Конспект урока: Правила нахождения первообразных

Правила нахождения первообразных

План урока

Таблица первообразных некоторых функций
Правила интегрирования

Цели урока

Знать таблицу первообразных, правила интегрирования
Уметь находить первообразные

Разминка

Как называется операция нахождения производных?
Найдите первообразную функции, если

$y = 4 x^{3} - 4$ ;
$y = 15 x^{2} - 8 x + 2$ ;
$y = 5 e^{\frac{x}{5}}$ .

Правильность нахождения проверьте дифференцированием.

Какое количество первообразных можно найти для некоторой функции?
Основные формулы нахождения производных функции (линейной функции, константы, тригонометрических функций, показательной функции, логарифмической функции, степенной функции).

Будем изучать первообразные по тому же сценарию, как изучали производную. Сначала ввели понятие, теперь рассмотрим правила нахождения первообразных. Напомним, что операцию нахождения производной функции называют дифференцированием, обратную ей операцию нахождения первообразной данной функции называют интегрированием. Это слово от латинского integrare – восстанавливать.

Так как интегрирование обратно дифференцированию, то для того, чтобы составить таблицу первообразных некоторых функций, воспользуемся таблицей производных. Например, зная, что $(s i n x)^{'} = c o s x$ , сделаем вывод, что все первообразные для функции $y = \cos x$ определяются формулой $\sin x + C$ , где $C$ – произвольная постоянная.

Отметим, что в дальнейшем будем считать, что функция $F (x)$ является первообразной для функции $f (x)$ на том промежутке, на котором они обе определены, т.е. если дана функция $f (x) = \frac{1}{3 x - 1}$ , то ее первообразной является функция $F (x) = \frac{1}{3} \ln (3 x - 1)$ на промежутке $(\frac{1}{3}; + \infty)$ .

Таблица 1. Первообразные некоторых функций

Функция	Первообразная
$x^{p}, p \neq - 1$	$\frac{x^{p + 1}}{p + 1} + C$
${(k x + b)}^{p}$ , $p \neq - 1$ , $k \neq 0$	$\frac{{(k x + b)}^{p + 1}}{k (p + 1)} + C$
$\frac{1}{x}, x \neq 0$	$\ln \|x\| + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$e^{k x + b}, k \neq 0$	$\frac{1}{k} e^{k x + b} + C$
$\sin x$	$- \cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sin (k x + b)$ , $k \neq 0$	$- \frac{1}{k} \cos (k x + b)$ $+ C$
$\cos (k x + b)$ , $k \neq 0$	$\frac{1}{k} \sin (k x + b)$ $+ C$
$\frac{1}{k x + b}$ , $k \neq 0$ , $x \neq - \frac{b}{k}$	$\frac{1}{k} \ln \|k x + b\|$ $+ C$

Правила интегрирования

Также, как и для производных функции, мы определяли правила дифференцирования, определим для первообразных правила интегрирования.

Пусть $F (x)$ и $G (x)$ – первообразные функций $f (x)$ и $g (x)$ соответственно на некотором промежутке. Тогда:

функция $F (x) \pm G (x)$ является первообразной функции $f (x) \pm g (x)$ ;
функция $a F (x)$ является первообразной функции $a f (x)$ , $a$ – постоянная.

Пример

Найти все первообразные данной функции:

1. $f (x) = 4 x^{3} + \frac{3}{x}$ ;

2. $(x) = s i n 5 x - 2 e^{- \frac{x}{2}}$ ;

3. $f (x) = 6 c o s (2 x + 1) - (x - 2)^{3} + \frac{2}{\sqrt{x + 2}}$ .

Решение

Для нахождения первообразных воспользуемся таблицей 1 и правилами интегрирования.

Первообразными функций $4 x^{3}$ и $\frac{3}{x}$ являются соответственно функции $4 \cdot \frac{x^{4}}{4} = x^{4}$ и $3 \ln |x|$ , $x \neq 0$ . Тогда все первообразные функции $f (x)$ записываются в виде $x^{4} + 3 l n |x| + C$ .
Первообразными функций $\sin 5 x$ и $2 e^{- \frac{x}{2}}$ являются соответственно $- \frac{1}{5} \cos 5 x$ и $2 \cdot \frac{1}{- \frac{1}{2}} e^{- \frac{x}{2}} = - 4 e^{- \frac{x}{2}}$ . Совокупность всех первообразных данной функции записывается в виде $- \frac{1}{5} c o s 5 x + 4 e^{- \frac{x}{2}} + C$ .
Первообразными функций $6 \cos (2 x + 1)$ , $(x - 2)^{3}$ , $\frac{2}{\sqrt{x + 2}}$ являются соответственно функции $6 \cdot \frac{1}{2} \sin (2 x + 1) = 3 \sin (2 x + 1)$ , $\frac{{(x - 2)}^{4}}{1 \cdot 4} = \frac{{(x - 2)}^{4}}{4},$ $2 \cdot \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot \frac{1}{2}} = 4 \sqrt{x + 2}$ . Совокупность всех первообразных функции $f (x)$ записывается в виде $3 s i n (2 x + 1) - \frac{(x - 2)^{4}}{4} + 4 \sqrt{x + 2} + C$ .

Ответ: 1. $x^{4} + 3 l n |x| + C$ ;

2. $- \frac{1}{5} c o s 5 x + 4 e^{- \frac{x}{2}} + C$ ;

3. $3 s i n (2 x + 1) - \frac{(x - 2)^{4}}{4} + 4 \sqrt{x + 2} + C$ .

Упражнение

Найти все первообразные данной функции:

1. $f (x) = 6 e^{- 3 x} + {(2 x - 5)}^{2}$ ;

2. $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x + 3}} - \sin 3 x$ ;

3. $f (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$ .

Контрольные вопросы

1. Какие из приведенных ниже утверждений о двух функциях, имеющих первообразные, верны:

- первообразная суммы равна сумме первообразных;

- первообразная разности равна разности первообразных;

- первообразная произведения равна произведению первообразных;

- первообразная частного равна частному первообразных?

2. Пусть $F (x)$ – первообразная функции $f (x)$ . Какое из утверждений верно:

- $k F (k x + b)$ – первообразная для $f (k x + b)$ ;

- $\frac{1}{k} F (k x + b)$ – первообразная для $f (k x + b)$ .

Ответы

Упражнение

1. $- 2 e^{- 3 x} + \frac{(2 x - 5)^{3}}{6} + C$ ;

2. $8 \sqrt{x + 3} + \frac{1}{3} c os 3 x$ ;

3. $\ln |x + 1| + \ln |x + 4| + C, x \neq - 1, x \neq - 4$ .

Указание: $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 4} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 4}$ .

Правила нахождения первообразных

План урока

Таблица первообразных некоторых функций
Правила интегрирования

Цели урока

Знать таблицу первообразных, правила интегрирования
Уметь находить первообразные

Разминка

Как называется операция нахождения производных?
Найдите первообразную функции, если

$y = 4 x^{3} - 4$ ;
$y = 15 x^{2} - 8 x + 2$ ;
$y = 5 e^{\frac{x}{5}}$ .

Правильность нахождения проверьте дифференцированием.

Какое количество первообразных можно найти для некоторой функции?
Основные формулы нахождения производных функции (линейной функции, константы, тригонометрических функций, показательной функции, логарифмической функции, степенной функции).

Таблица 1. Первообразные некоторых функций

Функция	Первообразная
$x^{p}, p \neq - 1$	$\frac{x^{p + 1}}{p + 1} + C$
${(k x + b)}^{p}$ , $p \neq - 1$ , $k \neq 0$	$\frac{{(k x + b)}^{p + 1}}{k (p + 1)} + C$
$\frac{1}{x}, x \neq 0$	$\ln \|x\| + C$
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$e^{k x + b}, k \neq 0$	$\frac{1}{k} e^{k x + b} + C$
$\sin x$	$- \cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sin (k x + b)$ , $k \neq 0$	$- \frac{1}{k} \cos (k x + b)$ $+ C$
$\cos (k x + b)$ , $k \neq 0$	$\frac{1}{k} \sin (k x + b)$ $+ C$
$\frac{1}{k x + b}$ , $k \neq 0$ , $x \neq - \frac{b}{k}$	$\frac{1}{k} \ln \|k x + b\|$ $+ C$

Правила интегрирования

Пусть $F (x)$ и $G (x)$ – первообразные функций $f (x)$ и $g (x)$ соответственно на некотором промежутке. Тогда:

функция $F (x) \pm G (x)$ является первообразной функции $f (x) \pm g (x)$ ;
функция $a F (x)$ является первообразной функции $a f (x)$ , $a$ – постоянная.

