Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Площадь криволинейной трапеции и интеграл

Интеграл

14.04.2024
1367
0

Площадь криволинейной трапеции и интеграл

План урока

  • Криволинейная трапеция и ее площадь
  • Интеграл
  • Формула Ньютона-Лейбница

Цели урока

  • Знать какую фигуру называют криволинейной трапецией, формулу вычисления площади криволинейной трапеции, определение интеграла, формулу Ньютона-Лейбница
  • Уметь изображать криволинейную трапецию, находить площадь криволинейной трапеции

Разминка

  1. Определение производной.
  2. Как называется операция нахождения производной функции? Первообразной функции?
  3. Сформулируйте определение трапеции.
  4. Сколько может быть первообразных у заданной функции?
  5. Как вычислить площадь фигуры F, если она разбита на две части F1 и F2?
  6. Найти все первообразные функций:

 

  1. f(x)=cos x;
  2. f(x)=x3;
  3. f(x)=4x+1;
  4. f(x)=4 cos x+5 sin x.

Рис.1. Криволинейная трапеция

К концу XVII века Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который лежит в основе математического анализа.

 

Рассмотрим фигуру, ограниченную снизу отрезком [a;b], сверху графиком непрерывной функции f(x) такой, что f(x)0 при x[a;b] и x>0  при x(a;b), слева – отрезком прямой x=a, справа – отрезком прямой x=b. Такую фигуру называют  криволинейной трапецией . Отрезок [a;b] называют основанием криволинейной трапеции (рис. 1).


Пример 1

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y=2+2x, осью Ox и прямыми x=-2 и x=1.


Рис. 2. Криволинейная трапеция

Решение

 

В одной и той же системе координат построим графики функций y=2+2xx=-2x=1. Закрасим полученную область (рис. 2).


Упражнение 1

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y=-2x2+3x и осью Ox.


Рис. 3. Площадь криволинейной трапеции

Найдем площадь S данной криволинейной трапеции (рис.1). 

Возьмем произвольную точку x из отрезка [a; b]. Пусть S(x) – площадь криволинейной трапеции с основанием [a; x] (рис. 3). Если x=a, то отрезок [a; x] – точка и S(a)=0. Если x=b, то S(x)=S.

Рассмотрим разность S(x+h)-S(x)h>0 (в случае отрицательного h аналогично). Эта разность – площадь криволинейной трапеции с основанием [x; x+h] (рис.3). Заметим, что длина стороны 

[x; x+h] составляет x+h-x=h. Существует такая точка c из [x; x+h], что эта площадь будет равна площади прямоугольника со сторонами h и f(c), т.е. S(x+h)-S(x)=h·f(c) (существование такой точки c доказывается в курсе высшей математики).

Составим разностное отношение:

 

S(x+h)-S(x)h=h·f(c)h

S(x+h)-S(x)h=f(c).

 

Если h0, то cxf(c)f(x) (следует из непрерывности функции f(x)). Получили, что S(x+h)-S(x)hf(x) при h0, что по определению производной означает S'(x)=f(x). Тогда S(x) – одна из первообразных функции f(x), совокупность первообразных для данной функции можно записать в виде 

 

F(x)=S(x)+C.             

                          

Как уже было сказано выше, S(a)=0 при x=a, тогда F(a)=S(a)+C, откуда F(a)=C

При x=b имеем F(b)=S(b)+C. Подставим в это выражение вместо C - F(a) и выразим S(b)S(b)=F(b)-F(a)Так как S(b)=S, то искомую сумму S криволинейной трапеции можно найти по формуле

 

S=F(b)-F(a),

 

где F(x) – одна из первообразных функции f(x).


Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то площадь криволинейной трапеции на [a;b], ограниченной снизу [a;b], сверху непрерывной  функцией f(x), слева – отрезком прямой x=a, справа – отрезком прямой x=b, можно вычислить по формуле 

 

                                        S=F(b)-F(a)                                       (1)

 

Разность F(b)-F(a) называют интегралом от функции f(x)  на отрезке [a;b] и обозначают abf(x)dx (читается «интеграл от a до b эф от икс дэ икс), т.е.

 

                                    abf(x)dx=F(b)-F(a)                              (2)

 

Формулу (2) называют  формулой Ньютона-Лейбница .

Из формул (1) и (2) следует

 

                                                        S=abf(x)dx                                 (3)


Пример 2

 

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками x=ax=b, осью Ox и графиком функции y=f(x):

  1. f(x)=4x-x2a=2b=4;
  2. f(x)=cos2xa=3π4b=π.


Решение

 

1. Применив формулы (3) и (2), получим S=24(4x-x2)dx=F(4)-F(2), где Fx – одна из первообразных функции fx2x2 и x33 – первообразные функций 4x и x2 соответственно, тогда в качестве первообразной исходной функции можно взять F(x)=2x2-x33

Найдем значения Fx при x=4x=2F(4)=32-643=1023F(2)=8-83=513, откуда S=1023-513=513.

 

2. Запишем функцию cos2x в виде 1+cos 2x2 и применим формулы (3) и (2).

 

S=3π4π1+cos 2x2dx=3π4π12+cos 2x2dx=F(π)-F3π4.

 

Первообразными функций 12 и cos 2x2 являются соответственно функции 12x и 14sin 2x, тогда в качестве первообразной исходной функции можно взять F(x)=12x+14sin 2x. Вычислим значение выражения F(π)-F3π4.

 

F(π)-F3π4=π8+14.

 

Ответ: 1. 513;

2. π8+14.     


Упражнение 2

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками x=ax=b, осью Ox и графиком функции y=f(x):

 

  1. f(x)=2x2a=13b=1;
  2. f(x)=sin2xa=π4b=π2.


Рис. 4. Криволинейная трапеция

Интеграл возник в связи с необходимостью вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности в связи с вычислением площади криволинейной трапеции. 

 

Рассмотрим криволинейную трапецию с основанием [a;b], поделенным точками x1,x2,,xi,,xn-1 на n отрезков (необязательно равных) (рис. 4). Проведем через них прямые, параллельные оси Oy. На каждом из отрезков xi-1; xi выберем точку ci, пусть Δxi=xi-xi-1.

 

Тогда площадь прямоугольника со сторонами Δxi и f(ci) будет равна f(ci)·Δxi, а площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников:

 

                        Sn=f(c1)·Δx1+f(c2)·Δx2++f(cn)·Δxn.                   (4)

 

Эту сумму называют интегральной суммой функции fx на отрезке [a;b].

Будем увеличивать количество точек разбиения отрезка [a;b] так, чтобы наибольшая из длин отрезков xi-1; xi стремилась к нулю. В курсе высшей математики доказывается, что для любой функции fx, непрерывной на отрезке [a;b] (необязательно неотрицательной) интегральные суммы (4) стремятся к некоторому числу, т.е. имеют предел, не зависящий от выбора точек ci. Этот предел называют  интегралом ( определенным интегралом ) от функции fx на [a;b] и обозначают  abf(x)dx . Его значение вычисляют по формуле (2), где Fx – одна из первообразных функции fx на [a;b].


Контрольные вопросы

 

  1. Что такое криволинейная трапеция?
  2. Что называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]?
  3. В чем состоит геометрический смысл интеграла?
  4. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
  5. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=-3x=1, осью Ox, графиком функции y=f(x)?


Ответы

Упражнение 1

 

Рис. 5.

Упражнение 2

 

  1. 4;
  2. π8+14.

Предыдущий урок
Первообразная
Интеграл
Следующий урок
Вычисление интегралов
Интеграл
Поделиться:
  • Теорема о биссектрисе треугольника

    Геометрия

  • Случайные величины. Центральные тенденции. Меры разброса

    Алгебра

  • Службы Интернета
Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке