Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение систем уравнений. Способ сложения

Системы уравнений и неравенств

22.02.2024
1524
0

Способ сложения

План урока

  • Способ сложения;
  • Решение заданий по теме.

Цели урока

  • Знать алгоритм решения системы уравнений способом сложения;
  • Уметь решать системы уравнений способом сложения.

Разминка

  • Какие две системы уравнений называются равносильными?
  • Сформулируйте алгоритм решения системы уравнений методом подстановки.
  • Что означает выразить одну переменную через другую? Приведите пример.
  • Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?
  • Опишите графический метод решения системы уравнений. В чем его недостаток?

Способ сложения

Мы продолжаем рассматривать системы линейных уравнений с двумя неизвестными, у которых отличные от нуля и непропорциональные коэффициенты при неизвестных. Такие системы, как мы уже знаем, имеют единственное решение. Кроме решения графическим способом и способом подстановки есть еще и другой способ, называемый способом уравнивания коэффициентов или способом алгебраического сложения (или просто способом сложения ).

 

Давайте рассмотрим систему:

 

2x+y=5,5x-y=9.

 

Как бы мы решали эту систему способом подстановки? Первым делом мы бы выразили переменную y через x из первого уравнения и подставили бы полученное выражение во второе уравнение вместо переменной y. В итоге мы бы получили уравнение с одной неизвестной x, т.е. мы бы временно исключили переменную y. Но исключить переменную y можно и по-другому. Иногда этот способ будет  даже проще и быстрее. Давайте сложим оба уравнения системы (сложить уравнения – это значит составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять):

 

+2x+y=5,5x-y=9,(2x+y)+(5x-y)=5+9,

7x=14,

x=2.

 

Теперь наша задача найти значение y. Подставим найденное значение x в любое из уравнений системы, например, в первое:

 

2x+y=5,

2·2+y=5,

y=1.

 

Таким образом, мы нашли решение системы уравнений способом сложения 
(2; 1).


Пример 1

Решите систему уравнений способом сложения x-6y=17,5x+6y=13.


Решение

 

Заметим, что в уравнениях системы коэффициенты при переменной y являются противоположными числами. Сложим оба уравнения, чтобы исключить переменную y:

 

+x-6y=17,5x+6y=13,(x-6y)+(5x+6y)=17+13,

6x=30,

x=5.

 

Подставим найденное значение x в первое уравнение заданной системы:

 

x-6y=17,

5-6y=17,

6y=-12,

y=-2.

 

Мы нашли решение системы (5; -2).

 

Ответ: (5; -2).


Пример 2

Решите систему уравнений способом сложения x+y=4,4x-5y=7.


Решение

 

Здесь сразу исключить переменную x или переменную y из обоих уравнений способом сложения уравнений не получится. Нужно сделать подготовительный шаг.  Давайте умножим все члены первого уравнения на 5. Получим:

 

5x+5y=20,4x-5y=7.

 

Теперь можно сложить уравнения и исключить переменную y:

 

+5x+5y=20,4x-5y=7,(5x+5y)+(4x-5y)=20+7,

9x=27,

x=3.

 

Подставим значение x, равное 3, в первое уравнение данной системы:

 

x+y=4,

3+y=4,

y=1.

 

Таким образом, пара чисел x=3y=1 будет решением системы уравнений.

 

Ответ: (3; 1).


Пример 3

Решите систему уравнений способом сложения 4x+15y=-42,-6x+25y=-32.


Решение

 

Здесь также, как и в предыдущем примере, не получится сразу исключить переменную x или y. Давайте посмотрим на коэффициенты, стоящие при переменной x. Это числа 4 и -6. Наша задача получить пару противоположных коэффициентов, чтобы при сложении уравнений исключить переменную x. Очевидно, что такой парой будут числа 12 и -12. Для каждого из уравнений найдем дополнительный множитель и умножим на него все члены уравнения:

 

4x+15y=-42,-6x+25y=-32,·3·212x+45y=-126,-12x+50y=-64.

 

Теперь можно сложить два уравнения системы, чтобы исключить переменную x и найти y:

 

+12x+45y=-126,-12x+50y=-64,(12x+45y)+(-12x+50y)=-126-64,

95y=-190,

y=-2.

 

Найдем значение переменной x из первого уравнения системы:

 

4x+15y=-42,

4x+15·(-2)=-42,

4x=-12,

x=-3.

 

Получили ответ (-3; -2).

 

Ответ: (-3; -2).


Из рассмотренных примеров следует, что при решении систем линейных уравнений с отличными от нуля и непропорциональными коэффициентами при неизвестных способом сложения, нужно:

1 шаг.  умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. 

2 шаг. сложить почленно левые и правые части уравнений системы.

3 шаг. решить полученное уравнение с одной неизвестной.

4 шаг. подставить найденное значение переменной в любое из уравнений системы и найти значение второй переменной.

5 шаг. записать решение системы уравнений.

Если же в уравнениях системы коэффициенты при одной из переменных уже являются противоположными числами, то шаг 1 можно пропустить и начать сразу с шага 2.


Упражнение 1

1. Решите систему уравнений способом сложения  9x-7y=19,-9x-4y=25.

2. Решите систему уравнений способом сложения  4x-7y=30,4x-5y=90.

3. Решите систему уравнений способом сложения x+y=4,4x-5y=7.

4. Решите систему уравнений способом сложения x-y=6,5x-2y=-3.

5. Решите систему уравнений способом сложения 9x+8y=-53,15x+12y=-27.


Контрольные вопросы

 

1. Объясните, как решить систему уравнений методом сложения. Приведите пример.

2. Какова основная цель при решении систем уравнений методом сложения?


Ответы

Упражнение 1

 

1. (-1; -4) 

2. (60; 30) 

3. (3; 1) 

4. (-5; -11)  

5. (35; -46)

Предыдущий урок
Решение систем уравнений. Способ подстановки
Системы уравнений и неравенств
Следующий урок
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Системы уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Способы описания прямолинейного движения. Прямолинейное равномерное движение. Скорость прямолинейного равномерного движения

    Физика

  • Технические открытия и выход к мировому океану

    История

  • Измерение отрезков

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке