Конспект урока: Вероятность равновозможных событий

Вероятность равновозможных событий

Вероятность — это величина, которая характеризует возможность события произойти. На практике получить значение вероятности статистическим путем долго и сложно. Поэтому для нахождения вероятности пользуются другим методом. Идея этого метода состоит в том, чтобы, не прибегая к испытаниям, оценить вероятность события с помощью рассуждений.

Рассмотрим такой пример. Пусть в корзине лежат пронумерованные от 1 до 5 шары. Если доставать шары из корзины и класть их обратно, то шансы вытащить шар с числом от 1 до 5 одинаковы. Другими словами, нельзя утверждать, что вытащить какой-либо шар более вероятно, чем другие. Такие события называют равновозможные.

Вычисление вероятности через отношение количества благоприятных исходов к количеству всех исходов называется классическим подходом .

В задачнике 35 задач по теме «Теория вероятностей». Из них в 14 встречается вопрос по относительной частоте события. Найдите вероятность не встретить задачу про относительную частоту в теме «Теория вероятностей».

Решение

Общее количество исходов равно $35$. 

Обозначим за $A$ — событие «не встретить задачу на относительную частоту». Число благоприятных исходов события $A$ равно $35-14$, т. е. $21$.

Тогда вероятность события $A$ равна $P\left(A\right)=\frac{21}{35}=\frac{3}{5}=0,6$.

Ответ: $0,6$.

Обозначение $P$ происходит от французского слова probabilite, что означает «вероятность».

Вася составил произвольную последовательность из букв А, Б, В, Г, Д. Каждую букву Вася использовал один раз. Аналогично свою последовательность записал и Петя. Какова вероятность, что они оба загадали одну и ту же последовательность.

Решение

Вася записал перестановку 5 букв. Общее количество таких перестановок равно $5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$. 

Все последовательности равновозможны. Значит, вероятность того, что они совпали, равна $\frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$.

1. В коробке 100 шаров, из них 30 – красные. Какова вероятность вытащить красный шар?

2. В лотерее из 45 билетов, 9 — счастливые. Какова вероятность того, что попадётся несчастливый билет?

3. На отдельных карточках написаны числа от 1 до 10, каждое 1 раз. Саша наугад вытаскивает две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел на вытащенных карточках будет равна 14?

Противоположные события

Важным понятием теории вероятностей является «противоположные события». Свойство противоположных событий значительно упрощает решение некоторых задач теории вероятностей. 

Рассмотрим это понятие на примере наших шаров. Пусть событие $A$ — вытащить шар с чётной цифрой, $B$ — с нечётной. События $A$ и $B$ не имеют общих исходов, т. е. наступление одного события исключает наступление другого. Такие события называются противоположными.

Количество благоприятных исходов для $A$ равно 2 (шары с числами 2 и 4). Количество благоприятных исходов для $B$ равно 3 (шары с числами 1, 3 и 5). Тогда

$P\left(A\right)=\frac{2}{5}=0,4$ и $P\left(B\right)=\frac{3}{5}=0,6$.

Обратим внимание, что $P\left(A\right)+P\left(B\right)=0,4+0,6=1$. В этом и состоит свойство противоположных событий.

Вероятность, что стрелок попадет по мишени равна $0,94$. Чему равна вероятность его промаха?

Решение

Пусть $A$ — попадание по мишени, $B$ — промах. По условию задачи $P\left(A\right)=0,94$.

События $A$ и $B$ являются противоположными, значит $P\left(A\right)+P\left(B\right)=1$.

Тогда 

$P\left(B\right)=1-P\left(A\right)=1-0,94=0,06$.

Ответ: $0,06$.

1. При изготовлении подшипников диаметром 60 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не более чем на 0,01 мм, равна 0,955. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 59,99, или больше, чем 60,01 мм.

2. Вероятность того, что новая гелиевая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Достоверные и невозможные события

В классическом подходе вероятность равна отношению количества благоприятных исходов к количеству всех равновозможных исходов, причём количество благоприятных исходов не больше количества всех исходов. Значит, вероятность любого события не больше 1. При этом количество благоприятных исходов точно не меньше нуля, значит, вероятность любого события не меньше 0.

В условии нашего примера про шары в корзинке событие — вытащить шар с числом меньше 6, является достоверным, а вот вытащить шар с числом 6 — невозможное событие.

Упражнение 1

1. $0,3$.                  2. $0,8$.                  3.$\frac{1}{15}$

Упражнение 2

1. $0,045$.                 2. $0,95$.