Конспект урока: Вычисление площадей с помощью интегралов

Рис. 1.

Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 1. Она представляет собой криволинейную трапецию. Поэтому воспользуемся формулой

$S={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

$S={\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}cos xdx={\overline{)\sin x}}_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=sin\frac{\pi }{4}-sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

Рис. 2.

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций вида, представленного на рисунке 2, но и плоских фигур более сложного вида.

Рис. 3.

Рассмотрим фигуру, ограниченную прямыми $x=a$, $x=b$ и графиками непрерывных функций $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$ такими, что на отрезке $[a; b]$ выполняется условие $g\left(x\right)\le f\left(x\right)$ (рис. 3а).

Выполним параллельный перенос данной фигуры на m единиц вверх 
($m>0$) так, чтобы данная фигура оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 3б).

Теперь эта фигура ограничена сверху и снизу графиками функций $y=f\left(x\right)+m$ и $y=g\left(x\right)+m$ соответственно. При этом обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке $[a; b]$. Найдём площадь этой фигуры:

$S=S_{ABCD}=S_{aDCb}-S_{aABb}={\int }_a^b\left(f\right(x)+m)dx-{\int }_a^b\left(g\right(x)+m)dx=$

$={\int }_a^b\left(\right(f\left(x\right)+m)-(g\left(x\right)+m\left)\right)dx={\int }_a^b\left(f\right(x)-g(x\left)\right)dx$.

Таким образом, получили следующее правило: площадь $S$ фигуры, ограниченной прямыми $x=a$, $x=b$ и графиками функций $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$, непрерывных на отрезке $[a; b]$ и таких, что для всех x из отрезка $[a; b]$ выполняется неравенство $g\left(x\right)\le f\left(x\right)$, вычисляется по формуле

$S={\int }_a^b\left(f\right(x)-g(x\left)\right)dx$.

Рис. 4.

Построим данную фигуру (рис. 4).

Воспользуемся формулой                                                                                                                                                           

$S={\int }_a^b\left(f\right(x)-g(x\left)\right)dx$

$S={\int }_{-1}^1\left(\left(-\frac{1}{2}x+2\right)-x^3\right)dx=$

$={\int }_{-1}^1\left(-x^3-\frac{1}{2}x+2\right)dx={\overline{)\left(-\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{4}+2x\right)}}_{-1}^1=$

$=\left(-\frac{1^4}{4}-\frac{1^2}{4}+2·1\right)-\left(-\frac{(-1{)}^4}{4}-\frac{(-1{)}^2}{4}+2·(-1)\right)=$

$=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+2=4$.

Ответ: 4.

Рис. 5.

Построим данную фигуру (рис. 5) и найдём точки пересечения графиков функции, решив уравнение

$x^2+2x-3=-x^2+2x+5$

$2x^2=8$

$x^2=4$

$x_1=-2; x_2=2$.

Воспользуемся формулой

$S={\int }_a^b\left(f\right(x)-g(x\left)\right)dx$

$S={\int }_{-2}^2\left(\left(-x^2+2x+5\right)-\left(x^2+2x-3\right)\right)dx={\int }_{-2}^2\left(-2x^2+8\right)dx=$

$={\overline{)\left(\frac{-2x^3}{3}+8x\right)}}_{-2}^2=\left(\frac{-2·2^3}{3}+8·2\right)-\left(\frac{-2·(-2{)}^3}{3}+8·(-2)\right)=$

$=-\frac{16}{3}+16-\frac{16}{3}+16=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}$.

Ответ: $21\frac{1}{3}$.

Рис. 6.

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^2-4x+3$, $y=-x^2+6x-5$.

4. На рисунке 6 изображён график некоторой функции $y = f\left(x\right)$. Функция $F\left(x\right)=-x^3-27x^2-240x-8$  — одна из первообразных функции $f\left(x\right)$. Найдите площадь закрашенной фигуры.