Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Погрешность и точность приближения

Числа

28.03.2024
2111
0

Погрешность и точность приближения

План урока

  • Абсолютная погрешность приближенного значения
  • Относительная погрешность приближенного значения

Цели урока

  • Знать определения абсолютной и относительной погрешности приближенного значения
  • Уметь находить абсолютную и относительную погрешность приближенного значения

Разминка

  • Округлите до сотых число:

а) 5,113; б) 5,124; в) 5,553; г) 5,067.

 

Абсолютная погрешность приближенного значения

 

На практике в вычислениях используют, как правило, десятичные дроби с ограниченным числом десятичных знаков. Если дробь бесконечная или с большим количеством десятичных знаков, ее округляют. Так число π выражается бесконечной десятичной непериодической дробью 3,1415926… В зависимости от задачи его округляют до десятых, сотых, тысячных и т.д. И тогда получают приближенные значения: 3,1; 3,14; 3,142 и т.д. 

 

По графику функции y=x2 можно найти приближенные значения этой функции при x=1,6 и x=2,3если x=1,6, то y2,6;  если x=2,3, то y5,3.

Точные значения квадратов чисел:

если x=1,6, то y=1,62=2,56; если x=2,3, то y=2,32=5,29.

В первом случае отличие приближенного значения от точного значения равно 0,04, во втором – 0,01:
 

2,6-2,56=0,04; 5,3-5,29=0,01.


Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.


Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность определяется следующим образом:
 

|2,56-2,6|=|-0,04|=0,04; |5,29-5,3|=|-0,01|=0,01.
 

Найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Например, при измерении длины отрезка с помощью линейки мы можем сказать, что абсолютная погрешность не превосходит цены деления. Цена деления обычной линейки 0,1 см, поэтому абсолютная погрешность приближенного значения не больше 0,1.


Если xa и абсолютная погрешность этого приближенного значения не превосходит некоторого числа h, то число a называют приближенным значением x с точностью до h.


Пишут: 

xa с точностью h.

Обычно используют другую запись:

x=a±h.

Эта запись означает, что 

a-hxa+h.

Например, если x=15±0,2, то 14,8x15,2.

Точность приближенного значения зависит от многих причин. На практике в процессе измерения, его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение, от его точности.


Упражнение 1

1. Округлите числа 1,526; 13,56; 5,753 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
 

2. Приближенное значение числа x равно a. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:

а) x=3,76; a=3,8; б) x=9,653; a=9,7; в)   x=38,1; a=38
г) x=26,48; a=26.

 

3. Запишите в виде двойного неравенства:

а) x=7±1; б) x=27±3; в) x=23±0,1; г) x=16,5±0,5
д) x=5,82±0,01; е) x=30,42±0,05.


Относительная погрешность приближенного значения

 

Допустим, мы измерили толщину h монеты и ее диаметр d в сантиметрах:
 

h=0,2±0,1;  d=2,5±0,1
 

Тогда качество измерения можно оценить как отношение точности измерения к приближенному значению: для толщины 0,10,2=0,5, а для диаметра 0,12,5=0,04. Чем меньше отношение, тем точнее измерение. 


Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.


Относительную погрешность принято выражать в процентах:

|x-aa|100%.

Тогда 0,10,2100%=50%, 0,12,5100%=4%. Тогда говорят, что измерение толщины выполнено с относительной точностью до 50%, а измерение диаметра — с относительной точностью до 4%. Качество второго измерения значительно выше, чем первого.


Упражнение 2

Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления (в процентах):

а) 2,1; б) 5,12; в) 9,736; г) 49,54.


Контрольные вопросы

1. Что называется абсолютной погрешностью приближенного значения? Поясните смысл записи x=a±h.

2. Что называется относительной погрешностью приближенного значения?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 0,026; 0,04; 0,047.

 

2. а) 0,04; б) 0,047; в) 0,1; г) 0,48.

 

3. Запишите в виде двойного неравенства:

а) 6x8; б) 24x30; в) 22,9x23,1; г) 16x17; д) 5,81x5,83
е)30,37x30,47.

 

Упражнение 2

 

а) 5%; б) 2,4%; в) 2,64%; г) 0,92%.



Предыдущий урок
Действительные числа
Числа
Следующий урок
Стандартный вид числа
Числа
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырёхугольник

    Геометрия

  • Решение задач. Смешанное соединение проводников. Электрические цепи. Измерение токов и напряжений в цепи

    Физика

  • Миграции населения в России. География рынка труда

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке