Конспект урока: Свойства арифметического квадратного корня

Тождество $\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\left|x\right|$

Найдем значение выражения $\sqrt{x^2}$ при $x=4$ и $x=-5$:

 $$\begin{gathered} \sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4, \\ \sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5 \end{gathered}$$

В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа:

$\sqrt{4^2}=\left|4\right|, \sqrt{(-5{)}^2}=|-5|$

При любом значении x верно равенство 

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$              (1)

Рассмотрим два случая: $x\ge 0 и x<0$. Если $x\ge 0$, то по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2}=x$. Если $x<0$, то $-x>0$, поэтому $\sqrt{x^2}=\sqrt{(-x{)}^2}=-x$. Мы знаем, что $\left|x\right|=x$, если $x\ge 0$, и $\left|x\right|=-x$, если $x<0$. Объединив оба случая, можем сказать, что при любом x значение выражения $\sqrt{x^2}$ совпадает со значением выражения $\left|x\right|$.

Равенство (1) является тождеством. Оно применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем. Для этого достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и использовать тождество (1).

Применение тождества $\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\left|x\right|$

Рассмотрим несколько примеров на применение тождества $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$

Упростите выражение $\sqrt{a^8}$.                                                                                                             

Решение

Представим степень $a^8$ в виде полного квадрата: $a^8={\left(a^4\right)}^2$. Воспользуемся тождеством (1):
 

$\sqrt{a^8}=\sqrt{{\left(a^4\right)}^2}=\left|a^4\right|$.
 

$a^4\ge 0$ при любом a, поэтому $\left|a^4\right|=a^4$. Таким образом, $\sqrt{a^8}=a^4$ .

Ответ: $a^4$.

Преобразуем выражение $\sqrt{x^{14}}$, где $x<0$.

Решение
 

Представим степень $x^{14}$ в виде полного квадрата:

${х}^{14}=(x^7{)}^2$, получим $\sqrt{x^{14}}=\sqrt{(x^7{)}^2}=\left|x^7\right|$.

$x^7<0$ при $x<0$, поэтому $\left|x^7\right|=-x^7$. Значит, $\sqrt{x^{14}}=-x^7$, где $x<0$.

Ответ: $-x^7$.

Найдите значение выражения $\sqrt{38416}$.       
 

Решение
 

Разложим число 38416 на множители:

38416= 4∙9604 = 4²∙2401=4²∙49².
 

Итак, $\sqrt{38416}=\sqrt{4^2\cdot {49}^2}=\sqrt{4^2}\cdot \sqrt{{49}^2}=4\cdot 49=196$.

Ответ: 196.

Упростите выражение:
 

а) $\sqrt{3,8^4}$; б) $\sqrt{(-1,3{)}^2}$; в) $-0,1\sqrt{(-17{)}^2}$; г) $3\sqrt{(-2,4{)}^2}$.

Упростите выражение:
 

а) $\sqrt{c^4}$; б) $\sqrt{x^6}$; в) $-0,5\sqrt{a^2}$; г) $\sqrt{{\left(p-2\right)}^2}$.

Упростите выражение:
 

а) $\sqrt{m^4}$, где $m<0$; б) $\sqrt{0,81b^2}$, где $b<0$; 
в) $\sqrt{0,49m^6}$, где $m<0$. 

Найдите значение выражения:
 

а) $\sqrt{13689}$; б) $\sqrt{104976}$.

1. Сформулируйте теорему о квадратном корне из степени.

2. Как извлечь корень из степени с четным показателем?