Конспект урока: Перестановки

Перестановки из $\mathit{n}$ элементов

Перестановки присутствуют в нашей жизни постоянно. Когда убираемся в шкафу или переставляем мебель, когда составляем расписание или список дел на день. Если при этих действиях количество и сам набор предметов не меняется, то такие действия мы называем перестановками.

В математике перестановки являются простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов этого множества.

Трое друзей Миша, Витя и Коля пришли в боулинг. Сколькими способами их можно распределить по порядку бросания шара?

Решение

Обозначим мальчиков по заглавной букве их имени: М, В и К.

Если первым будет бросать Миша, то можно получить 2 вида порядка бросания:

МВК или МКВ.

Пусть теперь первым будет Витя. Тогда получим следующие расположения:

ВКМ или ВМК.

Осталось рассмотреть случай, когда первый — Коля. Получим:

КВМ или КМВ.

Получилось 6 способов.

Ответ: 6.

Заметим, когда мы перебирали варианты расположения, набор множества никак не менялся, менялся только порядок. Каждое из полученных расположений является перестановкой из трёх элементов.

Формула количества перестановок из $\mathit{n}$ элементов

В примере 1 мы получили, что множество из  трех  элементов  имеет  шесть  перестановок, т. е. $P_3=6$. Но в примере мы перебирали варианты. Теперь рассчитаем количество перестановок с помощью правила умножения.

Первым шар мог бросать кто угодно из трёх мальчиков, вторым — кто-то из двух оставшихся, и третьим — только один мальчик, который еще не бросал. Значит, умножив 3, 2 и 1, так же получим 6 вариантов.

Значит, можем сделать вывод. Чтобы подсчитать количество перестановок из $n$ элементов, необходимо перемножить натуральные числа от 1 до $n$ т. е.

$P_n=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 3\times 2\times 1$

или

$P_n=1\times 2\times 3\times ...\times (n-2)\times (n-1)\times n$.

Но эта формула громоздкая, поэтому используют специальное обозначение: $n!$ (читается «$n$ факториал»).

По определению считают, что $1!=1$.

Вычислить $6!-4!\times 3!$.

Решение

По определению $6!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6=720$.

Аналогично, $4!=1\times 2\times 3\times 4=24$ и $3!=1\times 2\times 3=6$.

Тогда $6!-4!\times 3!=720-24\times 6=576$.

Ответ: $576$.

Вычислить:

1. $5!+3!$;

2. $4!-2!\times 3!$;

3. $7!+6!-5!\times 4!\times 2!$.

Сколькими способами можно расставить 6 горшков с цветами на полке?

Решение

Число способов — это количество перестановок из 6 элементов.

Используем формулу количества перестановок. Получим

$P_6=6!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6=720$.

Значит, существует 720 способов расставить 6 горшков с цветами на полке.

Ответ: $720$.

На книжной полке помещается 8 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы первый том не стоял на последнем месте?

Решение

Определим общее количество перестановок книг на полке по формуле

$P_8=8!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8=40 320$.

Определим количество «лишних» перестановок, или перестановок, в которых первый том последний. Если первый том последний, то все остальные могут стоять c первого по седьмое место в произвольном порядке, что соответствует количеству перестановок из семи элементов, т. е. количество «лишних» перестановок равно

$P_7=7!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7=5 040$.

Тогда количество перестановок, в которых первый том не стоит на последнем месте

$P_8-P_7=40 320-5 040=35 280$.

Ответ: $35 280$.

1. Сколькими способами можно рассадить четырех человек в самолетном ряду на четыре места?

2. Сколько шестизначных чисел можно составить, используя цифры $0, 2, 3, 7, 8, 9$, при условии, что цифры не могут повторяться?

Упражнение 1

1. $126$.               2. $12$.               3. $0$

Упражнение 2

1. $24$.               2. $600$.