Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня

План урока

Вынесение множителя за знак корня
Внесение множителя под знак корня

Цели урока

Уметь выносить множитель за знак корня
Уметь вносить неотрицательный множитель под знак корня

Разминка

Упростите выражение:

а) $\sqrt{x^{8}}$ ; б) $\sqrt{{(- a)}^{4}}$ ; в) $\sqrt{x^{6}}$ , если $x > 0$ ; г) $\sqrt{y^{10}}$ , если $y < 0$

Вынесение множителя за знак корня

Пример 1

Сравним значения выражений $\sqrt{108}$ и $7 \sqrt{3}$ .

Решение

Разложим подкоренное выражение 108 на множители так, чтобы один из них был бы полным квадратом: $108 = 36 \cdot 3$ .

Таким образом

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ .

Так как $6 \sqrt{3} < 7 \sqrt{3}$ , то $\sqrt{108} < 7 \sqrt{3}$ .

Ответ: $\sqrt{108} < 7 \sqrt{3}$ .

Таким образом, при решении этой задачи мы заменили $\sqrt{108}$ на $6 \sqrt{3}$ . Такое преобразование называют вынесением множителя за знак корня.

Упражнение 1

Упростите выражение:

а) $\sqrt{28}$ ; б) $\sqrt{99}$ ; в) $0, 2 \sqrt{50}$ ; г) $\sqrt{5^{2} \cdot 3}$ ; д) $\sqrt{3^{4} \cdot 5}$ ; е) $\sqrt{2^{3} \cdot 3^{5}}$ .

Пример 2

Вынесите множитель за знак корня в выражении $\sqrt{a^{5}}$ .

Решение

Выражение $\sqrt{a^{5}}$ имеет смысл лишь при $a \geq 0$ , так как если $a < 0$ , то $a^{5} < 0$ .

Представим подкоренное выражение $a^{5}$ в виде произведения $a^{5} = a^{4} \cdot a$ , в котором множитель $a^{4}$ является степенью с четным показателем.

Тогда $\sqrt{a^{5}} = \sqrt{a^{4} \cdot a} = a^{2} \sqrt{a}$

Ответ: $a^{2} \sqrt{a}$ .

Упражнение 2

Упростите выражение:

а) $\sqrt{11 a^{2}}$ , где $a \geq 0$ ; б) $\sqrt{c^{3}}$ ; в) $\sqrt{5 x^{4}}$ ;

г) $\sqrt{3 b^{5}}$ ; д) $\sqrt{300 a^{7}}$ ; е) $\sqrt{36 m^{9}}$ .

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим другой способ решения задачи из примера 1.

Пример 3

Сравним значения выражений $\sqrt{108}$ и $7 \sqrt{3}$ .

Решение

В выражении $7 \sqrt{3}$ заменим число 7 на выражение $\sqrt{49}$ и выполним умножение корней:

$7 \sqrt{3} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{49 \cdot 3} = \sqrt{147}$ .

Так как $\sqrt{108} < \sqrt{147}$ , то $\sqrt{108} < 7 \sqrt{3}$ .

Ответ: $\sqrt{108} < 7 \sqrt{3}$ .

При решении задачи вторым способом мы заменили $7 \sqrt{3}$ на $\sqrt{147}$ . Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня.

Пример 4

Внесите множитель под знак корня в выражении $- 3 \sqrt{2 a}$ .

Решение

Множитель –3 представим в виде произведения –1 и положительного числа 3, которое представим в виде арифметического корня:

$- 3 = - 1 \cdot 3 = - 1 \cdot \sqrt{9}$ .

Далее выполним умножение квадратных корней:

$- 3 \sqrt{2 a} = - 1 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2 a} = - 1 \cdot \sqrt{9 \cdot 2 a} = - \sqrt{18 a}$ .

Ответ: $- \sqrt{18 a} .$

Пример 5

Внесите множитель под знак корня в выражении $x \sqrt{5}$ .

Решение

Множитель x может быть любым число — положительным, нулём или отрицательным. Рассмотрим два случая:

если $x \geq 0$ , то $x \sqrt{5} = |x| \sqrt{5} = \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 x^{2}}$ ;

если $x \leq 0$ , то $x \sqrt{5} = - |x| \sqrt{5} = - \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{5} = - \sqrt{5 x^{2}}$ .

Ответ: $\sqrt{5 x^{2}}$ или $- \sqrt{5 x^{2}}$ .

Упражнение 3

Внесите множитель под знак корня:

а) $6 \sqrt{2}$ ; б) $5 \sqrt{6}$ ; в) $- 3 \sqrt{2}$ ; г) $- 8 \sqrt{10}$ .

Упражнение 4

Внесите множитель под знак корня:

а) $2 \sqrt{a}$ ; б) $\frac{1}{2} \sqrt{8 x}$ ; в) $- 10 \sqrt{2 p}$ ; г) $6 \sqrt{\frac{1}{6} m}$ .

Упражнение 5

Внесите множитель под знак корня:

а) $x \sqrt{5}$ , где $x < 0$ ; б) $x \sqrt{x}$ ; в) $a^{3} \sqrt{2}$ , где $a < 0$ .

Контрольные вопросы

1. Каким образом осуществляется вынесение множителя за знак корня?

2. Каким образом осуществляется внесение множителя под знак корня?

3. Число какого знака можно внести под знак корня?

Ответы

Упражнение 1

а) $2 \sqrt{7}$ ; б) $3 \sqrt{11}$ ; в) $\sqrt{2}$ ; г) $5 \sqrt{3}$ ; д) $9 \sqrt{5}$ ; е) $18 \sqrt{6}$ .

Упражнение 2

а) $a \sqrt{11}$ ; б) $c \sqrt{c}$ ; в) $x^{2} \sqrt{5}$ ; г) $b^{2} \sqrt{3 b}$ ; д) $10 a^{3} \sqrt{3 a}$ ; е) $6 m^{4} \sqrt{m}$ .

Упражнение 3

а) $\sqrt{72}$ ; б) $\sqrt{150}$ ; в) $- \sqrt{18}$ ; г) $- \sqrt{640}$ .

Упражнение 4

а) $\sqrt{4 a}$ ; б) $\sqrt{2 x}$ ; в) $- \sqrt{200 p}$ ; г) $\sqrt{6 m}$ .

Упражнение 5

а) $- \sqrt{5 x^{2}}$ ; б) $\sqrt{x^{3}}$ ; в) $- \sqrt{2 a^{6}}$ .

Конспект урока: Вынесение множителя за знак корня и внесение его под знак корня

Квадратные корни

Вынесение множителя за знак корня

Внесение множителя под знак корня