Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение систем уравнений. Способ подстановки

Системы уравнений и неравенств

Способ подстановки

План урока

  • Способ подстановки;
  • Решение задач по теме.

Цели урока

  • Знать, какие системы уравнений являются равносильными;
  • Знать алгоритм решения системы уравнений способом подстановки;
  • Уметь решать системы уравнений способом подстановки.

Разминка

  • Что называется системой линейных уравнений с двумя неизвестными?
  • Что значит решить систему?
  • Сколько решений может иметь система двух уравнений?
  • Опишите суть графического метода решения системы уравнений

Способ подстановки

 

Рассмотрим систему уравнений 2х+у=43х-2у=-1. Для начала решим её графически. Для построения графика уравнения 2х+у=4 возьмем точки (0; 4) и (2; 0). Для построения графика второго уравнения 3х-2у=-1 возьмем два решения (0; 0,5) и (-1; -1). Из рисунка видно, что решением системы будет (1; 2) (рис. 1).

Рис. 1. Решение системы уравнений графическим способом Рис. 1. Решение системы уравнений графическим способом

Теперь решим эту же систему другим способом. Из первого уравнения выразим переменную у через х:

у=4-2х.

 

Так как это уравнение равносильно исходному, подставим его в нашу систему:

 

у=4-2х3х-2у=-1.

 

Теперь подставим выражение 4-2х в нижнее уравнение, вместо переменной у. Получим:

 

у=4-2х3х-2(4-2х)=-1.

 

В получившейся системе второе уравнение содержит только одну неизвестную х. Решим это уравнение:

 

3х-2(4-2х)=-1,

3х-8+4х=-1,

7х=7,

х=1.

Полученное значение х=1 подставим в первое уравнение системы у=4-2х, чтобы найти значение переменной у:

 

у=4-2·1,

у=2.

 

Таким образом, пара чисел (1; 2) будет решением системы. 

Рассмотренный нами способ решения системы уравнений называется способом подстановки .


Системы уравнений с двумя переменными , которые имеют одни и те же решения или не имеют решений, называются равносильными .


При решении системы уравнений мы с помощью преобразований заменяем ее более простой (с точки зрения решения) равносильной системой.

Рассмотрим еще примеры решения систем уравнений способом подстановки.


Пример 1

Решите систему уравнений способом подстановки 5х-3у=142х+у=10.


Решение

 

Внимательно посмотрев на уравнения системы, заметим, что проще всего выразить переменную у из второго уравнения:

 

2х+у=10,

у=10-2х.

 

Теперь полученное выражение подставим в первое уравнение вместо переменной у:

 

5х-3у=14,

5х-3(10-2х)=14,

5х-30+6х=14,

11х=44,

х=4.

 

Подставим значение х=4 во второе уравнение системы, чтобы найти у:

 

у=10-2х,

у=10-2·4,

у=2.

 

Получили решение (4;2).

Решение системы можно оформить следующим образом:

 

5х-3у=142х+у=105х-3у=14у=10-2х5х-3(10-2х)=14у=10-2х

х=4у=10-2хх=4у=10-2·4х=4у=2.

 

 

Ответ: (4; 2).


При решении системы уравнений способом подстановки, мы должны придерживаться следующего алгоритма :

1 шаг.  Выразить из одного из уравнений системы одну переменную через другую.

2 шаг. Подставить полученное выражение вместо переменной в другое уравнение.

3 шаг. Решить полученное уравнение с одной переменной.

4 шаг. Найти соответствующее значение второй переменной.

5 шаг. Записать решение системы уравнений


Пример 2

Решите систему способом подстановки х+5у=353х+2у=27.


Решение

 

Разберем решение системы по пяти шагам алгоритма.

1) Выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения выразим переменную х:

 

х+5у=35,

х=35-5у.

 

2) Подставим полученное выражение 35-5у вместо переменной x во второе уравнение:

 

3х+2у=27,

3(35-5у)+2у=27.

 

3) Решим полученное уравнение с одной переменной:

 

3(35-5у)+2у=27,

105-15у+2у=27,

-13у=-78,

у=6.

 

4) Найдем соответствующее значение второй переменной. В первое уравнение вместо у подставим ее значение - 6:

 

х=35-5у,

х=35-5·6,

х=5.

 

5) Запишем решение системы уравнений. Получили решение (5; 6).

 

Ответ: (5; 6).


Упражнение 1

1. Решите систему способом подстановки 2х-у=23х-2у=3.

2. Решите систему способом подстановки 5у-х=63х-4у=4.

3. Решите систему способом подстановки 3х+4у=557х-у=56.

4. Решите систему способом подстановки 4у-х=116у-2х=13.


Контрольные вопросы

 

1. Какие системы уравнений называются равносильными?

2. Опишите алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.


Ответы

Упражнение 1

 

1. (1; 0)

2. (4; 2)

3. (9; 7)

4. (7; 4,5)

Предыдущий урок
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Системы уравнений и неравенств
Следующий урок
Решение задач с помощью уравнений
Решение уравнений и неравенств
  • Климат. Внутренние воды

    География

  • Глагол TO BE в PAST SIMPLE

    Английский язык

  • Встреча миров. Великие географические открытия и их последствия

    История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке