Онлайн школа №1 - Энциклопедия

Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Свойства и признаки

План урока

Прямоугольник
Ромб
Квадрат

Цели урока

Знать свойства и признаки прямоугольника, ромба и квадрата
Уметь применять свойства прямоугольника, ромба и квадрата при решении задач

Разминка

Какой параллелограмм называют прямоугольником, ромбом, квадратом?
Как доказать равенство прямоугольных треугольников?
Какими свойствами обладают равнобедренные треугольники?

На прошлом уроке мы рассмотрели три вида параллелограмма: прямоугольник, ромб и квадрат. Поскольку каждый из них является, в первую очередь, параллелограммом, то и в прямоугольнике, и в ромбе, и в квадрате противоположные стороны равны, противоположные углы равны и диагонали точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим свойства и признаки, особые для прямоугольника, ромба и квадрата.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

Рис. 1. Доказательство

Рассмотрим прямоугольник $A B C D$ с диагоналями $A C$ и $B D$ (рис. 1), которые пересекаются в точке $O .$ Прямоугольные треугольники $A C D$ и $D B A$ равны по двум катетам ( $C D = B A$ , $A D$ — общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. $A C = B D$ , что и требовалось доказать.

Обратное утверждение — признак прямоугольника.

Признак

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Доказательство

Пусть в параллелограмме $A B C D$ диагонали $A C$ и $B D$ равны. (Рис. 1). Треугольники $A B D$ и $D C A$ равны по трем сторонам ( $A B = D C$ , $B D = A C$ , $A D$ — общая сторона). Следовательно, $∠ B A D = ∠ C D A$ . В параллелограмме противоположные углы равны, тогда все углы параллелограмма $A B C D$ равны. Параллелограмм — выпуклый четырехугольник, поэтому сумма его углов $360 °$ , значит каждый угол равен $90 °$ , $A B C D$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Пример 1

Диагональ делит угол прямоугольника в отношении $5 : 4$ . Найдите угол между диагоналями данного прямоугольника.

Решение

Рассмотрим прямоугольник $A B C D$ , $A C \cap B D = O$ (Рис. 1), $A C = B D$ по свойству прямоугольника. По свойству параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам, отсюда $A O = B O$ . Получили, что треугольник $A B O$ — равнобедренный, углы при основании равны. Диагональ делит угол прямоугольника в отношении $5 : 4$ , углы прямоугольника $90 °$ , следовательно диагональ делит углы прямоугольника на углы в $40 °$ и $50 °$ . Если $∠ A B O = 40 °$ , то $∠ A O B = 100 °$ , тогда угол между диагоналями $80 °$ , поскольку угол между прямыми не превосходит $90 °$ .

Ответ: $80 °$ .

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство

Рис. 2. Доказательство

Рассмотрим ромб $A B C D$ с диагоналями $A C$ и $B D$ (рис. 2).

По определению ромба все его стороны равны, в частности $A B = A D$ , поэтому $△ A B D$ — равнобедренный. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно отрезок $A O$ — медиана равнобедренного треугольника $A B D$ , проведенная к основанию, а, значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому $A C ⊥ B D$ и $∠ B A C = ∠ D A C$ , что и требовалось доказать.

Обратные утверждения являются признаками ромба.

Признак

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм $A B C D$ , диагонали которого $A C$ и $B D$ , $A C ⊥ B D$ , $A C \cap D B = O$ (рис. 2). Докажем, что $A B C D$ — ромб.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, $B O = O D$ , следовательно, прямоугольные треугольники $A B O$ и $A D O$ равны по двум катетам

( $A O$ — общий катет), следовательно $A B = A D$ . Противоположные стороны параллелограмма равны, значит все стороны параллелограмма $A B C D$ равны, это ромб, что и требовалось доказать.

Признак

Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это параллелограмм — ромб.

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм $A B C D$ (рис. 2), диагонали которого $A C$ и $B D$ , $A C \cap B D = O$ , $B D$ — биссектриса угла $B$ и $D B$ — биссектриса угла $D$ $(∠ A B D = ∠ C B D, ∠ A D B = ∠ C D B) .$ Противоположные углы параллелограмма равны $∠ A B C = ∠ A D C$ , следовательно $∠ A B D = ∠ A D B$ . Два угла треугольника $A B D$ равны, тогда $△ A B D$ — равнобедренный, $A B = A D$ . Противоположные стороны параллелограмма равны, значит все стороны параллелограмма $A B C D$ равны, это ромб.

Пример 2

Диагональ ромба длиной $6 с м$ проведена из вершины угла, равного $120 °$ . Найдите периметр ромба.

Решение

Рис. 3. Пример 2

Рассмотрим ромб $A B C D$ , $∠ A = 120 °$ , $A C = 6 с м$ (рис. 3). По свойству ромба $A C$ — биссектриса угла $A$ , $∠ B A C = 60 °$ , стороны ромба равны, значит, $△ A B C$ — равнобедренный, угол при основании равен $60 °$ , значит треугольник $A B C$ — равносторонний. $A B = B C = A C = 6 с м$ , $P_{A B C D} = 4 \cdot 6 с м = 24 с м$ .

Ответ: $24 с м$ .

Квадрат

Рис. 4. Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:

Все углы квадрата прямые (рис. 4).
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам (рис. 4).

Пример 3

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, с периметром $8 с м$ (рис. 5). Найдите катет треугольника.

Решение

Рис. 5. Пример 3

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник $A B C$ с прямым углом $B$ и квадрат $B D E F$ , вписанный в треугольник (рис. 5).

Диагональ $B E$ — делит угол $B$ пополам. Следовательно, $B E$ — медиана и высота треугольника $A B C$ . Прямые $B C$ и $D E$ перпендикулярны $A B$ , следовательно $B C ∥ D E$ , по теореме Фалеса $D$ — середина стороны $A B$ , $A B = 2 \cdot B D$ . Периметр квадрата равен $8 с м$ , все стороны равны, $B D = 2 с м$ , $A B = 2 \cdot 2 = 4 с м$ .

Ответ: $4 с м$ .

Упражнения

1. Точка пересечения диагоналей прямоугольника удалена от двух его сторон на $3 с м$ и $4 с м$ . Найдите периметр прямоугольника.

2. Диагонали прямоугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O$ , причем $∠ C O B = 60 °$ , $C B = 8 с м$ . Найдите длину диагонали.

3. Найдите углы ромба, если углы, образованные его стороной с диагоналями, относятся как $1 : 4$ .

4. Диагональ квадрата равна $18 м$ , а его сторона является диагональю другого квадрата. Найдите периметр меньшего квадрата.

Контрольные вопросы

1. Назовите виды параллелограммов, у которых:

а) все углы равны;

б) все стороны равны;

в) диагонали равны;

г) диагонали перпендикулярны.

2. Диагонали ромба $A B C D$ пересекаются в точке $O$ (рис. 3). Назовите:

а) биссектрису треугольника $A B D$ ;

б) высоту треугольника $A B C$ ;

в) медиану треугольника $B C D$ .

3. Диагонали квадрата $A B C D$ пересекаются в точке $O$ . Назовите все равные треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей. Определите вид этих треугольников.

4. Может ли диагональ прямоугольника быть равной его стороне? Может ли диагональ ромба быть равной его стороне?

5. Может ли прямоугольник быть ромбом? В каком случае?

6. Приведите контрпримеры, опровергающие приведенные неверные утверждения:

а) четырехугольник, который имеет два прямых угла, — прямоугольник;

б) четырехугольник с перпендикулярными диагоналями — ромб;

в) четырехугольник с равными диагоналями — прямоугольник;

г) четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны, — квадрат.

Ответы

1. $28 с м$ .

2. $16 с м$ .

3. $36 °$ и $144 °$ .

4. $36 м$ .

Конспект урока: Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Определение, свойства, признаки

Четырехугольники

Прямоугольник

Ромб

Квадрат