Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение систем уравнений. Способ сложения

Системы уравнений и неравенств

Способ сложения

План урока

  • Способ сложения;
  • Решение задач по теме.

Цели урока

  • Знать алгоритм решения системы уравнений способом сложения;
  • Уметь решать системы уравнений способом сложения.

Разминка

  • Какие две системы уравнений называются равносильными?
  • Сформулируйте алгоритм решения системы уравнений методом подстановки?
  • Что означает выразить одну переменную через другую? Приведите пример.
  • Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?
  • Опишите графический метод решения системы уравнений. В чем его недостаток?

Способ сложения

 

Мы продолжаем рассматривать системы линейных уравнений с двумя неизвестными, у которых отличные от нуля и непропорциональные коэффициенты при неизвестных. Такие системы, как мы уже знаем, имеют единственное решение. Кроме решения графическим способом и способом подстановки есть еще и другой способ, называемый способом уравнивания коэффициентов или способом алгебраического сложения (или просто способом сложения ).

 

Давайте рассмотрим систему:

 

2х+у=55х-у=9.

 

Как бы мы решали эту систему способом подстановки? Первым делом мы бы выразили переменную у через х из первого уравнения и подставили бы результат во второе уравнение вместо переменной у. В итоге мы бы получили уравнение с одной неизвестной х, т.е. мы бы временно исключили переменную у. Но исключить переменную у можно и по-другому. Иногда этот способ будет  даже проще и быстрее. Давайте сложим оба уравнения системы (сложить уравнения – это значит составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять):

 

+2х+у=55х-у=9(2х+у)+(5х-у)=5+9,

7х=14,

х=2.

 

Теперь наша задача найти значение у. Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, например в первое:

 

2х+у=5,

2·2+у=5,

у=1.

 

Таким образом, мы нашли решение системы уравнений способом сложения (2; 1).


Пример 1

Решите систему уравнений способом сложения х-6у=175х+6у=13.


Решение

 

Заметим, что в уравнениях системы коэффициенты при переменной у являются противоположными числами. Сложим оба уравнения, чтобы исключить переменную у:

 

+х-6у=175х+6у=13(х-6у)+(5х+6у)=17+13,

6х=30,

x=5.

 

Подставим найденное значение х в первое уравнение заданной системы:

 

х-6у=17,

5-6у=17,

6у=-12,

y=-2.

 

Мы нашли решение системы (5; -2).

 

Ответ: (5; -2).


Пример 2

Решите систему уравнений способом сложения х+у=44х-5у=7.


Решение

 

Здесь сразу исключить переменную х или переменную у из обоих уравнений способом сложения уравнений не получится. Нужно сделать подготовительный шаг.  Давайте умножим все члены первого уравнения на 5. Получим:

 

5х+5у=204х-5у=7.

 

Теперь можно сложить уравнения и исключить переменную у:

 

+5х+5у=204х-5у=7(5х+5у)+(4х-5у)=20+7,

9x=27,

x=3.

 

Подставим значение х=3 в первое уравнение данной системы:

 

x+y=4,

3+y=4,

y=1.

 

Таким образом, пара чисел х=3у=1 будет решением системы уравнений.

 

Ответ: (3; 1).


Пример 3

Решите систему способом сложения 4х+15у=-42-6х+25у=-32.


Решение

 

Здесь также, как и в предыдущем примере, не получиться сразу исключить переменные х или у. Давайте посмотрим на коэффициенты, стоящие при переменной х. Это числа 4 и -6. Наша задача получить пару противоположных коэффициентов, чтобы при сложении уравнений исключить переменную х. Очевидно, что такой парой будут числа 12 и -12. Для каждого из уравнений найдем дополнительный множитель и умножим на него все члены уравнения:

 

4х+15у=-42-6х+25у=-32·3·212х+45у=-126-12х+50у=-64.

 

Теперь можно сложить два уравнения системы, чтобы исключить переменную х и найти у:

 

+12х+45у=-126-12х+50у=-64(12х+45у)+(-12х+50у)=-126-64,

95y=-190,

y=-2.

 

Найдем значение переменной х из первого уравнения системы:

 

4х+15у=-42,

4х+15·(-2)=-42,

4x=-12,

x=-3.

 

Получили ответ (-3; -2).

 

Ответ: (-3; -2).


Из рассмотренных примеров следует, что при решении систем линейных уравнений с отличными от нуля и непропорциональными коэффициентами при неизвестных способом сложения, нужно:

1 шаг.  Умножить уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. 

2 шаг. Сложить почленно уравнения системы.

3 шаг. Решить полученное уравнение с одной неизвестной.

4 шаг. Подставить найденное значение переменной в любое из уравнений системы и найти значение второй переменной.

5 шаг. Записать решение системы уравнений.

Если же в уравнениях системы коэффициенты при одной из переменных уже являются противоположными числами, то шаг 1 можно пропустить и начать сразу с шага 2.


Упражнение 1

1. Решите систему уравнений способом сложения  9х-7у=19-9х-4у=25.

2. Решите систему уравнений способом сложения  4х-7у=304х-5у=90.

3. Решите систему уравнений способом сложения х+у=44х-5у=7.

4. Решите систему уравнений способом сложения х-у=65х-2у=-3.

5. Решите систему уравнений способом сложения 9х+8у=-5315х+12у=-27.


Контрольные вопросы

 

1. Объясните, как решить систему уравнений методом сложения. Приведите пример.

2. Какова основная цель при решении систем уравнений методом сложения?


Ответы

Упражнение 1

 

1. (-1; -4) 

2. (60; 30) 

3. (3; 1) 

4. (-5; -11)  

5. (35; -46)

Предыдущий урок
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Системы уравнений и неравенств
Следующий урок
Решение систем уравнений. Способ подстановки
Системы уравнений и неравенств
  • Образ жизни и строение моллюска

    Биология

  • Употребление частиц в речи

    Русский язык

  • Культура России XVII в.

    История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке