Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Системы уравнений и неравенств

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

План урока

  • Линейное уравнение с двумя переменными;
  • График линейного уравнения с двумя переменными;
  • Решение задач по теме.

Цели урока

  • Знать определение линейного уравнения с двумя переменными;
  • Знать понятия: решение уравнения, график уравнения, равносильные уравнения, свойства линейных уравнений;
  • Уметь выражать одну переменную через другую;
  • Уметь строить график линейного уравнения;
  • Уметь решать линейное уравнение в натуральных числах.

Разминка

  • Что называется уравнением?
  • Что значит решить уравнение?
  • Какие уравнения вы знаете?
  • Что называется корнем уравнения?
  • Какой общий вид имеет линейная функция?
  • Что является графиком линейной функции?

Линейное уравнение с двумя переменными 

 

Вы уже давно знакомы с самым простым типом уравнений – линейными уравнениями с одной переменной. Вот пример такого уравнения:  

 

5х-2=8

5х=10 

х=2


Линейное уравнение с одной переменной – это уравнение вида ах=b, где х-переменная, которую нужно найти, а a и b – некоторые числа. 


Почему же этот тип уравнений называется линейным? Потому что графиком такого уравнения будет прямая. 


Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что корней нет. 


Рассмотрим, какое количество решений может иметь линейное уравнение с одной неизвестной.

 

Нет решений

1 решение 

Бесконечное множество решений 

Нет решений 

3х-5=1

3х=1+5

3х=6

х=2

2(3х+1)=6х+2

6х+2=6х+2

6х-6х=2-2

0х=0

х - любое

 

Теперь рассмотрим такую задачу. Одно число (обозначим его х) на 5 меньше квадрата другого числа (обозначим его за y). Тогда можно составить уравнение к этой задаче: 

 

у2-х=5

 

Мы получили уравнение с двумя неизвестными х и y. Это равенство выполняется не при всех значениях переменных. Например, для х=4у=3 оно выполняется, а для х=3у=2 такое равенство не выполняется. Подобное равенство с двумя переменными называют уравнением с двумя переменными, а пару чисел х=4у=3 называют решением уравнения

 

Рассмотрим еще одну задачу. Группу из 42 артистов нужно заселить в гостиницу в двухместные и трехместные номера, так, чтобы в номерах не осталось свободных мест. Пусть х – количество двухместных номеров, а y – количество трехместных номеров. Тогда 2х – это количество артистов в двухместных номерах, а 3у – количество артистов в трехместных номерах. Составим уравнение: 

 

2х+3у=42

 

Например, пара чисел х=15у=4 будет являться решением этого уравнения. 

Равенство, которое содержит две переменные, называется уравнением с двумя переменными. 


Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах+bу=с, где х и у – переменные, которые нужно найти, а аb и с – некоторые числа. Числа а и b называются коэффициентами при неизвестных х и у соответственно, а число с называется свободным членом


Примеры линейных уравнений с двумя переменными:

 

2х-7у=65, 7(х-2)+2(у+3)=2х+5, 9х=4у+13

 

Примеры уравнений с двумя переменными, которые не являются линейными (не приводятся к виду ах+bу=с): 

 

2х2+7у-3=10, ху+1=9, х+(у-2)2=26


Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных (х; у), обращающая это уравнение в верное равенство. На первом месте принято писать значение переменной х, а на втором – значение переменной у.


Вернемся еще раз к уравнению 2х+3у=42, полученному в рассмотренной выше задаче. Например, его решениями будут пары чисел (21; 0)(18; 2)(15; 4), (12; 6) и другие. Среди бесконечного множества решений данного уравнения есть, например, и такие пары, как (36; -10), которые не могут служить решением данной задачи, так как количество номеров не может быть отрицательным. 


Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными

Уравнения с двумя переменными, которые не имеют решений, также считаются равносильными. 


Отметим, что уравнения с двумя переменными обладают всеми свойствами линейных уравнений с одной переменной. А именно: 

 

1. если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть) одно и то же число, то получим равносильное уравнение; 

2. если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим равносильное уравнение; 

3. если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный, то получим равносильное уравнение. 


Пример 1 

Составить уравнение к задаче и подобрать одно решение. 

Сахар расфасован в пакеты по 3 кг и по 5 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получить 38 кг сахара? 


Решение 

 

Пусть х – количество пакетов по 3 кг, у – количество пакетов по 5 кг. Тогда 3х – количество кг сахара в трехкилограммовых пакетах, а 5у – количество кг сахара в пятикилограммовых пакетах. Всего сахара нужно 38 кг. Составим уравнение: 

 

3х+5у=38

 

Проверим, что пара чисел (1;7) является решением. Действительно, 

 

3·1+5·7=38

 

Ответ: 3х+5у=38(1;7).


