Конспект урока: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Мы рассмотрели основные преобразования выражений, содержащих квадратные корни, такие как: извлечение корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня.

Рассмотрим еще примеры преобразований выражений, содержащих квадратные корни.

Упростите выражение $\sqrt{12y}-0,5\sqrt{48y}+2\sqrt{108y}$.

Решение
 

Вынесем множители за знак корня в каждом слагаемом выражения: $\sqrt{12y}=2\sqrt{3y}, 0,5\sqrt{48y}=0,5\cdot 4\sqrt{3y}=2\sqrt{3y}, 2\sqrt{108y}=2\cdot 6\sqrt{3y}=12\sqrt{3y}$

Далее приведем подобные слагаемые и получим: $\sqrt{12y}-0,5\sqrt{48y}+2\sqrt{108y}=2\sqrt{3y}-2\sqrt{3y}+12\sqrt{3y}=(2-2+12)\sqrt{3y}=12\sqrt{3y}$

Ответ: $12\sqrt{3y}$.

Сократите дробь $\frac{a^2-3}{a-\sqrt{3}}$.

Решение
 

Воспользуемся следствием из определения: $3=(\sqrt{3}{)}^2$. Тогда числитель дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений и разложить его на множители с помощью формулы сокращенного умножения, затем дробь можно сократить:

$\frac{a^2-3}{a-\sqrt{3}}=\frac{a^2-(\sqrt{3}{)}^2}{a-\sqrt{3}}=\frac{(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})}{a-\sqrt{3}}=a+\sqrt{3}$.

Ответ: $a+\sqrt{3}$.

Упростите выражение: 

а) $\sqrt{4x}+\sqrt{64x}-\sqrt{81x}$;
б) $\sqrt{27b}-\sqrt{48b}+\sqrt{75b}$;
в) $2\sqrt{8a}-4\sqrt{18a}+\sqrt{72a}$.

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 

а) $\frac{\sqrt{7}-y}{7-y^2}$; б) $\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}$; в) $\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби

Преобразуйте дробь $\frac{5c}{\sqrt{6}}$ так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня. 

Решение
 

Воспользуемся основным свойством дроби, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{6}$:

$\frac{5c}{\sqrt{6}}=\frac{5c\sqrt{6}}{(\sqrt{6}{)}^2}=\frac{5c\sqrt{6}}{6}$

Ответ: $\frac{5c\sqrt{6}}{6}$.

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$.

Решение
 

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $\sqrt{x}-\sqrt{a}$ (его называют сопряженным выражению $\sqrt{x}+\sqrt{a}$):
 

$\frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\frac{a(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a})}=\frac{a(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{(\sqrt{x}{)}^2-(\sqrt{a}{)}^2}=\frac{a(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{x-a}=\frac{a\sqrt{x}-a\sqrt{a}}{x-a}$
 

Т.е. для освобождения от иррациональности мы домножили дробь так, чтобы в знаменателе была разность квадратов.

Ответ:$\frac{a\sqrt{x}-a\sqrt{a}}{x-a}$.

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{7}{3\sqrt{2}}$; б) $\frac{2}{\sqrt{y}}$; в) $\frac{10}{\sqrt{6}+1}$; г) $\frac{b}{b-\sqrt{c}}$

1. Какие свойства арифметического корня применяют при преобразовании выражений, содержащих квадратные корни? 

2. Что значит избавиться от иррациональности в знаменателе дроби?

3. На чем основано освобождение от иррациональности в знаменателе дроби?