Конспект урока: Свойства арифметического квадратного корня

Теорема о корне из произведения

Если $\mathrm{а}\ge 0$, $b\ge 0$, то $\sqrt{\mathrm{аb}}=\sqrt{\mathrm{а}}·\sqrt{\mathrm{b}}$.

По условию  $a\ge 0, b\ge 0$, поэтому каждое из выражений $\sqrt{ab}$ и $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ имеет смысл. Покажем, что выполняются два условия:

1) $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\ge 0$; 2) $(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}{)}^2=ab$.

Так как выражения $\sqrt{a}\ge 0 и \sqrt{b}\ge 0$, то произведение $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\ge 0$.

Используя свойство степени произведения, получим

$(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a}{)}^2\cdot (\sqrt{b}{)}^2=ab$.

Таким образом, оба условия выполняются, а значит по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях a и b верно равенство 

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$.

Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством:

Теорема о корне из дроби

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. В данном случае необходимо показать выполнение двух условий:

1) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ge 0$; 2) $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}{)}^2=\frac{a}{b}$.

Проведите доказательство самостоятельно.

В результате получим еще одно свойство арифметического квадратного корня:

Применение теорем о корне из произведения и дроби

Рассмотрим несколько примеров на применение полученных свойств арифметического корня.

Найдите значение выражения $\sqrt{0,64\cdot 25}$.
 

Решение
 

$\sqrt{0,64\cdot 25}=\sqrt{0,64}\cdot \sqrt{25}=0,8\cdot 5=4$

Ответ: 4.

Найдите значение выражения $\sqrt{18·32}$.
 

Решение
 

$\sqrt{18\cdot 32}=\sqrt{(2\cdot 9)\cdot (2\cdot 16) }=\sqrt{4\cdot 9\cdot 16}=2\cdot 3\cdot 4=24$

Ответ: 24.

Найдите значение выражения $\sqrt{\frac{36}{121}}$.                    

Решение

 

$\sqrt{\frac{36}{121}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{121}}=\frac{6}{11}$

Ответ:  $\frac{6}{11}$.

Если в тождествах $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ поменять местами левые и правые части, получим 

 $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =\sqrt{\frac{a}{b}}$.

Этими тождествами пользуются при умножении и делении арифметических квадратных корней.

Найдите значение выражения $\sqrt{13}·\sqrt{52}$.                                                                                                  

Решение
 

$\sqrt{13}·\sqrt{52}=\sqrt{13\cdot 52}=\sqrt{13\cdot (13\cdot 4)}=\sqrt{169\cdot 4}=13\cdot 2=26$

Ответ: 26. 

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{112}}$.

Решение
 

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{112}}=\sqrt{\frac{7}{112}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$. 

а) $\sqrt{25·81}$; б) $\sqrt{16·900}$; в) $\sqrt{2500·49}$;

г) $\sqrt{0,09·0,25}$; д) $\sqrt{400·0,36}$; е) $\sqrt{9·1,21}$.

Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{40\cdot 490}$; б) $\sqrt{10\cdot 640}$; в) $\sqrt{12\cdot 27}$; г) $\sqrt{5\cdot 45}$; д) $\sqrt{6,4\cdot 90}$; е) $\sqrt{2,5\cdot 40}$.

Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{\frac{49}{64}}$; б) $\sqrt{\frac{81}{100}}$; в) $\sqrt{\frac{9}{25}}$; г) $\sqrt{3\frac{6}{25}}$; д) $\sqrt{2\frac{46}{49}}$; е) $\sqrt{11\frac{1}{9}}$.

Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{2}·\sqrt{18}$; б) $\sqrt{3}·\sqrt{48}$; в) $\sqrt{12}·\sqrt{75}$; г) $\sqrt{4,5}·\sqrt{72}$; 
д) $\sqrt{0,4}·\sqrt{3,6}$; е) $\sqrt{200}·\sqrt{0,18}$.

Найдите значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}}$; б) $\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{11}}$; в) $\frac{\sqrt{72000}}{\sqrt{2000}}$; г) $\frac{\sqrt{4,8}}{\sqrt{0,3}}$; д) $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{1,5}}$; е) $\frac{\sqrt{4,5}}{\sqrt{128}}$

1. Как формулируется теорема о квадратном корне из произведения?

2. Как формулируется теорема о квадратном корне из дроби?

3. Каким образом можно сформулировать данные свойства: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}, где a\ge 0,\hspace{0.33em}b\ge 0 и \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}, где a\ge 0,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}b>0$ ?