью систем уравнений

Системы уравнений и неравенств

30.05.2024
1569
0

Решение задач с помощью систем уравнений

План урока

  • Решение задач с помощью систем уравнений;
  • Решение задач по теме.

Цели урока

  • Знать схему решения задач с помощью систем уравнений;
  • Уметь решать задачи с помощью системы уравнений.

Разминка

  • Что называется системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными?
  • Какие способы решения систем уравнений вы знаете?
  • В чем недостаток графического метода решения систем уравнений?
  • Опишите алгоритм решения системы уравнений способом подстановки. Приведите пример.
  • Опишите алгоритм решения системы уравнений способом сложения. Приведите пример.

Решение задач с помощью систем уравнений

Системы уравнений широко используются при решении задач. В тех задачах, где неизвестных более одного и они связаны различными условиями, целесообразно использовать системы уравнений. Рассмотрим простой пример такой задачи.


Пример 1

Сумма двух чисел равна 10, а их разность равна 4. Найдите эти числа.


Решение

 

Решим задачу с помощью системы уравнений. Пусть x – первое число, а y – второе число. По условию задачи известно, что их сумма равна 10, т.е. x+y=10. Также известно, что их разность равна 4, т.е. x-y=4. Так как речь идет об одних и тех же числах, нам нужно найти такие значения x и y, чтобы они удовлетворяли и первому и второму уравнению одновременно. Получим систему уравнений:

 

x+y=10,x-y=4.

 

1 способ. Решим систему уравнений способом подстановки. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим во второе уравнение:

 

x+y=10,x-y=4,x=10-y,(10-y)-y=4,x=10-y,-2y=-6,

x=10-y,y=3,x=10-3,y=3,x=7,y=3.

 

2 способ. Решим систему уравнений способом сложения:

 

+x+y=10,x-y=4,(x+y)+(x-y)=10+4,

2x=14,

x=7.

 

Подставим полученное значение переменной x в первое уравнение системы, чтобы найти значение y:

 

x+y=10,

7+y=10,

y=3.

 

Ответ: 7 и 3.


Для решения конкретной системы уравнений нужно выбирать тот способ, который кажется для данного случая наиболее удобным, или тот, который вам больше нравится. В примере 1 мы решили систему уравнений двумя способами, чтобы повторить метод подстановки и метод сложения.


Пример 2

Расстояние между пунктами по реке равно 80 км. Это расстояние лодка проплывает по течению реки за 4 ч, а против течения – за 5 ч. Чему равна собственная скорость лодки и скорость течения реки?


Решение

 

Пусть x км/ч - собственная скорость лодки, а y км/ч - скорость течения реки. Когда лодка движется по течению, река ей «помогает» и ее скорость становится равной (x+y) км/ч. Двигаясь по течению со скоростью (x+y) км/ч лодка пройдет расстояние 80 км за 4 ч. Мы знаем, что расстояние равно скорости, умноженной на время (S=Vt). Тогда первое уравнение будет (x+y)·4=80.

Вторая ситуация, когда лодка движется против течения, т.е. река ей «мешает» и скорость движения будет меньше. Она будет равна (x-y) км/ч. Те же 80 км лодка будет проходить 5 ч. Составим второе уравнение: (x-y)·5=80

Итак, получили систему уравнений:

 

(x+y)·4=80,(x-y)·5=80.

 

Решим эту систему способом сложения:

 

(x+y)·4=80,(x-y)·5=80,

 

+x+y=20x-y=16(x+y)+(x-y)=20+16,

 

2x=36,

x=18.

 

Найдем значение y:

 

x+y=20,

18+y=20,

y=2.

 

Ответ: собственная скорость лодки 18 км/ч, скорость течения – 2 км/ч.


Пример 3

Можно ли разменять купюру в 2000 рублей купюрами в 50 рублей и 10 рублей, если для размена нужно использовать 46 купюр?


