Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Четырехугольники

План урока

Четырехугольник и его элементы
Сумма углов четырехугольника

Цели урока

Знать определения четырехугольника, вершин и сторон четырехугольника, диагоналей четырехугольника
Уметь обозначать четырехугольник, вычислять периметр четырехугольника, находить величины углов четырехугольника с использованием теоремы о сумме углов четырехугольника

Рис. 1. Четырехугольник

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (Рис. 1). Данные точки называются вершинами четырехугольника, а отрезки — сторонами четырехугольника. При этом никакие три вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются.

Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одним отрезком; вершины, которые не являются соседними, называют противоположными вершинами. Стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, называются смежными (соседними) сторонами, а стороны, не имеющие общих вершин — противоположными сторонами. На рис. 1 стороны $A B$ и $C D$ — смежные для стороны $B C$ , а сторона $A B$ — противоположная стороне $C D$ ; вершины $B$ и $D$ — соседние с вершиной $A$ , а вершина $C$ — противоположная вершине $A$ . Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рис. 1 можно обозначить $A B C D$ , $B C D A$ или $C B A D$ , но нельзя обозначать $A B D C$ или $B D C A$ .

Рис. 2а Рис. 2б

Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противоположные вершины. На рис. 2 обратите внимание, что у невыпуклого четырехугольника (Рис. 2а) одна из двух диагоналей расположена во внешней его области. Диагонали выпуклого четырехугольника (Рис. 2б) пересекаются. Прямые, содержащие диагонали невыпуклого четырехугольника, так же пересекутся.

Следует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника.

Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой $P$ :

$P_{A B C D} = A B + B C + C D + A D$

Теорема (о сумме углов четырехугольника)

Сумма углов четырехугольника равна $360 °$ .

Доказательство

Рис. 3. Теорема о сумме углов четырехугольника

В данном четырехугольнике $A B C D$ проведем диагональ $B D$ , которая делит его на два треугольника (Рис. 3). Поскольку $∠ A B C = ∠ A B D + ∠ C B D$ , $∠ A D C = ∠ A D B + ∠ C D B$ , то сумма углов четырехугольника $A B C D$ равна сумме всех углов треугольников $A B D$ и $B D C$ , то есть равна $360 °$ .

Теорема доказана.

Очевидно, что утверждение теоремы для выпуклых четырехугольников следует из формулы $(n - 2) \cdot 180 °$ при $n = 4$ .

Упражнения

1. Вершинами четырехугольника являются точки $K$ , $O$ , $M$ , $N$ .

а) Известно, что $K M$ и $M O$ — стороны четырехугольника. Назовите его диагонали.

б) Известно, что $K O$ — диагональ четырехугольника. Назовите вершины, соседние с вершиной $K$ .

в) Данный четырехугольник можно назвать $K M O N$ . Можно ли назвать его $M O K N$ ?

2. Периметр четырехугольника равен $20$ см. Найдите стороны четырехугольника, если одна из них составляет $40 %$ периметра, а три оставшиеся равны.

3. Два угла четырехугольника равны $80 °$ и $100 °$ , а два других угла имеют равные градусные меры. Найдите наименьший угол четырехугольника.

Контрольные вопросы

1. Сколько соседних вершин имеет вершина четырехугольника? Сколько противоположных? Назовите соседние и противоположные вершины для вершины $B$ четырехугольника $A B C D$ .

2. Сколько смежных сторон имеет сторона четырехугольника? Сколько противоположных? Назовите смежные и противоположные стороны для стороны $M N$ четырехугольника $P K M N$ .

3. Отрезок, соединяющий две вершины четырехугольника, не является его диагональю. Могут ли данные вершины быть противоположными?

4. Существует ли четырехугольник $A B C D$ , в котором $A B = 9 с м$ , $B C = 12 с м$ , $A C = 21 с м$ ? Ответ обоснуйте.

5. Могут ли все углы выпуклого четырехугольника быть острыми; тупыми; прямыми?

6. Может ли выпуклый четырехугольник иметь три острых угла; три тупых угла; два прямых угла; три прямых угла и один непрямой?

7. Могут ли углы треугольника быть равными трем углам из четырех углов четырехугольника? Ответ обоснуйте.

8. Периметры четырехугольников $A B C B$ и $A B C B$ , равны. Может ли один из этих четырехугольников быть выпуклым, а другой — невыпуклым? Ответ подтвердите рисунком.

Ответы

1. а) $K O$ и $M N$ ;

б) $M$ и $N$

в) нет, вершины $K$ и $O$ не соседние, а противоположные, поэтому не могут стоять рядом в названии четырехугольника.

2. $8 с м$ , $4 с м$ , $4 с м$ , $4 с м$ .

3. $80 °$ .

Конспект урока: Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырёхугольник

Четырехугольники