Системы линейных уравнений с двумя переменными

План урока

Системы линейных уравнений с двумя переменными;
Графический метод решения систем линейных уравнений;
Решение задач по теме.

Цели урока

Знать, что такое система линейных уравнений;
Знать, что является решением системы линейных уравнений;
Уметь решать графически систему линейных уравнений;
Уметь определять количество решений системы уравнений.

Разминка

Что называется линейным уравнением с двумя переменными?
Что называется корнем уравнения?
Как выглядит график линейного уравнения с двумя переменными?

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Рассмотрим задачу.

В двух седьмых классах учится 52 ученика. В 7А классе на 6 учеников больше, чем в 7Б. Сколько учащихся в каждом классе?

Пусть в 7А классе будет $x$ учеников, а в 7Б – $y$ учеников. Известно, что всего 52 ученика, т.е. $x + y = 52$ . Также известно, что в 7А на 6 человек больше, т.е. $x - y = 6$ . Мы составили два линейных уравнения с двумя неизвестными. Чтобы решить задачу, нужно найти такие значения $x$ и $y$ , чтобы каждое из уравнений обращалось в верное равенство, т.е. найти общее решение этих уравнений. Так как в этих уравнениях числа $x$ и $y$ одни и те же, то эти уравнения рассматривают совместно и говорят, что нужно решить систему уравнений, которую записывают с помощью фигурной скобки, стоящей слева.

$\{\begin{cases} x + y = 52, \\ x - y = 6 . \end{cases}$

Пара чисел $x = 29$ и $y = 23$ удовлетворяет каждому уравнению, будет являться решением системы:

$\{\begin{cases} 29 + 23 = 52, \\ 29 - 23 = 6 . \end{cases}$

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В 7А учится 29 человек, а в 7Б – 23 человека.

Если даны два линейных уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ : $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ и $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ , и поставлена задача найти такие пары значений $(x; y)$ , которые одновременно будут удовлетворять и первому и второму уравнению, то заданные уравнения образуют систему уравнений. Уравнения системы записываются друг под другом и объединяются фигурной скобкой:

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2 .} \end{cases}$

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел $x$ и $y$ , которая при подстановке в эту систему обращает каждое её уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Графический метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система уравнений:

$\{\begin{cases} 2 x + y = 6, \\ - 3 x + y = - 4 . \end{cases}$

Рис. 1. Решение системы

Графиком уравнения является прямая. Для построения прямой нам достаточно найти две точки. Если $x = 0$ , то $2 \cdot 0 + y = 6$ , $y = 6$ . Если $y = 0$ , то $2 x + 0 = 6$ , $x = 3$ . Итак, отметим на координатной плоскости две точки $(0; 6)$ и $(3; 0)$ и построим прямую, проходящую через них (рис. 1).

Графиком уравнения $- 3 x + y = - 4$ также является прямая. Для построения прямой найдем две точки. Если $x = 0$ , то $- 3 \cdot 0 + y = - 4$ , $y = - 4$ . Если $y = 0$ , то $- 3 x + 0 = - 4$ , $x = \frac{4}{3}$ . Итак, отметим на координатной плоскости две точки $(0; - 4)$ и $(\frac{4}{3}; 0)$ и построим прямую, проходящую через них.

Видно, что графики функций пересекаются в точке $A (2; 2)$ . Значит, система будет иметь единственное решение $x = 2, y = 2$ .

Однако следует отметить, что графический метод решения не слишком надежный. Может быть так, что по графику не удастся точно определить координаты точки пересечения прямых.

Рассмотрим, какое количество решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Пусть дана система:

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} . \end{cases}$

Рассмотрим, какое количество решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Пусть дана система:

$\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} . \end{cases}$

Выразим из каждого уравнения переменную $у$ :

$\{\begin{cases} y = \frac{- a_{1}}{b_{1}} + \frac{c_{1}}{b_{1}}, \\ y = \frac{- a_{2}}{b_{2}} + \frac{c_{2}}{b_{2}} . \end{cases}$

Возможны три варианта взаимного расположения графиков:

1) если

$\frac{a_{1}}{b_{1}} \neq \frac{a_{2}}{b_{2}}$ ,

то прямые пересекаются, и система уравнений имеет единственное решение (как в примере выше);

2) если

$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$ , $\frac{c_{1}}{b_{1}} \neq \frac{c_{2}}{b_{2}}$ ,

то прямые будут параллельны, и система уравнений не будет иметь решения (система называется несовместной );

3) если

$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$ , $\frac{c_{1}}{b_{1}} = \frac{c_{2}}{b_{2}}$ ,

то прямые совпадают, и система уравнений имеет бесчисленное множество решений (система называется неопределенной ).