Пример

Найти все первообразные данной функции:

1. $f (x) = 4 x^{3} + \frac{3}{x}$ ;

2. $(x) = s i n 5 x - 2 e^{- \frac{x}{2}}$ ;

3. $f (x) = 6 c o s (2 x + 1) - (x - 2)^{3} + \frac{2}{\sqrt{x + 2}}$ .

Решение

Для нахождения первообразных воспользуемся таблицей 1 и правилами интегрирования.

Первообразными функций $4 x^{3}$ и $\frac{3}{x}$ являются соответственно функции $4 \cdot \frac{x^{4}}{4} = x^{4}$ и $3 \ln |x|$ , $x \neq 0$ . Тогда все первообразные функции $f (x)$ записываются в виде $x^{4} + 3 l n |x| + C$ .
Первообразными функций $\sin 5 x$ и $2 e^{- \frac{x}{2}}$ являются соответственно $- \frac{1}{5} \cos 5 x$ и $2 \cdot \frac{1}{- \frac{1}{2}} e^{- \frac{x}{2}} = - 4 e^{- \frac{x}{2}}$ . Совокупность всех первообразных данной функции записывается в виде $- \frac{1}{5} c o s 5 x + 4 e^{- \frac{x}{2}} + C$ .
Первообразными функций $6 \cos (2 x + 1)$ , $(x - 2)^{3}$ , $\frac{2}{\sqrt{x + 2}}$ являются соответственно функции $6 \cdot \frac{1}{2} \sin (2 x + 1) = 3 \sin (2 x + 1)$ , $\frac{{(x - 2)}^{4}}{1 \cdot 4} = \frac{{(x - 2)}^{4}}{4},$ $2 \cdot \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{1 \cdot \frac{1}{2}} = 4 \sqrt{x + 2}$ . Совокупность всех первообразных функции $f (x)$ записывается в виде $3 s i n (2 x + 1) - \frac{(x - 2)^{4}}{4} + 4 \sqrt{x + 2} + C$ .

Ответ: 1. $x^{4} + 3 l n |x| + C$ ;

2. $- \frac{1}{5} c o s 5 x + 4 e^{- \frac{x}{2}} + C$ ;

3. $3 s i n (2 x + 1) - \frac{(x - 2)^{4}}{4} + 4 \sqrt{x + 2} + C$ .

Упражнение

Найти все первообразные данной функции:

1. $f (x) = 6 e^{- 3 x} + {(2 x - 5)}^{2}$ ;

2. $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x + 3}} - \sin 3 x$ ;

3. $f (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$ .

Контрольные вопросы

1. Какие из приведенных ниже утверждений о двух функциях, имеющих первообразные, верны:

- первообразная суммы равна сумме первообразных;

- первообразная разности равна разности первообразных;

- первообразная произведения равна произведению первообразных;

- первообразная частного равна частному первообразных?

2. Пусть $F (x)$ – первообразная функции $f (x)$ . Какое из утверждений верно:

- $k F (k x + b)$ – первообразная для $f (k x + b)$ ;

- $\frac{1}{k} F (k x + b)$ – первообразная для $f (k x + b)$ .

Ответы

Упражнение

1. $- 2 e^{- 3 x} + \frac{(2 x - 5)^{3}}{6} + C$ ;

2. $8 \sqrt{x + 3} + \frac{1}{3} c os 3 x$ ;

3. $\ln |x + 1| + \ln |x + 4| + C, x \neq - 1, x \neq - 4$ .

Указание: $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 4} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 4}$ .

Конспект урока: Правила нахождения первообразных

Интеграл