Упражнение 1 

1. Составить уравнение к задаче. 

Сколько нужно двухрублевых  и пятирублевых монет, если вся покупка составляет 26 руб? 

2. Составить уравнение к задаче. 

Ваня купил шоколадки по 40 руб и соки по 15 руб. Сколько Ваня купил шоколадок и соков, если за всю покупку он отдал 230 руб? 


Выразить переменную у через х в заданном уравнении с двумя неизвестными х и у – это значит решить это уравнение относительно у при любом заданном значении х


Снова вернемся к уравнению 2х+3у=42, полученному в рассмотренной нами задаче. Выразим в этом уравнении переменную у через х, используя свойства уравнений. Перенесем слагаемое 2х в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный: 

 

3у=42-2х

 

Теперь разделим обе части уравнения на 3: 

 

у=14-23x.

 

Мы получили формулу для нахождения у. Пользуясь ей, мы можем найти сколько угодно решений нашего уравнения. Для этого нужно взять произвольное значение х и вычислить для него соответствующее значение у. Например: 

 

если х=1, то у=14-23=1313

 

если х=3, то у=14-23·3=12

 

если х=6, то у=14-23·6=10

 

Пары чисел (1; 1313)(3; 12)(6; 10) – это все решения уравнения 2х+3у=42.  Само уравнение имеет бесконечно много решений, но не все они подходят для решения именно нашей задачи. По условию количество номеров не может дробным числом, а также не может быть отрицательным. В таких случаях говорят, что надо решить уравнение «в натуральных числах».  

 

Все решения уравнения 2х+3у=42 в натуральных числах: 

 

(3;12), (6; 10), (9; 8), (12; 6), (15; 4), (18; 2). 


Пример 2 

Является ли решением уравнения 7х+у=23 пара чисел: 

 

а) (-2; 31);

б) (2;9);

в) (3; 2); 

г) (-1; 36). 


Решение 

 

а) Проверим первую пару (-2; 31). На первом месте указывается значение переменной х, а на втором – значение переменной у

 

Если х=-2у=31, то 7·(-2)+31=1723.

 

Пара чисел (-2; 31) не будет являться решением. 

 

б) Если х=2у=9, то 7·2+9=23.

 

Эта пара обращает уравнение в верное равенство, значит, является решением. 

 

в) Если х=3у=2, то 7·3+2=23.

 

Является решением. 

 

г) Если х=-1у=36, то 7·(-1)+36=2923.

 

Не будет решением уравнения. 

 

Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.


Пример 3 

Из линейного уравнения 2х-5у=45 выразите: 

 

а) у  через х;

б) х  через у


Решение 

 

а) Перенесем слагаемое 2х в правую часть, поменяв его знак на противоположный: 

 

-5у=45-2х

 

Разделим обе части уравнения на -5: 

 

у=-9+25x

у=-9+0,4х.

 

б) Перенесем слагаемое -5у в правую часть, поменяв его знак на противоположный: 

 

2х=45+5у

 

Разделим обе части уравнения на 2: 

 

х=22,5+2,5у

 

Ответ: a) у=-9+0,4х; б) х=22,5+2,5у.


Пример 4 

Решите уравнение 3х+2у=15 в натуральных числах. 


Решение 

 

Выразим переменную у через х

 

3х+2у=15 

2у=15-3х

У=15-3x2

У=7,5-1,5х.

 

Если х=1, то у=7,5-1,5·1=6. Натуральное. 

 

Если х=2, то у=7,5-1,5·2=4,5. Не является натуральным. 

 

Если х=3, то у=7,5-1,5·3=3. Натуральное. 

 

Если х=4, то у=7,5-1,5·4=1,5. Не является натуральным. 

 

Если х=5, то у=7,5-1,5·5=0. Не является натуральным. 

 

Если дальше увеличивать значения переменной x, то значения переменной y будут уменьшаться и уходить в отрицательные значения. 

 

Ответ: (1;6), (3;3).


Упражнение 2 

1. Является ли решением уравнения 2х+6у=58 пара чисел: 

а) (-10; 13); 

б) (2;9); 

в) (7; 6); 

г) (-1; 10).

 

2. Из линейного уравнения 4х+5у=64 выразите: 

а) у через х 

б) х через у 

 

3. Решите уравнение 2х+5у=32 в натуральных числах. 


График линейного уравнения с двумя переменными 

 

Каждому решению (х;у) линейного уравнения с двумя переменными можно поставить в соответствие точку на координатной плоскости, причем значение х будет абсциссой, а значение у – ординатой. 


Графиком уравнения называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения. 


Давайте построим график уравнения 3х-2у=-4

Выразим переменную у через х

 

у= 3х+42

у=1,5х+2.

 

Мы получили равносильное уравнение. Этой формулой задается линейная функция, а мы знаем, что ее графиком будет прямая. 

Найдем несколько решений: 

Рис. 1. График уравнения 3х-2у=4 Рис. 1. График уравнения 3х-2у=4

1. (0; 2), действительно, если х=0, то у=1,5·0+2=2;

2. (-1; 0,5), действительно, если х=0, то у=1,5·(-1)+2=0,5

 

Отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 1) и проведем через них прямую. Эта прямая и есть график уравнения 3х-2у=4

 

Как еще может выглядеть график линейного уравнения с двумя переменными? Рассмотрим возможные случаи.

 

1. Пусть а=0b=0с=0. Тогда уравнение примет вид:

 

0·х+0·у=0.

 

Таким образом, мы получили 0=0. Это будет верное равенство при любых значениях х и у. А графиком уравнения будет вся координатная плоскость.

2. Пусть а=0b=0с0. Тогда уравнение примет вид:

 

0·х+0·у=с.

 

Т.е. мы получили с=0, но с0. Это не выполняется ни при каких значениях х и у. Значит, уравнение не имеет решений.

 

3. Пусть а=0b0. Тогда уравнение примет вид:

 

0·х+b·у=с.

 

Тогда y=cb, а графиком будет прямая, параллельная оси Оx.

 

4. Пусть а0b=0. Тогда уравнение примет вид:

 

а·х+0·у=с.

 

Тогда x=ca, а графиком будет прямая, параллельная оси Оy.

 

5. Пусть а0b0. Тогда уравнение примет вид:

 

а·х+b·у=с.

 

Графиком в этом случае будет прямая, не параллельная ни одной из осей координат.

 


Если хотя бы один из коэффициентов a или b линейного уравнения с двумя неизвестными aх+bу=с отличен от нуля, то графиком уравнения служит прямая.


Пример 5

Постройте график уравнения х+у=5.


Рис. 2. График уравнения х+у=5 Рис. 2. График уравнения х+у=5

Решение

 

В уравнении х+у=5 все коэффициенты отличны от нуля, значит, графиком будет прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

 

Пусть х=-1, тогда -1+у=5у=6.

Пусть х=3, тогда 3+у=5у=2.

 

Отметим на координатной плоскости точки (-1; 6) и (3; 2) и соединим их (рис. 2). Мы получили график уравнения х+у=5.


Упражнение 3

1. Постройте график уравнения х+3у=0.

2. Постройте график уравнения 2у=5.

3. Постройте график уравнения -3х=8.

4. Постройте график уравнения -2х+5у=6.


Контрольные вопросы

 

1. Что называется линейным уравнением с двумя переменными? Приведите примеры.

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

3. Какие уравнения называются равносильными?

4. Какие преобразования уравнения с двумя переменными приводят к равносильным уравнениям?

5. Что является графиком уравнения с двумя переменными?

6. При каком условии график линейного уравнения параллелен оси Оx? Параллелен оси Оy?

7. При каком условии у линейного уравнения нет графика? Приведите пример.


Ответы

Упражнение 1

 

1. 2х+5у=26

2. 40х+15у=230 

 

Упражнение 2

 

1. а) да 

б) да 

в) нет 

г) да

 

2. а) у=12,8-0,8х  

б) х=16-1,25у

 

3. (1; 6), (6; 4), (11; 2) 

 

Упражнение 3

 

1. 

Рис. 3. Упражнение 3. Ответ Рис. 3. Упражнение 3. Ответ

2. 

Рис. 4. Упражнение 3. Ответ Рис. 4. Упражнение 3. Ответ

3.

Рис. 5. Упражнение 3. Ответ Рис. 5. Упражнение 3. Ответ

4. 

Рис. 6. Упражнение 3. Ответ Рис. 6. Упражнение 3. Ответ

Предыдущий урок
Действия над числами и их свойства
Алгебраические выражения
Следующий урок
Решение систем уравнений. Способ сложения
Системы уравнений и неравенств
  • Культура России XVII в.

    История

  • Н.А. Некрасов. Лирика. «Размышления у парадного подъезда», «Вчерашний день, часу в шестом…», «Несжатая полоса»

    Литература

  • Learning languages. Изучаем языки

    Английский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке