Площадь криволинейной трапеции и интеграл

План урока

Криволинейная трапеция и ее площадь
Интеграл
Формула Ньютона-Лейбница

Цели урока

Знать какую фигуру называют криволинейной трапецией, формулу вычисления площади криволинейной трапеции, определение интеграла, формулу Ньютона-Лейбница
Уметь изображать криволинейную трапецию, находить площадь криволинейной трапеции

Разминка

Определение производной.
Как называется операция нахождения производной функции? Первообразной функции?
Сформулируйте определение трапеции.
Сколько может быть первообразных у заданной функции?
Как вычислить площадь фигуры $F$ , если она разбита на две части $F_{1}$ и $F_{2}$ ?
Найти все первообразные функций:

$f (x) = \cos x$ ;
$f (x) = x^{3}$ ;
$f (x) = \frac{4}{x + 1}$ ;
$f (x) = 4 \cos x + 5 \sin x$ .

Рис.1. Криволинейная трапеция

К концу XVII века Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который лежит в основе математического анализа.

Рассмотрим фигуру, ограниченную снизу отрезком $[a; b]$ , сверху графиком непрерывной функции $f (x)$ такой, что $f (x) \geq 0$ при $x \in [a; b]$ и $x > 0$ при $x \in (a; b),$ слева – отрезком прямой $x = a,$ справа – отрезком прямой $x = b$ . Такую фигуру называют криволинейной трапецией . Отрезок $[a; b]$ называют основанием криволинейной трапеции (рис. 1).

Пример 1

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = 2 + 2 |x|$ , осью $O x$ и прямыми $x = - 2$ и $x = 1$ .

Рис. 2. Криволинейная трапеция

Решение

В одной и той же системе координат построим графики функций $y = 2 + 2 |x|$ , $x = - 2$ , $x = 1$ . Закрасим полученную область (рис. 2).

Упражнение 1

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = - 2 x^{2} + 3 x$ и осью $O x$ .

Рис. 3. Площадь криволинейной трапеции

Найдем площадь $S$ данной криволинейной трапеции (рис.1).

Возьмем произвольную точку $x$ из отрезка $[a; b]$ . Пусть $S (x)$ – площадь криволинейной трапеции с основанием $[a; x]$ (рис. 3). Если $x = a$ , то отрезок $[a; x]$ – точка и $S (a) = 0$ . Если $x = b$ , то $S (x) = S$ .

Рассмотрим разность $S (x + h) - S (x)$ , $h > 0$ (в случае отрицательного $h$ аналогично). Эта разность – площадь криволинейной трапеции с основанием $[x; x + h]$ (рис.3). Заметим, что длина стороны

$[x; x + h]$ составляет $x + h - x = h$ . Существует такая точка $c$ из $[x; x + h]$ , что эта площадь будет равна площади прямоугольника со сторонами $h$ и $f (c)$ , т.е. $S (x + h) - S (x) = h \cdot f (c)$ (существование такой точки $c$ доказывается в курсе высшей математики).

Составим разностное отношение:

$\frac{S (x + h) - S (x)}{h} = \frac{h \cdot f (c)}{h}$ ,

$\frac{S (x + h) - S (x)}{h} = f (c)$ .

Если $h \to 0$ , то $c \to x$ , $f (c) \to f (x)$ (следует из непрерывности функции $f (x)$ ). Получили, что $\frac{S (x + h) - S (x)}{h} \to f (x)$ при $h \to 0$ , что по определению производной означает $S^{'} (x) = f (x)$ . Тогда $S (x)$ – одна из первообразных функции $f (x)$ , совокупность первообразных для данной функции можно записать в виде

$F (x) = S (x) + C$ .

Как уже было сказано выше, $S (a) = 0$ при $x = a$ , тогда $F (a) = S (a) + C$ , откуда $F (a) = C$ .

При $x = b$ имеем $F (b) = S (b) + C$ . Подставим в это выражение вместо $C$ - $F (a)$ и выразим $S (b)$ : $S (b) = F (b) - F (a)$ . Так как $S (b) = S$ , то искомую сумму $S$ криволинейной трапеции можно найти по формуле

$S = F (b) - F (a)$ ,

где $F (x)$ – одна из первообразных функции $f (x)$ .

Если $F (x)$ – одна из первообразных функции $f (x)$ , то площадь криволинейной трапеции на $[a; b]$ , ограниченной снизу $[a; b]$ , сверху непрерывной функцией $f (x)$ , слева – отрезком прямой $x = a$ , справа – отрезком прямой $x = b$ , можно вычислить по формуле

$S = F (b) - F (a)$ (1)

Разность $F (b) - F (a)$ называют интегралом от функции $f (x)$ на отрезке $[a; b]$ и обозначают $\int_{a}^{b} f (x) d x$ (читается «интеграл от $a$ до $b$ эф от икс дэ икс), т.е.

