Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Вычисление площадей с помощью интегралов

Интеграл

Вычисление площадей с помощью интегралов

План урока

  • Вычисление площади криволинейной трапеции
  • Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций

Цели урока

  • Уметь изображать на схематическом рисунке фигуру, ограниченную заданными линиями
  • Знать формулу для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций
  • Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции

Разминка

  1. Что такое криволинейная трапеция?
  2. Как связана площадь криволинейной трапеции с определённым интегралом
  3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница
  4. Вычислите -13x3dx

Вычисление площади криволинейной трапеции

 

Как показывалось ранее, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле S=abf(x)dx. Рассмотрим пример вычисления площади криволинейной трапеции.


Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x=-π4x=π4, осью Ox и графиком функции y=cos x.


Решение

Рис. 1. Рис. 1.

Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 1. Она представляет собой криволинейную трапецию. Поэтому воспользуемся формулой

 

S=abf(x)dx

 

S=-π4π4cos xdx=sin x-π4π4=sinπ4-sin -π4=22+22=2.

 

Ответ: 2.


Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций

Рис. 2. Рис. 2.

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций вида, представленного на рисунке 2, но и плоских фигур более сложного вида.

Рис. 3. Рис. 3.

Рассмотрим фигуру, ограниченную прямыми x=ax=b и графиками непрерывных функций y=f(x)y=g(x) такими, что на отрезке [a; b] выполняется условие g(x)f(x) (рис. 3а).

 

Выполним параллельный перенос данной фигуры на m единиц вверх (m>0) так, чтобы данная фигура оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 3б).

 

Теперь эта фигура ограничена сверху и снизу графиками функций y=f(x)+m и y=g(x)+m. При этом обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [a; b]. Найдём площадь этой фигуры:

 

S=SABCD=SaDCb-SaABb=ab(f(x)+m)dx-ab(g(x)+m)dx=

=ab((f(x)+m)-(g(x)+m))dx=ab(f(x)-g(x))dx.

 

Таким образом, получили следующее правило: площадь S фигуры, ограниченной прямыми x=ax=b и графиками функций y=f(x)y=g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для всех x из отрезка [a; b] выполняется неравенство g(x)f(x), вычисляется по формуле

 

S=ab(f(x)-g(x))dx.


Пример 2

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x=-1x=1y=x3y=-12x+2.


Решение

Рис. 4. Рис. 4.

Построим данную фигуру (рис. 4).

Воспользуемся формулой                                                                                                                                                           

S=ab(f(x)-g(x))dx

 

S=-11-12x+2-x3dx=

=-11-x3-12x+2dx=-x44-x24+2x-11=

=-144-124+2·1--(-1)44-(-1)24+2·(-1)=

=-14-14+2+14+14+2=4.

 

Ответ: 4.


Пример 3

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2+2x-3y=-x2+2x+5.


Решение

Рис. 5. Рис. 5.

Построим данную фигуру (рис. 5) и найдём точки пересечения графиков функции, решив уравнение

 

x2+2x-3=-x2+2x+5

2x2=8

x2=4

x1=-2; x2=2.

 

Воспользуемся формулой

 

S=ab(f(x)-g(x))dx

S=-22-x2+2x+5-x2+2x-3dx=-22-2x2+8dx=

=-2x33+8x-22=-2·233+8·2--2·(-2)33+8·(-2)=

=-163+16-163+16=643=2113.

 

Ответ: 2113.


Упражнение  

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми x=-π2x=π2 осью Ox и графиком функции y=1+12 cos x.

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x=-2x=1y=-xy=3-x4.

Рис. 6. Рис. 6.

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2-4x+3y=-x2+6x-5.

4. На рисунке 6 изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x)=-x3-27x2-240x-8  — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.


Контрольные вопросы

 

  1. Запишите формулу площади криволинейной трапеции.
  2. Запишите формулу площади фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций.


Ответы

Упражнение 

 

  1. π+1;
  2. 778 ;
  3. 9;
  4. 4.

Обратные тригонометрические функции

Тригонометрия