Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

План урока

Квадратные корни
Арифметический квадратный корень

Цели урока

Знать определения квадратного корня и арифметического квадратного корня
Уметь находить значения выражений, содержащих квадратные корни из чисел, являющихся полным квадратом
Уметь решать уравнения вида $\sqrt{x} = b$ , где b — некоторое число

Разминка

Решите уравнение:

а) $x^{2} = 4$ ; б) $y^{2} = \frac{1}{9}$ ; в) $z^{2} = 0$ ; г) $x^{2} = - 25$ .

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Рассмотрим задачу.

Пример 1

Площадь квадрата равна 25 см². Чему равна длина стороны этого квадрата?

Решение

Пусть сторона квадрата x см. Тогда площадь квадрата равна x² см². По условию площадь квадрата равна 25 см². Тогда получаем уравнение x² = 25.

Корнями уравнения x² = 25 являются числа –5 и 5, потому что 5²=25 и (–5)²=25. Т.к. длина не может быть отрицательной, то условию задачи удовлетворяет только значение 5. Итак, длина стороны квадрата 5 см.

Ответ: 5 см.

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

Корни уравнения x² = 25, т.е. числа –5 и 5, квадраты которых равны 25, являются квадратными корнями из числа 25.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначают $\sqrt{a}$ (читают: «квадратный корень из числа a»).

Знак $\sqrt{}$ называют знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала (от латинского слова radix — корень). Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением .

Поэтому неотрицательный корень уравнения x² = 25 — число 5 — является арифметическим квадратным корнем из 25: $\sqrt{25} = 5$ .

Приведем примеры нахождения (или извлечения) арифметических квадратных корней.

Пример 2

Вычислите:

а) $\sqrt{9}$ ; б) $\sqrt{1, 44}$ ; в) $\sqrt{0}$ .

Решение

а) $\sqrt{9} = 3$ , так как 3 — число неотрицательное и $3^{2} = 9$ ;

б) $\sqrt{1, 44} = 1, 2$ , так как 1,2 — число неотрицательное и $1, 2^{2} = 1, 44$ ;

в) $\sqrt{0} = 0$ , так как 0 — число неотрицательное и $0^{2} = 0$ .

Ответ: а) 3; б) 1,2; в) 0.

$\sqrt{a} = b,$ если выполняются два условия:

1) $b \geq 0$ ; 2) $b^{2} = a$ .

Следствие из определения арифметического квадратного корня:

при любом a, при котором выражение имеет смысл, верно равенство

${(\sqrt{a})}^{2} = a$ .

При a < 0 выражение $\sqrt{a}$ не имеет смысла.

Квадрат любого числа — число неотрицательное, поэтому не имеют смысла выражения $\sqrt{- 36}, \sqrt{- 49}$ .

Упражнение 1

Докажите, используя определение квадратного корня, что:

а) $\sqrt{16} = 4$ ; б) $\sqrt{169} = 13$ ; в) $\sqrt{1 \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ ; г) $\sqrt{0, 000225} = 0, 015$ .

Упражнение 2

Вычислите:

а) $\sqrt{100}$ ; б) $\sqrt{1600}$ ; в) $\sqrt{0, 81}$ ; г) $\sqrt{0, 04}$ ;

д) $\sqrt{\frac{25}{49}}$ ; е) $\sqrt{\frac{1}{64}}$ ; ж) $\sqrt{1 \frac{9}{16}}$ ; з) $\sqrt{5 \frac{4}{9}}$ .

Упражнение 3

Вычислите: а) $\sqrt{25} - \sqrt{49}$ ; б) $\sqrt{16} \cdot \sqrt{9}$ ; в) $3 \sqrt{4} - \sqrt{36}$ ;

г) $\sqrt{0, 36} - \sqrt{0, 01}$ ; д) $- 3 \sqrt{0, 49} + 2, 6$ ; е) $0, 04 \sqrt{0, 04}$ .

Упражнение 4

Найдите значение x, при котором:

а) $\sqrt{x} = 1$ ; б) $\sqrt{x} = 0, 2$ ; в) $5 \sqrt{x} = 0$ ; г) $\sqrt{x} - 6 = 0$ ; д) $\sqrt{x} = - 4$ .

Контрольные вопросы

1. В чем разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным корнем?

2. Как еще называется знак арифметического квадратного корня?

3. Как называют операцию нахождения арифметического квадратного корня?

4. При каких значениях числа a имеет смысл $\sqrt{a}$ ?

Ответы

Упражнение 2

а) 10; б) 40; в) 0,9; г) 0,2; д) $\frac{5}{7}$ ; е) $\frac{1}{8}$ ; ж) $\frac{5}{4}$ ; з) $\frac{7}{3}$ .

Упражнение 3

а) -2; б) 12; в) 0; г) 0,5; д) 0,5; е) 0,008.

Упражнение 4

а) 1; б) 0,04; в) 0; г) 36; д) нет решения.

Конспект урока: Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Квадратные корни

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень