Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Свойства арифметического квадратного корня

Квадратные корни

Квадратный корень из произведения и дроби

План урока

  • Теорема о корне из произведения
  • Теорема о корне из дроби
  • Применение теорем о корне из произведения и дроби

Цели урока

  • Знать теоремы о корне из произведения и дроби
  • Уметь применять теоремы о корне из произведения и дроби при вычислениях значений выражений, содержащих квадратные корни, и в преобразованиях таких выражений

Разминка

  • Найдите значение выражения:

а) 72; б) -62; в) -32; г) (97+93)(97-93)

 

Теорема о корне из произведения


Теорема 1

Если а0b0, то аb=а·b .


По условию  a0, b0, поэтому каждое из выражений ab и ab имеет смысл. Покажем, что выполняются два условия:

1) ab0; 2) (ab)2=ab.

Так как выражения a0 и b0, то произведение ab0.

Используя свойство степени произведения, получим

(ab)2=(a)2(b)2=ab.

Таким образом, оба условия выполняются, а значит по определению арифметического квадратного корня при любых неотрицательных значениях a и b верно равенство 

ab=ab.

Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством:

 


Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.


Теорема о корне из дроби


Теорема 2


Если a0, b>0, то ab=ab.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. В данном случае необходимо показать выполнение двух условий:

1)  ab0; 2) (ab)2=ab.

Проведите доказательство самостоятельно.

В результате получим еще одно свойство арифметического квадратного корня:


Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.


Применение теорем о корне из произведения и дроби

 

Рассмотрим несколько примеров на применение полученных свойств арифметического корня.


Пример 1

Найдите значение выражения 0,6425.
 

Решение
 

0,6425=0,6425=0,85=4

 

Ответ:

 


Пример 2

Найдите значение выражения 18×32.
 

Решение
 

1832=(29)(216) =4916=234=24

 

Ответ: 24 


Пример 3

Найдите значение выражения 36121                                  

 

Решение

 

36121=36121=611

 

Ответ:  611

 


Если в тождествах ab=ab и ab=ab поменять местами левые и правые части, получим 

 ab = ab и ab =ab.

Этими тождествами пользуются при умножении и делении арифметических квадратных корней.


Пример 4

Найдите значение выражения 13×52.                                                                                                  

 

Решение
 

13×52=1352=13(134)=1694=132=26

 

Ответ: 26. 


Пример 5

Найдите значение выражения 7112.

 

Решение
 

7112=7112=116=14

 

Ответ: 14


Упражнение 1


Найдите значение выражений:

а) 25×81; б) 16×900; в) 2500×49;

г) 0,09×0,25; д) 400×0,36; е) 9×1,21.


Упражнение 2

Найдите значение выражения:

а) 40490; б) 10640; в) 1227; г) 545; д) 6,490; е) 2,540.


Упражнение 3

Найдите значение выражения:

а) 4964; б) 81100; в) 925; г) 3625; д) 24649; е) 1119.


Упражнение 4

Найдите значение выражения:

а) 2×18; б) 3×48; в) 12×75; г) 4,5×72
д) 0,4×3,6; е) 200×0,18.


Упражнение 5

Найдите значение выражения:

а) 850; б) 9911; в) 720002000; г) 4,80,3; д) 541,5; е) 4,5128


Контрольные вопросы

1. Как формулируется теорема о квадратном корне из произведения?

2. Как формулируется теорема о квадратном корне из дроби?

3. Каким образом можно сформулировать данные свойства: ab=ab, где a0,b0 и ab=ab, где a0,b>0 ?


Ответы

Упражнение 1

 

а) 45;б) 120; в) 350; г) 0,15; д) 12; е) 3,3.

 

Упражнение 2

 

а) 140; б) 80; в)18; г) 15; д) 24; е) 10.

 

Упражнение 3

 

а) 78; б) 910; в) 35; г) 145; д) 157; е) 313.

 

Упражнение 4

 

а) 6; б) 12; в)30; г)18; д) 1,2; е) 6.

 

Упражнение 5

 

а) 25; б) 3; в) 6; г) 4; д) 6; е) 316.


Предыдущий урок
Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Квадратные корни
Следующий урок
Вынесение множителя за знак корня и внесение его под знак корня
Квадратные корни
  • Закрепление материала: химические свойства кислот и солей

    Химия

  • Оксиды, их классификация и химические свойства

    Химия

  • Последовательное соединение проводников. Параллельное соединение проводников

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке