Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Параллелограмм. Признаки параллелограмма. Теорема Фалеса

Четырехугольники

24.02.2024
1384
0

Параллелограмм. Признаки параллелограмма

План урока

  • Определение параллелограмма
  • Свойства параллелограмма
  • Признаки параллелограмма

Цели урока

  • Знать определение параллелограмма, свойства параллелограмма и признаки параллелограмма
  • Уметь применять свойства параллелограмма для решения задач, доказывать, что четырехугольник является параллелограммом, применяя признаки параллелограмма

Разминка

  • Какие треугольники называют равными?
  • Как доказать равенство треугольников?
  • Какие прямые называются параллельными?
  • Как доказать параллельность прямых?
  • Какими свойствами обладают параллельные прямые?

Рис. 1. Параллелограмм

Определение параллелограмма

 

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые f и i, пересеченные двумя другими параллельными прямыми g и h (Рис. 1). В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.


Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.


Рис. 2. Параллелограмм

На рис. 2 изображен параллелограмм ABCD, в котором ABCDADBC.

 

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.


Свойство 1

 

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.


Доказательство

Рис. 3. Доказательство свойства 1

Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис. 3). Диагональ BD разделяет его на 2 треугольника: ABD и BCD. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: BD — общая сторона, ABD=CDBADB=CBD как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD, AD и BC. В равных треугольниках равны соответствующие элементы, поэтому AB=CDAD=BCA=C. Пользуясь равенствами ABD=CDBADB=CBD, можем сделать вывод B=D.


Свойство 2

 

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.


Доказательство

Рис. 4. Доказательство свойства 2

Пусть O — точка пересечения диагоналей ACи BD параллелограмма ABCD (Рис. 4). Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам: AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, BAO=DCO,  ABO=CDO как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно.  Поэтому AO=OCBO=OD,
что и требовалось доказать.


Пример 1

 

Сумма двух углов параллелограмма равна 200°. Найдите углы параллелограмма.


Решение

 

Пусть дан параллелограмм ABCD (Рис. 2). Поскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых, то данные углы могут быть только противоположными. Пусть B+D=200°. Тогда по свойству углов параллелограмма B=D=200° : 2=100°. Значит, A=C=180°-100°=80°

 

Ответ80° и 100°.


Пример 2

 

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A делит сторону BC пополам. Найдите периметр параллелограмма, если AB=6 см


Решение

Рис. 5. Пример 2

Пусть в параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке EBE=EC (Рис. 5).

 

Заметим, что BAE=DAE, поскольку AE — биссектриса BAD, а BEA=DAE как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AE. Отсюда BAE=BEA, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, ABE — равнобедренный с основанием AE, значит, BE=AB=6 см. По условию BE=ECBC=12 см

 

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то 

 

PABCD=2·(6+12)=36 (см).

 

Ответ36 см.


Признаки параллелограмма

 

Рассмотрим 3 признака параллелограмма


Признак 1

 

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник  — параллелограмм. 


Доказательство

Рис. 6. Параллелограмм ABCD

Рассмотрим четырехугольник ABCD.

ABCD,  AB=CD (Рис. 6). Проведем диагональ AC, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (AC — общая сторона, AB=CDBAC=DCA как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC), поэтому BCA=DAC, а они накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC, следовательно ADBC.

 

Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит четырехугольник ABCD — параллелограмм по определению.


Признак 2

 

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.


Доказательство

 

Рассмотрим четырехугольник ABCD AB=CDBC=AD (Рис. 6). Проведем диагональ AC, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABCи CDA. Эти треугольники равны по трем сторонам (AC — общая сторона, AB=CDBC=AD), поэтому BCA=DAC, а они накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC, следовательно ADBC.  

 

Таким образом BC=ADBCAD, следовательно четырехугольник ABCD — параллелограмм по первому признаку. 


Признак 3

 

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. 


Доказательство

Рис. 7. Доказательство третьего признака

Пусть O — точка пересечения диагоналей ACи BD четырехугольника ABCD AO=OC,BO=OD (Рис. 7). Треугольники AOB и CODравны  по  двум  сторонам и  углу  между  ними

(AO=OCBO=ODAOB=COD как вертикальные углы), поэтому AB=CDBAO=DCO. Из равенства BAO и DCO следует, что ABCD.

 

Таким образом, AB=CDABCD, следовательно четырехугольник ABCD — параллелограмм по первому признаку.


Признак 1, признак 2, признак 3 не являются общепризнанными названиями приведенных признаков параллелограмма, поэтому при решении задач (доказательстве) не нужно ссылаться на конкретный признак, достаточно лишь указать, что четырехугольник является параллелограммом по признаку параллелограмма.


Пример 3

 

В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон AB и CDсоответственно (Рис. 8). Докажите, что четырехугольник MBND — параллелограмм.


Решение

Рис. 8. Пример 3

Рассмотрим четырехугольник MBND. Стороны MB и ND параллельны, т. к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма ABCD. Кроме того, MB=ND как половины равных сторон AB и CD параллелограмма ABCD. Таким образом, в четырехугольнике MBND две стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник MBND — параллелограмм.


Упражнения

 

1. Найдите углы параллелограмма, если:

а) один из них равен 110°;

б) один из них на 70° меньше другого;

в) сумма двух его углов равна 90°;

г) диагональ образует с его сторонами углы 30° и 45°.

 

2. Периметр параллелограмма ABCD равен 14 дм, а периметр треугольника ABC — 10 дм. Найдите длину диагонали AC.

 

3. В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны. Найдите периметр четырехугольника, если AB=CD=9 смAD=4 см.

 

4. В четырехугольнике ABCD AB=CDAD=BC. Найдите углы четырехугольника, если угол A втрое больше угла B.

 

5. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Является ли данный четырехугольник параллелограммом, если AO=4 смOC=40 ммBD=1,2 дмOD= 6 см? Ответ обоснуйте.


Контрольные вопросы

 

1. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Назовите:

а) сторону, параллельную стороне BC;

б) сторону, равную стороне CB;

в) угол, равный углу A.

 

2. Верно ли, что любой параллелограмм имеет:

а) два угла, сумма которых равна 180°;

б) два острых и два тупых угла?

 

3. В параллелограмме ABCD B<C. Сравните углы A и D.

 

4. В параллелограмме ABCD AB+CD>AD+BC. Сравните стороны BC и CD.

 

5. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (Рис. 4). Назовите:

а) отрезок, который является медианой треугольника ACD;

б) треугольник, медианой которого является отрезок AO.

 

6. Диагонали четырехугольника DEFK  пересекаются в точке O, причем DO=OFEO=OK. Назовите параллельные стороны четырехугольника и объясните, почему они параллельны.

 

7. В четырехугольнике KLMN KLMN и KL=MN. Назовите равные углы четырехугольника и объясните, почему они равны.

 

8. В четырехугольнике PRSQ PR=SQPQ=RS. Найдите сумму углов R и S.

 

9. В четырехугольнике ABCD ABCD. Какое соотношение между сторонами четырехугольника необходимо добавить к условию задачи, чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм? Приведите все возможные варианты ответа.


Ответы

1. а) 110°, 70°, 110°, 70°

    б) 55°, 125°, 55°, 125°

    в) 135°, 45°, 135°, 45°;

    г) 105°, 75°, 105°, 75°.

 

2. 3 дм.

 

3. Четырехугольник ABCD является параллелограммом по 1 признаку. Периметр равен 26 см.

 

4. Четырехугольник ABCD является параллелограммом по 2 признаку, углы равны 135°, 45°, 135°, 45°

 

5. Четырехугольник ABCD является параллелограммом по 3 признаку.


Предыдущий урок
Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Определение, свойства, признаки
Четырехугольники
Следующий урок
Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырёхугольник
Четырехугольники
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Измерение силы тока и напряжения. Зависимость силы тока от напряжения. Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводника

    Физика

  • Экономическое развитие России во второй половине XVIII в.

    История

  • Степень окисления

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке