Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Способ подстановки

Системы уравнений и неравенств

11.12.2024
2048
0

Способ подстановки

План урока

  • Способ подстановки;
  • Решение заданий по теме.

Цели урока

  • Знать, какие системы уравнений являются равносильными;
  • Знать алгоритм решения системы уравнений способом подстановки;
  • Уметь решать системы уравнений способом подстановки.

Разминка

  • Что называется системой линейных уравнений с двумя неизвестными?
  • Что значит решить систему?
  • Сколько решений может иметь система двух уравнений с двумя неизвестными?
  • Опишите суть графического метода решения системы уравнений

Способ подстановки

Рассмотрим систему уравнений 2x+y=4,3x-2y=-1. Для начала решим её графически. Для построения графика уравнения 2x+y=4 возьмем точки (0; 4) и (2; 0). Для построения графика второго уравнения, 3x-2y=-1, возьмем два решения (0; 0,5) и (-1; -1). Из рисунка видно, что решением системы будет (1; 2) (рис. 1).

Рис. 1. Решение системы уравнений графическим способом

Теперь решим эту же систему другим способом. Из первого уравнения выразим переменную y через x:

 

y=4-2x.

 

Так как это уравнение равносильно исходному, подставим его в нашу систему:

 

y=4-2x,3x-2y=-1.

 

Теперь подставим выражение 4-2x во второе уравнение системы, вместо переменной y. Получим:

 

y=4-2x,3x-2(4-2x)=-1.

 

В получившейся системе второе уравнение содержит только одну неизвестную x. Решим это уравнение:

 

3x-2(4-2x)=-1,

3x-8+4x=-1,

7x=7,

x=1.

Полученное значение x=1 подставим в первое уравнение системы y=4-2x, чтобы найти значение переменной y:

 

y=4-2·1,

y=2.

 

Таким образом, пара чисел (1; 2) будет решением системы. 

Рассмотренный нами способ решения системы уравнений называется способом подстановки.


Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют одни и те же решения или не имеют решений, называются равносильными.


При решении системы уравнений мы с помощью преобразований заменяем ее более простой (с точки зрения решения) равносильной системой.

Рассмотрим еще примеры решения систем уравнений способом подстановки.


Пример 1

Решите систему уравнений способом подстановки 5x-3y=14,2x+y=10.


Решение

 

Внимательно посмотрев на уравнения системы, заметим, что проще всего выразить переменную y из второго уравнения:

 

2x+y=10,

y=10-2x.

 

Теперь полученное выражение подставим в первое уравнение вместо переменной y:

 

5x-3y=14,

5x-3(10-2x)=14,

5x-30+6x=14,

11x=44,

x=4.

 

Подставим значение x=4 во второе уравнение системы, чтобы найти y:

 

y=10-2x,

y=10-2·4,

y=2.

 

Получили решение (4; 2).

Решение системы можно оформить следующим образом:

 

5x-3y=14,2x+y=10,5x-3y=14,y=10-2x,5x-3(10-2x)=14,y=10-2x,

x=4,y=10-2x,x=4,y=10-2·4,x=4,y=2.

 

 

Ответ: (4; 2).


При решении системы уравнений способом подстановки, мы должны придерживаться следующего алгоритма:

1 шаг.  Выразить из одного уравнения системы одну переменную через другую.

2 шаг. Подставить полученное выражение вместо переменной в другое уравнение.

3 шаг. Решить полученное уравнение с одной переменной.

4 шаг. Найти соответствующее значение второй переменной.

5 шаг. Записать решение системы уравнений


Пример 2

Решите систему способом подстановки x+5y=35,3x+2y=27.


Решение

 

Разберем решение системы по пяти шагам алгоритма.

1) Выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения выразим переменную x:

 

x+5y=35,

x=35-5y.

 

2) Подставим полученное выражение 35-5y вместо переменной x во второе уравнение:

 

3x+2y=27,

3(35-5y)+2y=27.

 

3) Решим полученное уравнение с одной переменной:

 

3(35-5y)+2y=27,

105-15y+2y=27,

-13y=-78,

y=6.

 

4) Найдем соответствующее значение второй переменной. В первое уравнение вместо y подставим ее значение - 6:

 

x=35-5y,

x=35-5·6,

x=5.

 

5) Запишем решение системы уравнений. Получили решение (5; 6).

 

Ответ: (5; 6).


Упражнение 1

1. Решите систему уравнений способом подстановки 2x-y=2,3x-2y=3.

2. Решите систему уравнений способом подстановки 5y-x=6,3x-4y=4.

3. Решите систему уравнений способом подстановки 3x+4y=55,7x-y=56.

4. Решите систему уравнений способом подстановки 4y-x=11,6y-2x=13.


Контрольные вопросы

 

1. Какие системы уравнений называются равносильными?

2. Опишите алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.


Ответы

Упражнение 1

 

1. (1; 0)

2. (4; 2)

3. (9; 7)

4. (7; 4,5)

Предыдущий урок
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Системы уравнений и неравенств
Следующий урок
Способ сложения
Системы уравнений и неравенств
Поделиться:
  • Преобразование целого выражения в многочлен

    Алгебра

  • Рельеф и полезные ископаемые

    География

  • Луч и угол

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке