Конспект урока: Решение систем уравнений. Способ сложения

Способ сложения

Мы продолжаем рассматривать системы линейных уравнений с двумя неизвестными, у которых отличные от нуля и непропорциональные коэффициенты при неизвестных. Такие системы, как мы уже знаем, имеют единственное решение. Кроме решения графическим способом и способом подстановки есть еще и другой способ, называемый способом уравнивания коэффициентов или способом алгебраического сложения (или просто способом сложения ).

Давайте рассмотрим систему:

$\left\{\begin{array}{l}2х+у=5\\ 5х-у=9\end{array}\right..$

Как бы мы решали эту систему способом подстановки? Первым делом мы бы выразили переменную $у$ через $х$ из первого уравнения и подставили бы результат во второе уравнение вместо переменной $у$. В итоге мы бы получили уравнение с одной неизвестной $х$, т.е. мы бы временно исключили переменную $у$. Но исключить переменную $у$ можно и по-другому. Иногда этот способ будет  даже проще и быстрее. Давайте сложим оба уравнения системы (сложить уравнения – это значит составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять):

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}2х+у=5\\ 5х-у=9\end{array}\right.}{(2х+у)+(5х-у)=5+9},$

$7х=14$,

$х=2$.

Теперь наша задача найти значение $у$. Подставим найденное значение $х$ в любое из уравнений системы, например в первое:

$2х+у=5$,

$2·2+у=5$,

$у=1$.

Таким образом, мы нашли решение системы уравнений способом сложения (2; 1).

Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}х-6у=17\\ 5х+6у=13\end{array}\right..$

Решение

Заметим, что в уравнениях системы коэффициенты при переменной $у$ являются противоположными числами. Сложим оба уравнения, чтобы исключить переменную $у$:

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}х-6у=17\\ 5х+6у=13\end{array}\right.}{(х-6у)+(5х+6у)=17+13}$,

$6х=30$,

$x=5$.

Подставим найденное значение х в первое уравнение заданной системы:

$х-6у=17$,

$5-6у=17$,

$6у=-12$,

$y=-2$.

Мы нашли решение системы (5; -2).

Ответ: (5; -2).

Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}х+у=4\\ 4х-5у=7\end{array}\right.$.

Решение

Здесь сразу исключить переменную х или переменную у из обоих уравнений способом сложения уравнений не получится. Нужно сделать подготовительный шаг.  Давайте умножим все члены первого уравнения на 5. Получим:

$\left\{\begin{array}{l}5х+5у=20\\ 4х-5у=7\end{array}\right..$

Теперь можно сложить уравнения и исключить переменную $у$:

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}5х+5у=20\\ 4х-5у=7\end{array}\right.}{(5х+5у)+(4х-5у)=20+7}$,

$9x=27$,

$x=3$.

Подставим значение $х=3$ в первое уравнение данной системы:

$x+y=4$,

$3+y=4$,

$y=1$.

Таким образом, пара чисел $х=3$, $у=1$ будет решением системы уравнений.

Ответ: (3; 1).

Решите систему способом сложения $\left\{\begin{array}{l}4х+15у=-42\\ -6х+25у=-32\end{array}\right.$.

Решение

Здесь также, как и в предыдущем примере, не получиться сразу исключить переменные $х$ или $у$. Давайте посмотрим на коэффициенты, стоящие при переменной $х$. Это числа 4 и -6. Наша задача получить пару противоположных коэффициентов, чтобы при сложении уравнений исключить переменную $х$. Очевидно, что такой парой будут числа 12 и -12. Для каждого из уравнений найдем дополнительный множитель и умножим на него все члены уравнения:

$\overline{)\left\{\begin{array}{l}4х+15у=-42\\ -6х+25у=-32\end{array}\right.}\begin{array}{c}·3\\ ·2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}12х+45у=-126\\ -12х+50у=-64\end{array}\right..$

Теперь можно сложить два уравнения системы, чтобы исключить переменную $х$ и найти $у$:

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}12х+45у=-126\\ -12х+50у=-64\end{array}\right.}{(12х+45у)+(-12х+50у)=-126-64},$

$95y=-190$,

$y=-2$.

Найдем значение переменной $х$ из первого уравнения системы:

$4х+15у=-42$,

$4х+15·(-2)=-42$,

$4x=-12$,

$x=-3$.

Получили ответ (-3; -2).

Ответ: (-3; -2).

Из рассмотренных примеров следует, что при решении систем линейных уравнений с отличными от нуля и непропорциональными коэффициентами при неизвестных способом сложения, нужно:

1 шаг.  Умножить уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. 

2 шаг. Сложить почленно уравнения системы.

3 шаг. Решить полученное уравнение с одной неизвестной.

4 шаг. Подставить найденное значение переменной в любое из уравнений системы и найти значение второй переменной.

5 шаг. Записать решение системы уравнений.

Если же в уравнениях системы коэффициенты при одной из переменных уже являются противоположными числами, то шаг 1 можно пропустить и начать сразу с шага 2.

1. Решите систему уравнений способом сложения  $\left\{\begin{array}{l}9х-7у=19\\ -9х-4у=25\end{array}\right.$.

2. Решите систему уравнений способом сложения  $\left\{\begin{array}{l}4х-7у=30\\ 4х-5у=90\end{array}\right.$.

3. Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}х+у=4\\ 4х-5у=7\end{array}\right.$.

4. Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}х-у=6\\ 5х-2у=-3\end{array}\right.$.

5. Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}9х+8у=-53\\ 15х+12у=-27\end{array}\right.$.