Решение

 

Пусть для размена использовали x штук купюр в 50 рублей и y штук купюр в 10 рублей. Общее количество купюр по условию задачи равно 46, т.е. x+y=46. Учтем, что x купюр по 50 рублей стоят 50x рублей, а y купюр по 10 рублей составят 10y рублей. Общая сумма всех купюр должна быть 2000. Получим уравнение 50x+10y=2000.

Составим систему уравнений:

 

x+y=46,50x+10y=2000,x+y=46,5x+y=200.

 

Для удобства все члены второго уравнения мы разделили на 10. Решим систему уравнений способом подстановки:

 

x=46-y,5x+y=200,x=46-y,5(46-y)+y=200,x=46-y,-4y=-30,

x=46-y,y=7,5,x=38,5,y=7,5.

 

Вернемся к нашим обозначениям в начале задачи. Мы получили, что для размена понадобится 7,5 купюр в 10 рублей и 38,5 купюр в 50 рублей. По смыслу задачи числа x и y могут быть только натуральными. Поэтому разменять купюру 2000 рублей данным способом не получится.

 

Ответ: нельзя.


Пример 4

В прямоугольнике, периметр которого 52 см, разность длин двух сторон равна 4 см. Найдите площадь этого прямоугольника.


Решение

 

Пусть x см будет длина прямоугольника, а y см – ширина. Периметр – это сумма длин всех сторон, т.е. (x+y)·2. По условию он равен 52 см. Значит, первое уравнение будет: (x+y)·2=52.

Также известно, что разность длин сторон равна 4, т.е. x-y=4. Составим систему уравнений:

 

(x+y)·2=52,x-y=4.

 

Разделим обе части первого уравнения на 2 и решим систему уравнений способом сложения:

 

+x+y=26,x-y=4,(x+y)+(x-y)=26+4,

2x=30,

x=15.

 

Найдем значение y из первого уравнения:

 

x+y=26,

15+y=26,

y=11.

 

Мы решили систему уравнений. Получили, что длина прямоугольника равна 15 см, а ширина – 11 см.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно вычислить площадь прямоугольника, которая равна произведению его длины на ширину:

 

15·11=165 см2.

 

Ответ: 165 см2.


Решая задачи с помощью системы уравнений, нужно придерживаться схемы:

1 шаг. Ввести обозначения неизвестных и составить систему уравнений к задаче.

2 шаг. Решить систему уравнений.

3 шаг. После решения системы уравнений вернуться к условию задачи и использованным обозначениям и записать ответ (могут понадобиться дополнительные вычисления, как в примере 4).


Упражнение 1

1. Одно число больше другого на 6, а их сумма равна 40. Найдите эти числа.

2. Было куплено 84 кг картофеля и моркови, причем картофеля куплено на 3 ящика больше, чем моркови. Сколько ящиков картофеля и моркови закуплено по отдельности, если в 1 ящике моркови 8 кг, а картофеля 10 кг.

3. Теплоход проходит 180 км по течению за 6 часов, а 120 км против течения за 5 часов. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

4. Основание равнобедренного треугольника на 6 см больше его боковой стороны. Найдите его боковую сторону, если его периметр равен 42 см. 


Контрольные вопросы

 

1. Перечислите шаги решения текстовой задачи с помощью системы уравнений.

2. Всегда ли неизвестными обозначают величины, которые нужно найти в задаче? Приведите пример.

3. Придумайте задачу к системе уравнений x+y=12,x-y=8.


Ответы

Упражнение 1

 

1. 23 и 17  

2. 6 ящиков картофеля и 3 ящика моркови

3. 27 км/ч собственная скорость и 3 км/ч скорость течения 

4. 12 см.

Предыдущий урок
Умножение разности двух выражений на их сумму
Формулы сокращенного умножения
Следующий урок
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Системы уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Н и НН в причастиях

    Русский язык

  • Французский эпос. «Песнь о Роланде»

    Литература

  • Прямоугольные треугольники

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке