Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Первообразная

Интеграл

Первообразная

План урока

  • Первообразная
  • Нахождение первообразных

Цели урока

  • Знать определение первообразной, основное свойство первообразной
  • Уметь проверять является ли данная функция первообразной для другой данной функции на промежутке, находить первообразную, график которой проходит через данную точку

Разминка

  • Закон движения материальной точки задан формулой s(t)=2+14 t. Найти:
  1. среднюю скорость движения от t=4 до t=8;
  2. скорость движения в моменты времени t=4 и t=8.
  • Вспомните основные формулы для нахождения производных (линейной функции, константы, тригонометрических функций, степенной функции, показательной функции, логарифмической функции).

Первообразная

 

Пусть материальная точка движется вдоль прямой по закону, заданному функцией s(t). Тогда мгновенная скорость движения это ϑ(t)=s'(t). Часто требуется решить обратную задачу: по заданной скорости движения ϑ(t) найти закон движения, т.е. нужно найти такую функцию s(t), производная которой равна ϑ(t). При этом функцию s(t), такую, что  называют  первообразной функции ϑ(t) .


Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F'(x)=f(x).


Например, функция F(x)=cos x является первообразной функции f(x)=-sin x, т.к. (cos x)'=-sin x, функция F(x)=x33 – первообразная для функции f(x)=x2, т.к. x33'=13·3x2=x2.


Пример 1

Показать, что функция F(x) – первообразная функции f(x) на всей числовой прямой, если

 

  1. F(x)=x66f(x)=x5;
  2. F(x)=-19x3+8f(x)=-13x2;
  3. F(x)=5 sin x-2f(x)=5 cos x;
  4. F(x)=3ex3-13cos 3xf(x)=ex3+sin 3x.


Решение

 

Найдем производные функции F(x) в каждом из предложенных случаев, и покажем, что они будут равны заданным функциям f(x).

 

  1. F'(x)=x66'=16·6x5=x5=f(x);
  2. F'(x)=-19x3+8'=-19·3x2+0=-13x2=f(x);
  3. F'(x)=(5sin x-2)'=5cos x-0=5cos x=f(x);
  4. F'(x)=3ex3-13cos 3x'=3ex3·13+13sin 3x·3=ex3+sin 3x=f(x).


Упражнение 1

Показать, что функция F(x) – первообразная функции f(x) на всей числовой прямой, если

 

  1. F(x)=x84f(x)=2x7;
  2. F(x)=4 sin 5x+6f(x)=20 cos 5x;
  3. F(x)=3e3x-8f(x)=9e3x.


Пример 2

Докажите, что функции x44, x44+2, x44-3 являются первообразными для функции f(x)=x3.


Решение

 

Пусть g(x)=x44h(x)=x44+2k(x)=x44-3. Найдем производную каждой из этих функций.

 

g'(x)=14·4x3=x3=f(x)h'(x)=14·4x3+0=x3=f(x)k'(x)=14·4x3-0=x3=f(x).

 

Видим, что каждая из функций g(x), h(x), k(x) является первообразной для функции f(x), что и требовалось доказать.


Так как производная константы равна нулю, то любая функция x44+C, где C – постоянная, является первообразной функции x3. Можно сделать вывод, что первообразная для заданной функции определяется неоднозначно.

Пусть F1(x), F2(x) – первообразные функции f(x), функция r(x) – функция разности первообразных, т.е. r(x)=F1(x)-F2(x). По определению первообразной F1'(x)=f(x)F2'(x)=f(x). Тогда r'(x)=F1'(x)-F2'(x)=f(x)-f(x)=0. Так как r'(x) – это угловой коэффициент касательной к графику функции y=r(x), то эта касательная параллельна оси Ox на том промежутке, где r'(x)=0.

 

Поэтому графиком функции y=r(x) является прямая, параллельная оси Ox, т.е. r(x)=C, где C – константа. Получили, что F1(x)-F2(x)=C откуда F1(x)=F2(x)+C

Рис. 1. Геометрический смысл первообразной Рис. 1. Геометрический смысл первообразной

Вывод: если F(x) – первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные этой функции можно записать в виде F(x)+C, где C – произвольная постоянная.

 

Из только что сказанного вытекает геометрический смысл первообразной: графики функций y=F(x)+CnnZ получаются из графика функции y=F(x) при помощи сдвига его вдоль оси Oy (рис. 1). Для того, чтобы выделить из совокупности первообразных функции f(x) какую-либо первообразную F1(x), достаточно указать точку A(x0;y0), через которую проходит график функции y=F1(x).


Пример 3

Для функции f(x)=sin 2x найти такую первообразную, график которой проходит через точку π2;5.


Решение

 

Все первообразные данной функции находятся по формуле F(x)=-12 cos 2x+C, т.к. 

 

F'(x)=-12cos 2x+C'==-12·(-sin 2x)·2=sin 2x

 

Найдем такое число C, чтобы график функции y=-12 cos 2x+C проходил через точку π2;5. Если график функции проходит через точку, то ее координаты удовлетворяют уравнению, задающему функцию, т.е. подставим в y=-12 cos 2x+C вместо x - π2, вместо y - 5. Получим 5=-12 cos 2·π2+CC=92.

Тогда искомая первообразная  F(x)=-12cos 2x+92

 

Ответ: -12cos 2x+92.


Упражнение 2

Для функции f(x)=4-x2 найти такую первообразную, график которой проходит через точку (-3;10).


Контрольные вопросы

 

  1. Что называют первообразной для функции y=f(x)?
  2. Укажите по две первообразных для каждой из функций:

1) y=x8;

2) y=2x;

3) y=sin x;

4) y=cos x;

5) y=ex.


Ответы

Упражнение 2

 

F(x)=4x-x33+13.

Вычисление площадей с помощью интегралов

Интеграл
  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История