Конспект урока: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Линейное уравнение с двумя переменными 

Вы уже давно знакомы с самым простым типом уравнений – линейными уравнениями с одной переменной. Вот пример такого уравнения:  

$5x-2=8,$

$5x=10,$ 

$x=2$. 

Рассмотрим, какое количество решений может иметь линейное уравнение с одной неизвестной.

Теперь рассмотрим такую задачу. Одно число (обозначим его $x$) на 5 меньше квадрата другого числа (обозначим его за $y$). Тогда можно составить уравнение к этой задаче: 

$y^2-x=5$. 

Мы получили уравнение с двумя неизвестными $x$ и $y$. Это равенство выполняется не при всех значениях переменных. Например, для $x=4$, $y=3$ оно выполняется, а для $x=3$, $y=2$ такое равенство не выполняется. Подобное равенство с двумя переменными называют уравнением с двумя переменными, а пару чисел $x=4$, $y=3$ называют решением уравнения. 

Рассмотрим еще одну задачу. Группу из 42 артистов нужно заселить в гостиницу в двухместные и трехместные номера, так, чтобы в номерах не осталось свободных мест. Пусть $x$ – количество двухместных номеров, а $y$ – количество трехместных номеров. Тогда $2x$ – это количество артистов в двухместных номерах, а $3y$ – количество артистов в трехместных номерах. Составим уравнение: 

$2x+3y=42$. 

Например, пара чисел $x=15$, $y=4$ будет являться решением этого уравнения. 

Примеры линейных уравнений с двумя переменными:

$2x-7y=65, 7(x-2)+2(y+3)=2x+5, 9x=4y+13$. 

Примеры уравнений с двумя переменными, которые не являются линейными (не приводятся к виду $ax+by=c$): 

$2x^2+7y-3=10, xy+1=9, x+{(y-2)}^2=26$. 

Вернемся еще раз к уравнению $2x+3y=42$, полученному в рассмотренной выше задаче. Например, его решениями будут пары чисел $(21; 0)$, $(18; 2)$, $(15; 4),$ $(12; 6)$ и другие. Среди бесконечного множества решений данного уравнения есть, например, и такие пары, как $(36; -10)$, которые не могут служить решением данной задачи, так как количество номеров не может быть отрицательным. 

Отметим, что уравнения с двумя переменными обладают всеми свойствами линейных уравнений с одной переменной. А именно: 

1. если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим равносильное уравнение; 

2. если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный, то получим равносильное уравнение. 

Составить уравнение к задаче и подобрать одно решение. 

Сахар расфасован в пакеты по 3 кг и по 5 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 38 кг сахара? 

Решение 

Пусть $x$ – количество пакетов по 3 кг, $y$ – количество пакетов по 5 кг. Тогда $3x$ – количество кг сахара в трехкилограммовых пакетах, а $5y$ – количество кг сахара в пятикилограммовых пакетах. Всего сахара нужно 38 кг. Составим уравнение: 

$3x+5y=38$. 

Проверим, что пара чисел $(1;7)$ является решением. Действительно, 

$3·1+5·7=38$

Ответ: 1 пакет по 3 кг и 7 пакетов по 5 кг.

1. Составить уравнение к задаче. 

Сколько нужно двухрублевых  и пятирублевых монет, если вся покупка составляет 26 руб? 

2. Составить уравнение к задаче. 

Ваня купил шоколадки по 40 руб и соки по 15 руб. Сколько Ваня купил шоколадок и соков, если за всю покупку он отдал 230 руб? 

Снова вернемся к уравнению $2x+3y=42$, полученному в рассмотренной нами задаче. Выразим в этом уравнении переменную $y$ через $x$, используя свойства уравнений. Перенесем слагаемое $2x$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный: 

$3y=42-2x$. 

Теперь разделим обе части уравнения на 3: 

$y=14-\frac{2}{3}x$.

Мы получили формулу для нахождения $y$. Пользуясь ей, мы можем найти сколько угодно решений нашего уравнения. Для этого нужно взять произвольное значение $x$ и вычислить для него соответствующее значение $y$. Например: 

если $x=1$, то $y=14-\frac{2}{3}=13\frac{1}{3}$

если $x=3$, то $y=14-\frac{2}{3}·3=12$

если $x=6$, то $y=14-\frac{2}{3}·6=10$

Пары чисел $(1; 13\frac{1}{3})$, $(3; 12)$, $(6; 10)$ – решения уравнения $2x+3y=42$.  Само уравнение имеет бесконечно много решений, но не все они подходят для решения именно нашей задачи. По условию количество номеров не может быть дробным числом, а также не может быть отрицательным. В таких случаях говорят, что надо решить уравнение «в натуральных числах».  

Все решения уравнения $2x+3y=42$ в натуральных числах: 

(3;12), (6; 10), (9; 8), (12; 6), (15; 4), (18; 2). 

Является ли решением уравнения $7x+y=23$ пара чисел: 

а) (-2; 31);

б) (2;9);

в) (3; 2); 

г) (-1; 36). 

Решение 

а) Проверим первую пару (-2; 31). На первом месте указывается значение переменной $x$, а на втором – значение переменной $y$. 

Если $x=-2$, $y=31$, то $7·(-2)+31=17\ne 23$.

Пара чисел (-2; 31) не будет являться решением. 

б) Если $x=2$, $y=9$, то $7·2+9=23$.

Эта пара обращает уравнение в верное равенство, значит, является решением. 

в) Если $x=3$, $y=2$, то $7·3+2=23$.

Является решением. 

г) Если $x=-1$, $y=36$, то $7·(-1)+36=29\ne 23$.

Не будет решением уравнения. 

Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.

Из линейного уравнения $2x-5y=45$ выразите: 

а) $y$  через $x$;

б) $x$  через $y$. 

Решение 

а) Перенесем слагаемое $2x$ в правую часть, поменяв его знак на противоположный: 

$-5у=45-2x$. 

Разделим обе части уравнения на -5: 

$y=-9+\frac{2}{5}x$

$y=-9+0,4x$.

б) Перенесем слагаемое $-5y$ в правую часть, поменяв его знак на противоположный: 

$2x=45+5y$. 

Разделим обе части уравнения на 2: 

$x=22,5+2,5y$. 

Ответ: a) $y=-9+0,4x$; б) $x=22,5+2,5y$.

Решите уравнение $3x+2y=15$ в натуральных числах. 

Решение 

Выразим переменную $y$ через $x$: 

$3x+2y=15$ 

$2y=15-3x$

$y=\frac{15-3x}{2}$

$y=7,5-1,5x$.

Если $x=1$, то $y=7,5-1,5·1=6$. Натуральное. 

Если $x=2$, то $y=7,5-1,5·2=4,5$. Не является натуральным. 

Если $x=3$, то $y=7,5-1,5·3=3$. Натуральное. 

Если $x=4$, то $y=7,5-1,5·4=1,5$. Не является натуральным. 

Если $x=5$, то $y=7,5-1,5·5=0$. Не является натуральным. 

Если дальше увеличивать значения переменной $x$, то значения переменной $y$ будут уменьшаться и уходить в отрицательные значения. 

Ответ: (1;6), (3;3).

1. Является ли решением уравнения $2x+6y=58$ пара чисел: 

а) (-10; 13); 

б) (2;9); 

в) (7; 6); 

г) (-1; 10).

2. Из линейного уравнения $4x+5y=64$ выразите: 

а) $y$ через $x$ 

б) $x$ через $y$ 

3. Решите уравнение $2x+5y=32$ в натуральных числах. 

График линейного уравнения с двумя переменными 

Каждому решению $\left(x; y\right)$ линейного уравнения с двумя переменными можно поставить в соответствие точку на координатной плоскости, причем значение $x$ будет абсциссой, а значение $y$ – ординатой. 

Давайте построим график уравнения $3x-2y=-4$. 

Выразим переменную $y$ через $x$: 

$y= \frac{3x+4}{2}$

$y=1,5x+2$.

Мы получили равносильное уравнение. Этой формулой задается линейная функция, а мы знаем, что ее графиком будет прямая. 

Найдем несколько решений: 

Рис. 1. График уравнения 3х-2у=4

1. (0; 2), действительно, если $x=0$, то $y=1,5·0+2=2$;

2. (-1; 0,5), действительно, если $x=-1$, то $y=1,5·(-1)+2=0,5$. 

 

Отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 1) и проведем через них прямую. Эта прямая и есть график уравнения $3x-2y=4$. 

 

Как еще может выглядеть график линейного уравнения с двумя переменными? Рассмотрим возможные случаи.

 

1. Пусть $a=0$, $b=0$, $c=0$. Тогда уравнение примет вид:

 

$0·x+0·y=0$.

 

Таким образом, мы получили $0=0$. Это будет верное равенство при любых значениях $x$ и $y$. А графиком уравнения будет вся координатная плоскость.

2. Пусть $a=0$, $b=0$, $c\ne 0$. Тогда уравнение примет вид:

$0·x+0·y=c$.

Т.е. мы получили $c=0$, но $c\ne 0$. Это не выполняется ни при каких значениях $x$ и $y$. Значит, уравнение не имеет решений.

3. Пусть $a=0$, $b\ne 0$. Тогда уравнение примет вид:

$0·x+b·y=c$.

Тогда $y=\frac{c}{b}$, а графиком будет прямая, параллельная оси $x$.

4. Пусть $a\ne 0$, $b=0$. Тогда уравнение примет вид:

$a·x+0·y=c$.

Тогда $x=\frac{c}{a}$, а графиком будет прямая, параллельная оси $y$.

5. Пусть $a\ne 0$, $b\ne 0$. Тогда уравнение примет вид:

$a·x+b·y=c$.

Графиком в этом случае будет прямая, не параллельная ни одной из осей координат.

Постройте график уравнения $x+y=5$.

Рис. 2. График уравнения х+у=5

Решение

 

В уравнении $x+y=5$ все коэффициенты отличны от нуля, значит, графиком будет прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

 

Пусть $x=-1$, тогда $-1+y=5$, $y=6$.

Пусть $x=3$, тогда $3+y=5$, $y=2$.

 

Отметим на координатной плоскости точки $(-1; 6)$ и $(3; 2)$ и соединим их (рис. 2). Мы получили график уравнения $x+y=5$.

1. Постройте график уравнения $x+3y=0$.

2. Постройте график уравнения $2y=5$.

3. Постройте график уравнения $-3x=8$.

4. Постройте график уравнения $-2x+5y=6$.

Ответы

Упражнение 1

 

1. $2x+5y=26$

2. $40x+15y=230$ 

 

Упражнение 2

 

1. а) да 

б) да 

в) нет 

г) да

 

2. а) $y=12,8-0,8x$  

б) $x=16-1,25y$

 

3. $(1; 6), (6; 4), (11; 2)$ 

 

Упражнение 3

 

1. 

Рис. 3. Упражнение 3. Ответ

2. 

Рис. 4. Упражнение 3. Ответ

3.

Рис. 5. Упражнение 3. Ответ

4. 

Рис. 6. Упражнение 3. Ответ