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ (2)

Формулу (2) называют формулой Ньютона-Лейбница .

Из формул (1) и (2) следует

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ (3)

Пример 2

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками $x = a$ , $x = b$ , осью $O x$ и графиком функции $y = f (x)$ :

$f (x) = 4 x - x^{2}$ , $a = 2$ , $b = 4$ ;
$f (x) = c o s^{2} x$ , $a = \frac{3 π}{4}$ , $b = π$ .

Решение

1. Применив формулы (3) и (2), получим $S = \int_{2}^{4} (4 x - x^{2}) d x = F (4) - F (2)$ , где $F (x)$ – одна из первообразных функции $f (x)$ . $2 x^{2}$ и $\frac{x^{3}}{3}$ – первообразные функций $4 x$ и $x^{2}$ соответственно, тогда в качестве первообразной исходной функции можно взять $F (x) = 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3}$ .

Найдем значения $F (x)$ при $x = 4$ , $x = 2$ . $F (4) = 32 - \frac{64}{3} = 10 \frac{2}{3}$ , $F (2) = 8 - \frac{8}{3} = 5 \frac{1}{3},$ откуда $S = 10 \frac{2}{3} - 5 \frac{1}{3} = 5 \frac{1}{3} .$

2. Запишем функцию $c o s^{2} x$ в виде $\frac{1 + \cos 2 x}{2}$ и применим формулы (3) и (2).

$S = \int_{\frac{3 π}{4}}^{π} (\frac{1 + \cos 2 x}{2}) d x = \int_{\frac{3 π}{4}}^{π} (\frac{1}{2} + \frac{\cos 2 x}{2}) d x = F (π) - F (\frac{3 π}{4})$ .

Первообразными функций $\frac{1}{2}$ и $\frac{\cos 2 x}{2}$ являются соответственно функции $\frac{1}{2} x$ и $\frac{1}{4} \sin 2 x$ , тогда в качестве первообразной исходной функции можно взять $F (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x$ . Вычислим значение выражения $F (π) - F (\frac{3 π}{4})$ .

$F (π) - F (\frac{3 π}{4}) = \frac{π}{8} + \frac{1}{4}$ .

Ответ: 1. $5 \frac{1}{3}$ ;

2. $\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$ .

Упражнение 2

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками $x = a$ , $x = b$ , осью $O x$ и графиком функции $y = f (x)$ :

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$ , $a = \frac{1}{3}$ , $b = 1$ ;
$f (x) = s i n^{2} x$ , $a = \frac{π}{4}$ , $b = \frac{π}{2}$ .

Рис. 4. Криволинейная трапеция

Интеграл возник в связи с необходимостью вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию с основанием $[a; b]$ , поделенным точками $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n - 1}$ на $n$ отрезков (необязательно равных) (рис. 4). Проведем через них прямые, параллельные оси $O y$ . На каждом из отрезков $[x_{i - 1}; x_{i}]$ выберем точку $c_{i}$ , пусть $Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}$ .

Тогда площадь прямоугольника со сторонами $Δ x_{i}$ и $f (c_{i})$ будет равна $f (c_{i}) \cdot Δ x_{i}$ , а площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников:

$S_{n} = f (c_{1}) \cdot Δ x_{1} + f (c_{2}) \cdot Δ x_{2} + \dots + f (c_{n}) \cdot Δ x_{n}$ . (4)

Эту сумму называют интегральной суммой функции $f (x)$ на отрезке $[a; b]$ .

Будем увеличивать количество точек разбиения отрезка $[a; b]$ так, чтобы наибольшая из длин отрезков $[x_{i - 1}; x_{i}]$ стремилась к нулю. В курсе высшей математики доказывается, что для любой функции $f (x)$ , непрерывной на отрезке $[a; b]$ (необязательно неотрицательной) интегральные суммы (4) стремятся к некоторому числу, т.е. имеют предел, не зависящий от выбора точек $c_{i}$ . Этот предел называют интегралом ( определенным интегралом ) от функции $f (x)$ на $[a; b]$ и обозначают $\int_{a}^{b} f (x) d x$ . Его значение вычисляют по формуле (2), где $F (x)$ – одна из первообразных функции $f (x)$ на $[a; b]$ .

Контрольные вопросы

Что такое криволинейная трапеция?
Что называют интегралом от функции $f (x)$ на отрезке $[a; b]$ ?
В чем состоит геометрический смысл интеграла?
Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $x = - 3$ , $x = 1$ , осью $O x$ , графиком функции $y = f (x)$ ?

Ответы

Упражнение 1

Рис. 5.

Упражнение 2

4;
$\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$ .

Конспект урока: Площадь криволинейной трапеции и интеграл

Интеграл