Конспект урока: Размещения

Размещения из $\mathit{n}$ элементов по $\mathit{k}$

Вспомним, что перестановкой из $n$ элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. При составлении перестановки мы брали все элементы множества и меняли их порядок, при этом было важно, что количество мест совпадало с количеством элементов этого множества. А что если мест будет меньше, чем элементов множества? В этом случае говорят о размещениях.

У Светы есть 4 тетради: желтая, зеленая, синяя и фиолетовая. По математике, биологии и обществознанию у неё закончились тетради и ей надо выбрать им на замену. Приведете примеры распределений, которые могла сделать Света.

Решение

Пусть сначала Света выбирает тетрадь для математики, потом для биологии и в последнюю очередь для обществознания. 

Обозначим тетради по первой букве их цвета: Ж, З, С, Ф.

Составим несколько разных троек, используя буквы Ж, З, С, Ф:

ЖЗФ, ЗФС, ФЖС, СФЖ.

Каждая получившая тройка, которую можно составить из 4 элементов, называется размещением из 4 элементов по 3.

Формула количества размещений из $\mathit{n}$ элементов по $\mathit{k}$

Теперь хотим сосчитать, сколькими способами Света могла распределить имеющиеся у неё тетради среди трёх предметов. Для этого воспользуемся правилом умножения. 

Мы решили, что сначала Света выбирает тетрадь для математики, потом для биологии и в последнюю очередь для обществознания. Значит, для математики можно выбрать одну из четырёх тетрадей (т. е. четырьмя способами), для биологии одну из оставшихся трёх (т. е. тремя способами) и для обществознания одной из оставшихся двух (т. е. двумя способами). Тогда общее количество способов равно 

$4\times 3\times 2=24$.

Можно сделать вывод, что для того, чтобы посчитать количество размещений, необходимо перемножить натуральные числа, начиная с $n$ и заканчивая числом $(n-k+1)$, так как количество множителей должно быть равным числу $k$ (количеству мест).

Формула верна и при $n=k$, если условиться считать по определению, что $0!=1$.

Проверим формулу, для этого раскроем факториалы в числителе и знаменателе через произведение и преобразуем дробь:

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{1\times 2\times 3\times ...\times (n-k-1)\times (n-k)\times (n-k+1)\times ...\times (n-1)\times n}{1\times 2\times 3\times ...\times (n-k-1)\times (n-k)}=$ 

$=(n-k+1)\times ...\times (n-1)\times n=n\times (n-1)\times ...\times (n-k+1)$.

Пришли к такому же выводу, что и выше.

В соревнованиях по настольному теннису участвуют 6 человек. Сколькими способами они могли разделить первые три места между собой?

Решение

Любое распределение по призовым местам, составленное из 3 человек, отличается от другого любого либо набором человек, либо их местом в турнирной таблице. Значит, это размещение из 6 элементов по 3. 

Воспользуемся формулой количества размещений при $n=6$, $k=3$. Получим

$A_6^3=\frac{6!}{3!}=6\times 5\times 4=120$.

Ответ: $120$.

Сколько различных четырехзначных чисел, которые заканчиваются двумя чётными цифрами, можно составить из цифр $1, 2, 4, 5, 6, 7, 8$, при условии, что цифры не могут повторяться?

Решение

Сначала подсчитаем сколькими способами можно задать последние две цифры. На двух последних местах могут стоять цифры $2, 4, 6, 8$. Тогда количество размещений для двух последних мест равно $A_4^2$.

Теперь подсчитаем способы расстановки оставшихся цифр на первые места. Мы уже использовали 2 цифры, значит, осталось 5 цифр. Так как число четырехзначное, то необходимо заполнить первые два места. Число таких размещений равно $A_5^2$. Общее число равно произведению $A_5^2\times A_4^2$. Тогда получим

$A_5^2\times A_4^2=\frac{5!}{2!}\times \frac{4!}{2!}=(5\times 4\times 3)\times (4\times 3)=720$.

Ответ: $720$.

1. В кофейне 8 свободных столиков. Туда пришли Ваня и Катя, Маша и Оля. Сколькими способами две пары ребят могут сесть за свободные столики (пары должны сидеть за разными столиками)?

2. Сколько трехзначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр $0, 2, 5, 7, 8, 9$, при условии, что цифры не могут повторяться?

3. Группа друзей из 7 человек пошла в поход, в том числе и Ваня. Им нужно выбрать повара, ответственного за костер и ответственного за палатки. Сколькими способами они могут это сделать, если Ваня не умеет готовить?

Упражнение 1

1. $56$.               2. $36$.                3. $180$.