Конспект урока: Решение систем уравнений. Способ подстановки

Способ подстановки

Рассмотрим систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}2x+y=4,\\ 3x-2y=-1\end{array}\right.$. Для начала решим её графически. Для построения графика уравнения $2x+y=4$ возьмем точки (0; 4) и (2; 0). Для построения графика второго уравнения, $3x-2y=-1$, возьмем два решения (0; 0,5) и (-1; -1). Из рисунка видно, что решением системы будет (1; 2) (рис. 1).

Рис. 1. Решение системы уравнений графическим способом

Теперь решим эту же систему другим способом. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

 

$y=4-2x$.

 

Так как это уравнение равносильно исходному, подставим его в нашу систему:

 

$\left\{\begin{array}{l}y=4-2x,\\ 3x-2y=-1.\end{array}\right.$

 

Теперь подставим выражение $4-2x$ во второе уравнение системы, вместо переменной $y$. Получим:

 

$\left\{\begin{array}{l}y=4-2x,\\ 3x-2(4-2x)=-1.\end{array}\right.$

 

В получившейся системе второе уравнение содержит только одну неизвестную $x$. Решим это уравнение:

 

$3x-2(4-2x)=-1$,

$3x-8+4x=-1$,

$7x=7$,

$x=1$.

Полученное значение $x=1$ подставим в первое уравнение системы $y=4-2x$, чтобы найти значение переменной $y$:

$y=4-2·1$,

$y=2$.

Таким образом, пара чисел (1; 2) будет решением системы. 

Рассмотренный нами способ решения системы уравнений называется способом подстановки .

При решении системы уравнений мы с помощью преобразований заменяем ее более простой (с точки зрения решения) равносильной системой.

Рассмотрим еще примеры решения систем уравнений способом подстановки.

Решите систему уравнений способом подстановки $\left\{\begin{array}{l}5x-3y=14,\\ 2x+y=10.\end{array}\right.$

Решение

Внимательно посмотрев на уравнения системы, заметим, что проще всего выразить переменную $y$ из второго уравнения:

$2x+y=10$,

$y=10-2x$.

Теперь полученное выражение подставим в первое уравнение вместо переменной $y$:

$5x-3y=14$,

$5x-3(10-2x)=14$,

$5x-30+6x=14$,

$11x=44$,

$x=4$.

Подставим значение $x=4$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:

$y=10-2x$,

$y=10-2·4$,

$y=2$.

Получили решение (4; 2).

Решение системы можно оформить следующим образом:

$\left\{\begin{array}{l}5x-3y=14,\\ 2x+y=10,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x-3y=14,\\ y=10-2x,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x-3(10-2x)=14,\\ y=10-2x,\end{array}\right.\iff$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=4,\\ y=10-2x,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4,\\ y=10-2·4,\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4,\\ y=2.\end{array}\right.$

Ответ: (4; 2).

При решении системы уравнений способом подстановки, мы должны придерживаться следующего алгоритма :

1 шаг.  Выразить из одного уравнения системы одну переменную через другую.

2 шаг. Подставить полученное выражение вместо переменной в другое уравнение.

3 шаг. Решить полученное уравнение с одной переменной.

4 шаг. Найти соответствующее значение второй переменной.

5 шаг. Записать решение системы уравнений

Решите систему способом подстановки $\left\{\begin{array}{l}x+5y=35,\\ 3x+2y=27.\end{array}\right.$

Решение

Разберем решение системы по пяти шагам алгоритма.

1) Выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения выразим переменную $x$:

$x+5y=35,$

$x=35-5y$.

2) Подставим полученное выражение $35-5y$ вместо переменной $x$ во второе уравнение:

$3x+2y=27$,

$3(35-5y)+2y=27$.

3) Решим полученное уравнение с одной переменной:

$3(35-5y)+2y=27$,

$105-15y+2y=27$,

$-13y=-78$,

$y=6$.

4) Найдем соответствующее значение второй переменной. В первое уравнение вместо $y$ подставим ее значение - 6:

$x=35-5y$,

$x=35-5·6$,

$x=5$.

5) Запишем решение системы уравнений. Получили решение (5; 6).

Ответ: (5; 6).

1. Решите систему уравнений способом подстановки $\left\{\begin{array}{l}2x-y=2,\\ 3x-2y=3.\end{array}\right.$

2. Решите систему уравнений способом подстановки $\left\{\begin{array}{l}5y-x=6,\\ 3x-4y=4.\end{array}\right.$

3. Решите систему уравнений способом подстановки $\left\{\begin{array}{l}3x+4y=55,\\ 7x-y=56.\end{array}\right.$

4. Решите систему уравнений способом подстановки $\left\{\begin{array}{l}4y-x=11,\\ 6y-2x=13.\end{array}\right.$