Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Системы линейных уравнений с двумя переменными

Системы уравнений и неравенств

Системы линейных уравнений с двумя переменными

План урока

  • Системы линейных уравнений с двумя переменными;
  • Графический метод решения систем линейных уравнений;
  • Решение задач по теме.

Цели урока

  • Знать, что такое система линейных уравнений;
  • Знать, что является решением системы линейных уравнений;
  • Уметь решать графически систему линейных уравнений;
  • Уметь определять количество решений системы уравнений.

Разминка

  • Что называется линейным уравнением с двумя переменными?
  • Что называется корнем уравнения?
  • Как выглядит график линейного уравнения с двумя переменными?

Системы линейных уравнений с двумя переменными

 

Рассмотрим задачу. 

В двух седьмых классах учится 52 ученика. В 7А классе на 6 учеников больше, чем в 7Б. Сколько учащихся в каждом классе?

Пусть в 7А классе будет х учеников, а в 7Б – у учеников. Известно, что всего 52 ученика, т.е. х+у=52. Также известно, что в 7А на 6 человек больше, т.е. х-у=6. Мы составили два линейных уравнения с двумя неизвестными. Чтобы решить задачу, нужно найти такие значения х и у, чтобы каждое из уравнений обращалось в верное равенство, т.е. найти общее решение этих уравнений. Так как в этих уравнениях числа х и у одни и те же, то эти уравнения рассматривают совместно и говорят, что нужно решить систему уравнений, которую записывают с помощью фигурной скобки, стоящей слева.

 

x+y=52,x-y=6.

 

Пара чисел х=29 и у=23 удовлетворяет каждому уравнению, будет являться решением системы:

 

29+23=52,29-23=6.

 

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В 7А учится 29 человек, а в 7Б – 23 человека.


Если даны два линейных уравнения с двумя переменными х и уа1х+b1y=c1  и а2х+b2y=c2, и поставлена задача найти такие пары значений (х; у), которые одновременно будут удовлетворять и первому и второму уравнению, то заданные уравнения образуют систему уравнений. Уравнения системы записываются друг под друга и объединяются фигурной скобкой:

 

a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.


Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными  называют такую пару чисел х и у, которая при подстановке в эту систему обращает каждое её уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений  – это значит найти все её решения или установить, что их нет.


Графический метод решения систем линейных уравнений

 

Пусть дана система уравнений:

 

2х+у=6,-3х+у=-4.

Рис. 1. Решение системы Рис. 1. Решение системы

Графиком уравнения  является прямая. Для построения прямой нам достаточно найти две точки. Если х=0, то 20+у=6у=6. Если у=0, то 2х+0=6х=3. Итак, отметим на координатной плоскости две точки (0; 6) и (3; 0) и построим прямую, проходящую через них (рис. 1). 

 

Графиком уравнения -3х+у=-4 также является прямая. Для построения прямой найдем две точки. Если х=0, то -30+у=-4у=-4. Если у=0, то -3х+0=-4х=43. Итак, отметим на координатной плоскости две точки (0; -4) и 43; -4 и построим прямую, проходящую через них. 

 

Видно, что графики функций пересекаются в точке A (2; 2). Значит, система будет иметь единственное решение x=2, y=2.

Однако следует отметить, что графический метод решения не слишком надежный. Может быть так, что по графику не удастся точно определить координаты точки пересечения прямых.

 

Рассмотрим, какое количество решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. 

Пусть дана система:

 

a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.

 

Возможны три варианта взаимного расположения графиков:

1) если

а1а2b1b2

 

то прямые пересекаются, и система имеет единственное решение (как в примере выше);

2) если

а1а2=b1b2с1с2

 

то прямые будут параллельны, и система не будет иметь решения (система называется несовместной );

3) если 

а1а2=b1b2=с1с2

 

то прямые совпадают, и система имеет бесчисленное множество решений (система называется неопределенной ).


Пример 1

Какая пара чисел является решением системы х-у=-7,3х+4у=0.

 

а) (-3; 4)

б)(-4; 3)


Решение

 

а) Проверим пару чисел (-3; 4). На первом месте указано значение х, на втором месте значение у. Подставим в систему:

 

-3-4=-7,3·(-3)+4·40.

 

Второе уравнение не обращается в верное равенство, значит пара (-3; 4) не является решением системы.

б) Подставим в систему значения х=-4у=3, получим:

 

-4-3=-7,3·(-4)+4·3=0.

 

Оба уравнения обратились в верные равенства, значит пара (-4; 3) является решением системы.

 

Ответ: б.


Пример 2

Сколько решений имеет система уравнений:

 

а) 2х+у=4,х-2у=-3.

 

б) х-2у=5,-2х+4у=8.

 

в) х-у=-2,-3х+3у=6.


Решение

 

а) В этой системе а1=2а2=1b1=1b2=-2. Проверим условие:

 

а1а2=b1b2

 

После подстановки получим:

 

211-2

 

Значит, система имеет 1 решение.

 

б) В этой системе а1=1а2=-2b1=-2b2=4с1=5с2=8. Проверим условие:

 

а1а2=b1b2=с1с2

 

После подстановки получим:

 

1-2=-2458

 

Значит, система не имеет решений.

 

в) В этой системе а1=1а2=-3b1=-1b2=3с1=-2с2=6. Проверим условие:

 

а1а2=b1b2=с1с2

 

После подстановки получим:

 

1-3=-13=-26

 

Значит, система имеет бесчисленное множество решений.

 

Ответ: а) 1 решение б) нет решений в) бесчисленное множество решений.


Упражнение 1

1. Какая пара чисел является решением системы 2х-3у=4,-2х+4у=-2.

 

а) (-5; -2)

б) (5; 2)

 

2. Сколько решений имеет система уравнений:

 

а) 2х+у=5,-4х-2у=-10.

б) -3х-у=1,6х+2у=8.

в) х-у=2,х+3у=9.

 

3. Решите графически систему х-у=0,2х+3у=-5.


Контрольные вопросы

 

1. Что называется системой двух линейных уравнений? Приведите пример.

2. Что значит решить систему уравнений?

3. Сколько решений может иметь система линейных уравнений? Приведите примеры.


Ответы

Упражнение 1

 

1. б 

2. а) бесчисленное множество 

б) не имеет решений 

в) 1 решение

3. 

Рис. 2. Упражнение 1. Ответ Рис. 2. Упражнение 1. Ответ

(-1; -1).

Предыдущий урок
Решение задач с помощью систем уравнений
Системы уравнений и неравенств
Следующий урок
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Системы уравнений и неравенств
  • Как устроена общественная жизнь

    Обществознание

  • Соотношение между сторонами и углами треугольника

    Геометрия

  • Функции y=x^2, y=x^3 и их графики

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке