Конспект урока: Решение систем уравнений. Способ сложения

Способ сложения

Мы продолжаем рассматривать системы линейных уравнений с двумя неизвестными, у которых отличные от нуля и непропорциональные коэффициенты при неизвестных. Такие системы, как мы уже знаем, имеют единственное решение. Кроме решения графическим способом и способом подстановки есть еще и другой способ, называемый способом уравнивания коэффициентов или способом алгебраического сложения (или просто способом сложения ).

Давайте рассмотрим систему:

$\left\{\begin{array}{l}2x+y=5,\\ 5x-y=9.\end{array}\right.$

Как бы мы решали эту систему способом подстановки? Первым делом мы бы выразили переменную $y$ через $x$ из первого уравнения и подставили бы полученное выражение во второе уравнение вместо переменной $y$. В итоге мы бы получили уравнение с одной неизвестной $x$, т.е. мы бы временно исключили переменную $y$. Но исключить переменную $y$ можно и по-другому. Иногда этот способ будет  даже проще и быстрее. Давайте сложим оба уравнения системы (сложить уравнения – это значит составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять):

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}2x+y=5,\\ 5x-y=9,\end{array}\right.}{(2x+y)+(5x-y)=5+9,}$

$7x=14$,

$x=2$.

Теперь наша задача найти значение $y$. Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, в первое:

$2x+y=5$,

$2·2+y=5$,

$y=1$.

Таким образом, мы нашли решение системы уравнений способом сложения 
(2; 1).

Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}x-6y=17,\\ 5x+6y=13.\end{array}\right.$

Решение

Заметим, что в уравнениях системы коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим оба уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}x-6y=17,\\ 5x+6y=13,\end{array}\right.}{(x-6y)+(5x+6y)=17+13,}$

$6x=30$,

$x=5$.

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение заданной системы:

$x-6y=17$,

$5-6y=17$,

$6y=-12$,

$y=-2$.

Мы нашли решение системы (5; -2).

Ответ: (5; -2).

Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}x+y=4,\\ 4x-5y=7.\end{array}\right.$

Решение

Здесь сразу исключить переменную $x$ или переменную $y$ из обоих уравнений способом сложения уравнений не получится. Нужно сделать подготовительный шаг.  Давайте умножим все члены первого уравнения на 5. Получим:

$\left\{\begin{array}{l}5x+5y=20,\\ 4x-5y=7.\end{array}\right.$

Теперь можно сложить уравнения и исключить переменную $y$:

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}5x+5y=20,\\ 4x-5y=7,\end{array}\right.}{(5x+5y)+(4x-5y)=20+7,}$

$9x=27$,

$x=3$.

Подставим значение $x$, равное $3$, в первое уравнение данной системы:

$x+y=4$,

$3+y=4$,

$y=1$.

Таким образом, пара чисел $x=3$, $y=1$ будет решением системы уравнений.

Ответ: (3; 1).

Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}4x+15y=-42,\\ -6x+25y=-32.\end{array}\right.$

Решение

Здесь также, как и в предыдущем примере, не получится сразу исключить переменную $x$ или $y$. Давайте посмотрим на коэффициенты, стоящие при переменной $x$. Это числа 4 и -6. Наша задача получить пару противоположных коэффициентов, чтобы при сложении уравнений исключить переменную $x$. Очевидно, что такой парой будут числа 12 и -12. Для каждого из уравнений найдем дополнительный множитель и умножим на него все члены уравнения:

$\left\{\begin{array}{l}4x+15y=-42,\\ -6x+25y=-32,\end{array}\right.\begin{array}{c}\overline{)·3}\\ \overline{)·2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}12x+45y=-126,\\ -12x+50y=-64.\end{array}\right.$

Теперь можно сложить два уравнения системы, чтобы исключить переменную $x$ и найти $y$:

$\frac{+\left\{\begin{array}{l}12x+45y=-126,\\ -12x+50y=-64,\end{array}\right.}{(12x+45y)+(-12x+50y)=-126-64,}$

$95y=-190$,

$y=-2$.

Найдем значение переменной $x$ из первого уравнения системы:

$4x+15y=-42$,

$4x+15·(-2)=-42$,

$4x=-12$,

$x=-3$.

Получили ответ (-3; -2).

Ответ: (-3; -2).

Из рассмотренных примеров следует, что при решении систем линейных уравнений с отличными от нуля и непропорциональными коэффициентами при неизвестных способом сложения, нужно:

1 шаг.  умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. 

2 шаг. сложить почленно левые и правые части уравнений системы.

3 шаг. решить полученное уравнение с одной неизвестной.

4 шаг. подставить найденное значение переменной в любое из уравнений системы и найти значение второй переменной.

5 шаг. записать решение системы уравнений.

Если же в уравнениях системы коэффициенты при одной из переменных уже являются противоположными числами, то шаг 1 можно пропустить и начать сразу с шага 2.

1. Решите систему уравнений способом сложения  $\left\{\begin{array}{l}9x-7y=19,\\ -9x-4y=25.\end{array}\right.$

2. Решите систему уравнений способом сложения  $\left\{\begin{array}{l}4x-7y=30,\\ 4x-5y=90.\end{array}\right.$

3. Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}x+y=4,\\ 4x-5y=7.\end{array}\right.$

4. Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}x-y=6,\\ 5x-2y=-3.\end{array}\right.$

5. Решите систему уравнений способом сложения $\left\{\begin{array}{l}9x+8y=-53,\\ 15x+12y=-27.\end{array}\right.$