Пример 1

Какая пара чисел является решением системы уравнений $\{\begin{cases} x - y = - 7, \\ 3 x + 4 y = 0 . \end{cases}$

а) $(- 3; 4)$ ;

б) $(- 4; 3)$ .

Решение

а) Проверим пару чисел $(- 3; 4)$ . На первом месте указано значение $х$ , на втором месте значение $у$ . Подставим в систему:

$\{\begin{cases} - 3 - 4 = - 7, \\ 3 \cdot (- 3) + 4 \cdot 4 \neq 0 . \end{cases}$

Второе уравнение не обращается в верное равенство, значит пара $(- 3; 4)$ не является решением системы.

б) Подставим в систему значения $x = - 4$ , $y = 3$ , получим:

$\{\begin{cases} - 4 - 3 = - 7, \\ 3 \cdot (- 4) + 4 \cdot 3 = 0 . \end{cases}$

Оба уравнения обратились в верные равенства, значит пара $(- 4; 3)$ является решением системы.

Ответ: б.

Пример 2

Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\{\begin{cases} 2 x + y = 4, \\ x - 2 y = - 3 . \end{cases}$

б) $\{\begin{cases} x - 2 y = 5, \\ - 2 x + 4 y = 8 . \end{cases}$

в) $\{\begin{cases} x - y = - 2, \\ - 3 x + 3 y = 6 . \end{cases}$

Решение

а) В этой системе $a_{1} = 2$ , $a_{2} = 1$ , $b_{1} = 1$ , $b_{2} = - 2$ . Проверим условие:

$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$

После подстановки получим:

$\frac{2}{1} \neq \frac{1}{- 2}$

Значит, система имеет одно решение.

б) В этой системе $a_{1} = 1$ , $a_{2} = - 2$ , $b_{1} = - 2$ , $b_{2} = 4$ , $c_{1} = 5$ , $c_{2} = 8$ . Проверим условие:

$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$ ; $\frac{c_{1}}{b_{1}} = \frac{c_{2}}{b_{2}}$

После подстановки получим:

$\frac{1}{- 2} = \frac{- 2}{4}$ ; $\frac{5}{- 2} \neq \frac{8}{4}$

Значит, система не имеет решений.

в) В этой системе $a_{1} = 1$ , $a_{2} = - 3$ , $b_{1} = - 1$ , $b_{2} = 3$ , $c_{1} = - 2$ , $c_{2} = 6$ . Проверим условие:

$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$ ; $\frac{c_{1}}{b_{1}} = \frac{c_{2}}{b_{2}}$

После подстановки получим:

$\frac{1}{- 1} = \frac{- 3}{3}$ ; $\frac{- 2}{- 1} = \frac{6}{3}$

Значит, система имеет бесчисленное множество решений.

Ответ: а) одно решение; б) нет решений; в) бесчисленное множество решений.

Упражнение 1

1. Какая пара чисел является решением системы $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 4, \\ - 2 x + 4 y = - 2 . \end{cases}$

а) $(- 5; - 2)$

б) $(5; 2)$

2. Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\{\begin{cases} 2 x + y = 5, \\ - 4 x - 2 y = - 10 . \end{cases}$

б) $\{\begin{cases} - 3 x - y = 1, \\ 6 x + 2 y = 8 . \end{cases}$

в) $\{\begin{cases} x - y = 2, \\ x + 3 y = 9 . \end{cases}$

3. Решите графически систему $\{\begin{cases} x - y = 0, \\ 2 x + 3 y = - 5 . \end{cases}$

Контрольные вопросы

1. Что называется системой двух линейных уравнений? Приведите пример.

2. Что значит решить систему уравнений?

3. Сколько решений может иметь система линейных уравнений? Приведите примеры.

Ответы

Упражнение 1

1. б

2. а) бесчисленное множество

б) не имеет решений

в) одно решение

Рис. 2. Упражнение 1. Ответ

(-1; -1).

Конспект урока: Системы линейных уравнений с двумя переменными

Системы уравнений и неравенств

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Графический метод решения систем линейных уравнений