Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Размещения

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Размещения

План урока

  • Определение размещения из n элементов по k;
  • Формула количества размещений из n элементов по k;
  • Примеры.

Цели урока

  • Знать, что такое размещения из n элементов по k;
  • Знать формулу количества размещений из n элементов по k;
  • Уметь применять формулу количества размещений для решения задач.

Разминка

  • Что такое перестановки из n элементов?
  • Вычислите 6!-2!×5!.
  • Сколькими способами можно расставить 4 кружки на полке?

Размещения из n элементов по k

 

Вспомним, что перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. При составлении перестановки мы брали все элементы множества и меняли их порядок, при этом было важно, что количество мест совпадало с количеством элементов этого множества. А что если мест будет меньше, чем элементов множества? В этом случае говорят о размещениях.


Размещением из n элементов по k  (kn) называют любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.


Пример 1

У Светы есть 4 тетради: желтая, зеленая, синяя и фиолетовая. По математике, биологии и обществознанию у неё закончились тетради и ей надо выбрать им на замену. Приведете примеры распределений, которые могла сделать Света.

 

Решение

 

Пусть сначала Света выбирает тетрадь для математики, потом для биологии и в последнюю очередь для обществознания. 

 

Обозначим тетради по первой букве их цвета: Ж, З, С, Ф.

 

Составим несколько разных троек, используя буквы Ж, З, С, Ф:

 

ЖЗФ, ЗФС, ФЖС, СФЖ.

 

Каждая получившая тройка, которую можно составить из 4 элементов, называется размещением из 4 элементов по 3.


Формула количества размещений из n элементов по k

 

Теперь хотим сосчитать, сколькими способами Света могла распределить имеющиеся у неё тетради среди трёх предметов. Для этого воспользуемся правилом умножения. 

 

Мы решили, что сначала Света выбирает тетрадь для математики, потом для биологии и в последнюю очередь для обществознания. Значит, для математики можно выбрать одну из четырёх тетрадей (т. е. четырьмя способами), для биологии одну из оставшихся трёх (т. е. тремя способами) и для обществознания одной из оставшихся двух (т. е. двумя способами). Тогда общее количество способов равно 

 

4×3×2=24.

 

Можно сделать вывод, что для того, чтобы посчитать количество размещений, необходимо перемножить натуральные числа, начиная с n и заканчивая числом (n-k+1), так как количество множителей должно быть равным числу k (количеству мест).


Число размещений из n элементов по k обозначают Ank (читается: «A из n по k»).

 

Формула для вычисления числа размещений из n элементов по k при k<n имеет вид

 

Ank=n!(n-k)!.


Формула верна и при n=k, если условиться считать по определению, что 0!=1.

 

Проверим формулу, для этого раскроем факториалы в числителе и знаменателе через произведение и преобразуем дробь:

 

Ank=n!(n-k)!=1×2×3×...×(n-k-1)×(n-k)×(n-k+1)×...×(n-1)×n1×2×3×...×(n-k-1)×(n-k)= 

 

=(n-k+1)×...×(n-1)×n=n×(n-1)×...×(n-k+1).

 

Пришли к такому же выводу, что и выше.


Пример 2

 

В соревнованиях по настольному теннису участвуют 6 человек. Сколькими способами они могли разделить первые три места между собой?

 

Решение

 

Любое распределение по призовым местам, составленное из 3 человек, отличается от другого любого либо набором человек, либо их местом в турнирной таблице. Значит, это размещение из 6 элементов по 3. 

 

Воспользуемся формулой количества размещений при n=6k=3. Получим

 

A63=6!3!=6×5×4=120.

 

Ответ: 120.


Пример 3

Сколько различных четырехзначных чисел, которые заканчиваются двумя чётными цифрами, можно составить из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, при условии, что цифры не могут повторяться?

 

Решение

 

Сначала подсчитаем сколькими способами можно задать последние две цифры. На двух последних местах могут стоять цифры 2, 4, 6, 8. Тогда количество размещений для двух последних мест равно A42.

 

Теперь подсчитаем способы расстановки оставшихся цифр на первые места. Мы уже использовали 2 цифры, значит, осталось 5 цифр. Так как число четырехзначное, то необходимо заполнить первые два места. Число таких размещений равно A52. Общее число равно произведению A52×A42. Тогда получим

 

A52×A42=5!2!×4!2!=(5×4×3)×(4×3)=720.

 

Ответ: 720.


Упражнение 1

1. В кофейне 8 свободных столиков. Туда пришли Ваня и Катя, Маша и Оля. Сколькими способами две пары ребят могут сесть за свободные столики (пары должны сидеть за разными столиками)?

2. Сколько трехзначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0, 2, 5, 7, 8, 9, при условии, что цифры не могут повторяться?

3. Группа друзей из 7 человек пошла в поход, в том числе и Ваня. Им нужно выбрать повара, ответственного за костер и ответственного за палатки. Сколькими способами они могут это сделать, если Ваня не умеет готовить?


Контрольные вопросы

 

1. Что такое размещения?

2. Чем размещения отличаются от перестановок?

3. Как посчитать количество размещений?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 56.               2. 36.                3. 180.


Предыдущий урок
Перестановки
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Следующий урок
Относительная частота случайного события
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
  • А.С. Пушкин. Тема поэта и поэзии. «Пророк», «Я памятник себе воздвиг нерукотворный…»

    Литература

  • Жёсткость воды и способы её устранения

    Химия

  • Изменения в повседневной жизни

    История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке