Конспект урока: Вынесение множителя за знак корня и внесение его под знак корня

Вынесение множителя за знак корня

Сравним значения выражений $\sqrt{108}$ и $7\sqrt{3}$.

Решение
 

Разложим подкоренное выражение 108 на множители так, чтобы один из них был бы полным квадратом: $108=36·3$.

Таким образом

$\sqrt{108}=\sqrt{36·3}=\sqrt{36}·\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

 

Так как $6\sqrt{3}<7\sqrt{3}$, то $\sqrt{108}<7\sqrt{3}$. 
 

Ответ: $\sqrt{108}<7\sqrt{3}$.

Таким образом, при решении этой задачи мы заменили $\sqrt{108}$ на $6\sqrt{3}$. Такое преобразование называют вынесением множителя за знак корня .

Упростите выражение:

а) $\sqrt{28}$; б) $\sqrt{99}$; в) $0,2\sqrt{50}$; г) $\sqrt{5^2·3}$; д) $\sqrt{3^4·5}$; е) $\sqrt{2^3·3^5}$.

Вынесите множитель за знак корня в выражении $\sqrt{a^5}$.

Решение
 

Выражение $\sqrt{a^5}$ имеет смысл лишь при $a\ge 0$, так как если $a<0$, то $a^5<0$.

Представим подкоренное выражение $a^5$ в виде произведения $a^5=a^4·a$, в котором множитель $a^4$ является степенью с четным показателем. 

Тогда $\sqrt{a^5}=\sqrt{a^4·a}=a^2\sqrt{a}$

.

Ответ: $a^2\sqrt{a}$.

Упростите выражение:

а) $\sqrt{11a^2}$, где $a\ge 0$;   б) $\sqrt{c^3}$;   в) $\sqrt{5x^4}$;

г) $\sqrt{3b^5}$;   д) $\sqrt{300a^7}$;   е) $\sqrt{36m^9}$.

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим другой способ решения задачи из примера 1.

Сравним значения выражений $\sqrt{108}$ и $7\sqrt{3}$.                     

Решение
 

В выражении $7\sqrt{3}$ заменим число 7 на выражение $\sqrt{49}$ и выполним умножение корней:
 

$7\sqrt{3}=\sqrt{49}·\sqrt{3}=\sqrt{49·3}=\sqrt{147}$.

Так как $\sqrt{108}<\sqrt{147}$, то $\sqrt{108}<7\sqrt{3}$. 

Ответ: $\sqrt{108}<7\sqrt{3}$.

При решении задачи вторым способом мы заменили $7\sqrt{3}$ на $\sqrt{147}$. Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня .

Внесите множитель под знак корня в выражении $-3\sqrt{2a}$.                         

Решение
 

Множитель –3 представим в виде произведения –1 и положительного числа 3, которое представим в виде арифметического корня:

$-3=-1·3=-1·\sqrt{9}$.

Далее выполним умножение квадратных корней:

$-3\sqrt{2a}=-1·\sqrt{9}·\sqrt{2a}=-1·\sqrt{9·2a}=-\sqrt{18a}$.

Ответ:$-\sqrt{18a}.$

Внесите множитель под знак корня в выражении $x\sqrt{5}$.

Решение
 

Множитель x может быть любым число — положительным, нулём или отрицательным. Рассмотрим два случая: 

если $x\ge 0$, то $x\sqrt{5}=\left|x\right|\sqrt{5}=\sqrt{x^2}·\sqrt{5}=\sqrt{5x^2}$;

если $x\le 0$, то $x\sqrt{5}=-\left|x\right|\sqrt{5}=-\sqrt{x^2}·\sqrt{5}=-\sqrt{5x^2}$.

Ответ: $\sqrt{5x^2}$ или $-\sqrt{5x^2}$.

Внесите множитель под знак корня:

а) $6\sqrt{2}$; б) $5\sqrt{6}$; в) $-3\sqrt{2}$; г)$-8\sqrt{10}$.

Внесите множитель под знак корня:

а) $2\sqrt{a}$; б) $\frac{1}{2}\sqrt{8x}$; в) $-10\sqrt{2p}$; г)$6\sqrt{\frac{1}{6}m}$.

Внесите множитель под знак корня:

а) $x\sqrt{5}$, где $x<0$; б) $x\sqrt{x}$; в) $a^3\sqrt{2}$, где $a<0$.

1. Каким образом осуществляется вынесение множителя за знак корня?

2. Каким образом осуществляется внесение множителя под знак корня?

3. Число какого знака можно внести под знак корня?