- Определение степени с целым отрицательным показателем
- Свойства степени с целым показателем
- Применение свойств степени с целым показателем
- Знать определение степени с целым отрицательным показателем
- Уметь представлять степень с целым отрицательным показателем в виде дроби и наоборот, представлять дробь в виде выражения, содержащего степень с целым отрицательным показателем
- Знать свойства степени с целым показателем
- Уметь применять свойства степени с целым показателем для преобразования выражений
- Представьте в виде степени: а) ; б) ; в)
Определение степени с целым отрицательным показателем
В справочниках по физике можно найти массу Земли 5,9736⋅1024 кг и массу электрона 9,1094⋅10−31 кг. Число 1024 нам знакомо, это произведение двадцати четырех множителей, равных 10. А каков смысл числа 10−31?
Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д.:
100, 101, 102, 103, … .
Каждый элемент этой последовательности в 10 раз больше предыдущего. Добавим по тому же правилу числа слева:
…, , , , 100, 101, 102, 103,… .
Для дробей слева от числа 100 принята запись в виде степени числа 10 с отрицательным показателем:
…, 10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103,… .
Т.е. , , и т. д.
Если и n — целое отрицательное число, то
.
Выражение при целом отрицательном n (так же как и при n = 0) не имеет смысл.
Напомним, что если -натуральное число, то имеет смысл и равно нулю.
Возвращаясь к массе электрона, запишем, что означает запись 9,1094⋅10−31:
Пример 1
Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Пример 2
Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Упражнение 1
1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Свойства степени с целым показателем
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем с основанием не равным нулю.
Для любого и любых целых m и n
(1)
(2)
(3)
для любого , и любого целого n
(4)
(5)
Докажем, например, свойство (1) для случая, когда показатели степеней целые отрицательные числа. Пусть и k и p — натуральные числа. Имеем
.
При доказательстве мы использовали определение степени с целым отрицательным показателем.
Другие свойства можно доказать аналогичным способом.
Применение свойств степени с целым показателем
Пример 3
Преобразуйте выражение:
а) ; б) ; в) .
Решение
а) По свойству (1) основание оставляют тем же, а показатели складывают:
.
б) По свойству (2) основание оставляют тем же, а из показателя делимого вычитают показатель делителя:
.
в) Сначала применим свойство (4), затем (3):
.
Ответ: а) ; б) ; в) .
Упражнение 2
1. Преобразуйте выражение:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) .
2. Вычислите:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Контрольные вопросы
1. Дайте определение степени с целым отрицательным показателем.
2. Сформулируйте свойства произведения степеней, частного степеней и возведения степени в степень.
3. Сформулируйте свойства степени произведения и степени дроби.
Упражнение 1
1. а) ; б) ; в) ; г) ; д)
2. а) ; б) ; в) ; г) ; д)
Упражнение 2
1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
2. а) 9; б) 5; в) ; г) 36; д) 9.