Конспект урока: Первообразная

Первообразная

Пусть материальная точка движется вдоль прямой по закону, заданному функцией $s\left(t\right)$. Тогда мгновенная скорость движения это $\vartheta \left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$. Часто требуется решить обратную задачу: по заданной скорости движения $\vartheta \left(t\right)$ найти закон движения, т.е. нужно найти такую функцию $s\left(t\right)$, производная которой равна $\vartheta \left(t\right)$. При этом функцию $s\left(t\right)$, такую, что $s^{\text{'}}\left(t\right)=v\left(t\right)$ называют  первообразной функции $\vartheta \left(t\right)$ .

Например, функция $F\left(x\right)=\cos x$ является первообразной функции $f\left(x\right)=-\sin x$, т.к. $(cos x{)}^{\text{'}}=-\sin x$, функция $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}$ – первообразная для функции $f\left(x\right)=x^2$, т.к. ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{3}·3x^2=x^2$.

Показать, что функция $F\left(x\right)$ – первообразная функции $f\left(x\right)$ на всей числовой прямой, если

1. $F\left(x\right)=\frac{x^6}{6}$, $f\left(x\right)=x^5$;
2. $F\left(x\right)=-\frac{1}{9}{x}^3+8$, $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2$;
3. $F\left(x\right)=5 \sin x-2$, $f\left(x\right)=5 \cos x$;
4. $F\left(x\right)=3e^{\frac{x}{3}}-\frac{1}{3}cos 3x$, $f\left(x\right)=e^{\frac{x}{3}}+sin 3x$.

Решение

Найдем производные функции $F\left(x\right)$ в каждом из предложенных случаев, и покажем, что они будут равны заданным функциям $f\left(x\right)$.

1. $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{x^6}{6}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{6}·6x^5=x^5=f\left(x\right)$;
2. $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(-\frac{1}{9}{x}^3+8\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{9}·3x^2+0=-\frac{1}{3}{x}^2=f\left(x\right)$;
3. $F^{\text{'}}\left(x\right)=(5sin x-2{)}^{\text{'}}=5cos x-0=5cos x=f(x)$;
4. $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(3e^{\frac{x}{3}}-\frac{1}{3}\cos 3x\right)}^{\text{'}}=3e^{\frac{x}{3}}·\frac{1}{3}+\frac{1}{3}sin 3x·3=e^{\frac{x}{3}}+sin 3x=f\left(x\right)$.

Показать, что функция $F\left(x\right)$ – первообразная функции $f\left(x\right)$ на всей числовой прямой, если

1. $F\left(x\right)=\frac{x^8}{4}$, $f\left(x\right)=2x^7$;
2. $F\left(x\right)=4 \sin 5x+6$, $f\left(x\right)=20 \cos 5x$;
3. $F\left(x\right)=3e^{3x}-8$, $f\left(x\right)=9e^{3x}$.

Докажите, что функции $\frac{x^4}{4}, \frac{x^4}{4}+2, \frac{x^4}{4}-3$ являются первообразными для функции $f\left(x\right)=x^3$.

Решение

Пусть $g\left(x\right)=\frac{x^4}{4}$, $h\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+2$, $k\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-3$. Найдем производную каждой из этих функций.

$g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{4}·4x^3=x^3=f\left(x\right)$, $h^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{4}·4x^3+0=x^3=f\left(x\right)$, $k^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{4}·4x^3-0=x^3=f\left(x\right)$.

Видим, что каждая из функций $g\left(x\right), h\left(x\right), k\left(x\right)$ является первообразной для функции $f\left(x\right)$, что и требовалось доказать.

Так как производная константы равна нулю, то любая функция $\frac{x^4}{4}+C$, где $C$ – постоянная, является первообразной функции $x^3$. Можно сделать вывод, что первообразная для заданной функции определяется неоднозначно.

Пусть $F_1\left(x\right), F_2\left(x\right)$ – первообразные функции $f\left(x\right)$, функция $r\left(x\right)$ – функция разности первообразных, т.е. $r\left(x\right)=F_1\left(x\right)-F_2\left(x\right)$. По определению первообразной $F_1^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)$, $F_2^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)$. Тогда $r^{\text{'}}\left(x\right)=F_1^{\text{'}}\left(x\right)-F_2^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x\right)=0$. Так как $r^{\text{'}}\left(x\right)$ – это угловой коэффициент касательной к графику функции $y=r\left(x\right)$, то эта касательная параллельна оси $Ox$ на том промежутке, где $r^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

Поэтому графиком функции $y=r\left(x\right)$ является прямая, параллельная оси $Ox$, т.е. $r\left(x\right)=C$, где $C$ – константа. Получили, что $F_1\left(x\right)-F_2\left(x\right)=C$ откуда $F_1\left(x\right)=F_2\left(x\right)+C$. 

Рис. 1. Геометрический смысл первообразной

Вывод: если $F\left(x\right)$ – первообразная функции $f\left(x\right)$ на некотором промежутке, то все первообразные этой функции можно записать в виде $F\left(x\right)+C$, где $C$ – произвольная постоянная.

 

Из только что сказанного вытекает геометрический смысл первообразной: графики функций $y=F\left(x\right)+C_n$, $n\in Z$ получаются из графика функции $y=F\left(x\right)$ при помощи сдвига его вдоль оси $Oy$ (рис. 1). Для того, чтобы выделить из совокупности первообразных функции $f\left(x\right)$ какую-либо первообразную $F_1\left(x\right)$, достаточно указать точку $A(x_0;y_0)$, через которую проходит график функции $y=F_1\left(x\right)$.

Для функции $f\left(x\right)=\sin 2x$ найти такую первообразную, график которой проходит через точку $\left(\frac{\pi }{2};5\right)$.

Решение

Все первообразные данной функции находятся по формуле $F\left(x\right)=-\frac{1}{2} \cos 2x+C$, т.к. 

$F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(-\frac{1}{2}\cos 2x+C\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{2}·(-sin 2x)·2=sin 2x$. 

Найдем такое число $C$, чтобы график функции $y=-\frac{1}{2} \cos 2x+C$ проходил через точку $\left(\frac{\pi }{2};5\right)$. Если график функции проходит через точку, то ее координаты удовлетворяют уравнению, задающему функцию, т.е. подставим в $y=-\frac{1}{2} \cos 2x+C$ вместо $x$ - $\frac{\pi }{2}$, вместо $y$ - $5$. Получим $5=-\frac{1}{2} \cos \left(2·\frac{\pi }{2}\right)+C$, $C=\frac{9}{2}$.

Тогда искомая первообразная  $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{9}{2}$. 

Ответ: $-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{9}{2}$.

Для функции $f\left(x\right)=4-x^2$ найти такую первообразную, график которой проходит через точку $(-3;10)$.