Конспект урока: Вычисление интегралов

Напомним, интегралом (определенным интегралом) от функции $f\left(x\right)$ на отрезке $[a;b]$ называют предел интегральной суммы функции $f\left(x\right)$ на отрезке $[a;b]$ при стремлении к нулю наибольшей из длин отрезков, на которые разбит отрезок $[a;b]$. Так как интегральную сумму можно вычислить только приблизительно, то и интеграл с ее помощью также вычисляется не точно. Такой способ требует громоздких вычислений. Обычно он применим тогда, когда не могут найти первообразную функции $f\left(x\right)$ и для вычислений используют специальные компьютерные программы. Если же первообразная известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Введем обозначение:

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=F{\overline{)\left(x\right)}}_a^b$.

Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать так

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F{\overline{)\left(x\right)}}_a^b$.

Вычислить интеграл ${\int }_1^4(x-3)dx$.

Решение

${\int }_1^4(x-3)dx={\overline{)\left(\frac{x^2}{2}-3x\right)}}_1^4=\left(\frac{4^2}{2}-3·4\right)-\left(\frac{1^2}{2}-3·1\right)=-4+2,5=-1,5$.

Ответ: -1,5.

Вычислить интеграл ${\int }_{-t}^{t}cos x dx$.

Решение

${\int }_{-t}^{t}cos xd x=sin x{|}_{-t}^t=sin t-(sin (-t\left)\right)=sin t+sin t=2sin t$.

Ответ: $2sin t$.

Вычислить интеграл ${\int }_2^{10}\frac{4}{\sqrt{2x+5}}dx$.

Решение

${\int }_2^{10}\frac{4}{\sqrt{2x+5}}dx={\int }_2^{10}4·{(2x+5)}^{-\frac{1}{2}}dx=4·{\overline{)\frac{{(2x+5)}^{-\frac{1}{2}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}_2^{10}={\overline{)4\sqrt{2x+5}}}_2^{10}=4\left(5-3\right)=8$.

Ответ: 8.

Вычислить интеграл ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{0}cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)dx$.

Решение

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{0}cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)dx={\overline{)\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)}}_{-\frac{\pi }{2}}^0=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{\pi }{3}-\sin \left(-\pi +\frac{\pi }{3}\right)\right)=$

 $=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{\pi }{3}+\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)\right)=\frac{1}{2}·2 \sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычислить интеграл ${\int }_0^3{x}^2\sqrt{x+1}dx$.

Решение

 ${\int }_0^3{x}^2\sqrt{x+1}dx={\int }_0^3\left(\right(x+1)-1{)}^2\sqrt{x+1}dx=$

$={\int }_0^3\sqrt{x+1}\left(\right(x+1{)}^2-2(x+1)+1)dx=$

$={\int }_0^3\left((x+1{)}^{\frac{5}{2}}-2(x+1{)}^{\frac{3}{2}}+(x+1{)}^{\frac{1}{2}}\right)dx=$

$={\overline{)\left(\frac{2}{7}{(x+1)}^{\frac{7}{2}}-\frac{4}{5}(x+1{)}^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{3}{2}}\right)}}_0^3=$

$={\overline{)(x+1{)}^{\frac{3}{2}}\left(\frac{2}{7}(x+1{)}^2-\frac{4}{5}(x+1)+\frac{2}{3}\right)}}_0^3=$

$={\overline{)(x+1{)}^{\frac{3}{2}}\frac{2}{105}(15x^2-12x+8)}}_0^3=$

$=\frac{2}{105}·(8·(135-36+8)-1·8)=16\frac{16}{105}$.

Ответ: $16\frac{16}{105}$.

Вычислить интеграл:

1. ${\int }_{-2}^2(x^2+3)dx$;

2. ${\int }_0^{3}3e^{4x}dx$;

3. ${\int }_1^9\frac{3x-1}{\sqrt{x}}xdx$;

4. ${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{4}}\left({\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x\right)dx$