Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Правила нахождения первообразных

Интеграл

16.07.2024
1336
0

Правила нахождения первообразных

План урока

  • Таблица первообразных некоторых функций
  • Правила интегрирования

Цели урока

  • Знать таблицу первообразных, правила интегрирования
  • Уметь находить первообразные

Разминка

  • Как называется операция нахождения производных?
  • Найдите первообразную функции, если
  1. y=4x3-4;
  2. y=15x2-8x+2;
  3. y=5ex5.

       Правильность нахождения проверьте дифференцированием.

  • Какое количество первообразных можно найти для некоторой функции?
  • Основные формулы нахождения производных функции (линейной функции, константы, тригонометрических функций, показательной функции, логарифмической функции, степенной функции).

Будем изучать первообразные по тому же сценарию, как изучали производную. Сначала ввели понятие, теперь рассмотрим правила нахождения первообразных. Напомним, что операцию нахождения производной функции называют дифференцированием, обратную ей операцию нахождения первообразной данной функции называют  интегрированием . Это слово от латинского integrare – восстанавливать.

Так как интегрирование обратно дифференцированию, то для того, чтобы составить таблицу первообразных некоторых функций, воспользуемся таблицей производных. Например, зная, что (sin x)'=cos x, сделаем вывод, что все первообразные для функции y=cos x определяются формулой sin x+C, где C – произвольная постоянная.

Отметим, что в дальнейшем будем считать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на том промежутке, на котором они обе определены, т.е. если дана функция f(x)=13x-1, то ее первообразной является функция F(x)=13ln3x-1 на промежутке 13;+

 

Таблица 1. Первообразные некоторых функций

 

Функция

Первообразная

xp, p-1

xp+1p+1+C

(kx+b)pp-1k0

(kx+b)p+1k(p+1)+C

1x, x0

ln x+C

ex

ex+C

ekx+b, k0

1kekx+b+C

sin x

-cos x+C

cos x

sin x+C

sin (kx+b)k0

-1kcos kx+b+C

cos (kx+b)k0

1ksin kx+b+C

1kx+bk0x-bk 

1kln kx+b+C

 

Правила интегрирования

 

Также, как и для производных функции, мы определяли правила дифференцирования, определим для первообразных правила интегрирования.


Пусть F(x) и G(x) – первообразные функций f(x) и g(x) соответственно на некотором промежутке. Тогда:

  1. функция  F(x)±G(x)  является первообразной функции  f(x)±g(x) ;
  2. функция  aF(x)  является первообразной функции  af(x) a – постоянная.


Пример

Найти все первообразные данной функции:  

 

1. f(x)=4x3+3x;

2. (x)=sin 5x-2e-x2;

3. f(x)=6cos (2x+1)-(x-2)3+2x+2.


Решение

 

Для нахождения первообразных воспользуемся таблицей 1 и правилами интегрирования.

  1. Первообразными функций 4x3 и 3x являются соответственно функции 4·x44=x4 и 3ln xx0. Тогда все первообразные функции f(x) записываются в виде x4+3ln x+C.
  2. Первообразными функций sin 5x и 2e-x2 являются соответственно -15cos 5x и 2·1-12e-x2=-4e-x2. Совокупность всех первообразных данной функции записывается в виде -15cos 5x+4e-x2+C.
  3. Первообразными функций 6 cos (2x+1)(x-2)32x+2 являются соответственно функции 6·12sin 2x+1=3 sin 2x+1(x-2)41·4=(x-2)44, 2·x+2121·12=4x+2. Совокупность всех первообразных функции f(x) записывается в виде 3sin 2x+1-(x-2)44+4x+2+C.

 

Ответ: 1. x4+3ln x+C

2. -15cos 5x+4e-x2+C

3. 3sin 2x+1-(x-2)44+4x+2+C.


Упражнение 

Найти все первообразные данной функции: 

 

1. fx=6e-3x+(2x-5)2;    

2. fx=4x+3-sin 3x;

3. fx=2x+5x2+5x+4.


Контрольные вопросы

 

1. Какие из приведенных ниже утверждений о двух функциях, имеющих первообразные, верны:

- первообразная суммы равна сумме первообразных;

- первообразная разности равна разности первообразных;

- первообразная произведения равна произведению первообразных;

- первообразная частного равна частному первообразных?

 

2. Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Какое из утверждений верно:

 

kF(kx+b) – первообразная для f(kx+b);

1kF(kx+b) – первообразная для f(kx+b).


Ответы

Упражнение 

 

1. -2e-3x+(2x-5)36+C;

2. 8x+3+13cos 3x

3. ln x+1+ln x+4+C, x-1, x-4

Указание: 2x+5x2+5x+4=1x+1+1x+4.

Предыдущий урок
Первообразная
Интеграл
Следующий урок
Первообразная
Интеграл
Поделиться:
  • Социально-экономическое развитие страны в 1960-х — середине 1980-х гг. Национальная политика и национальные движения в 1960-х — середине 1980-х гг.

    История

  • А.А. Блок. Тема Родины и исторического пути России в лирике А.А.Блока

    Литература

  • «Азиатский тип» населения

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке