Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Примеры комбинаторных задач

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Примеры комбинаторных задач

План урока

  • Комбинаторика;
  • Способ решения комбинаторных задач — перебор вариантов;
  • Дерево событий;
  • Правило умножения.

Цели урока

  • Уметь решать задачи с помощью перебора вариантов;
  • Уметь решать задачи с помощью дерева событий;
  • Знать, как применять правило умножения.

Разминка

  • Сколько трёхзначных чисел существует?
  • Сколько рукопожатий произойдет на встрече четырех мужчин?
  • Сколько двузначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3?

Комбинаторика

 

Приступим к изучению ещё одного очень важного раздела математики. Люди пользуются комбинаторикой в своей жизни, даже не замечая этого. Областей применения комбинаторных задач очень много: учебные заведения (составление расписаний), сфера общественного питания (составление меню), лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв), география (раскраска карт), спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками), производство (распределение нескольких видов работ между рабочими), агротехника (размещение посевов на нескольких полях). И это лишь малая часть.


Комбинаторные задачи — задачи, в которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать количество комбинаций.

 

Раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой .


Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».

 

Перебор вариантов

 

Комбинаторные задачи являются задачами математики, поэтому есть несколько способов их решения. Первый из них — перебор вариантов. Его суть состоит в том, чтобы составить и выписать всевозможные варианты.


Пример 1

На завтрак Вова может выбрать два из пяти бутербродов, приготовленных мамой. В этот раз на тарелке лежать бутерброды: с маслом, с колбасой, с сыром, с джемом, с арахисовой пастой. Сколькими способами Вова может выбрать себе завтрак.

 

Решение

 

Для начала виды бутербродов обозначим первой буквой их начинки: М (масло), К (колбаса), С (сыр), Д (джем), П (паста).

 

Составим все завтраки, в которых есть бутерброд с маслом:

 

МК, МС, МД, МП.

 

Теперь выпишем завтраки с бутербродом с колбасой, но без масла:

 

КС, КД, КП.

 

Используя бутерброды с сыром, джемом и пастой, составим оставшиеся завтраки:

 

СД, СП.

 

И остался вариант бутербродов с джемом и пастой

 

ДП.

 

Осталось посчитать: 4+3+2+1=10. То есть существует 10 способов выбрать 2 бутерброда из пяти.

 

Ответ: 10.


Упражнение 1

Сколько видов мороженного можно получить, соединяя три вида из имеющихся: банан, манго, киви, дыня, пломбир, шоколад?


Дерево событий

 

Второй способ решения комбинаторных задач — построение дерева событий. Он очень похож на предыдущий метод, только графический.


Пример 2

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 5, 6, 9, при условии, что цифры не могут повторяться и первая цифра обязательно чётная.

 

Решение

 

Построим дерево событий. 

 

 

На первое место можно поставить 2 или 6; на второе любую из оставшихся, не повторяющих 2 или 6; а на третьем месте должна быть цифра, которая не повторяет две предыдущие.

 

Таким образом, получили 12 чисел.

 

Ответ: 12.


Упражнение 2

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 7, 9, если цифра не могут повторяться?


Правило умножения

 

Последний из способов не предполагает записи вариантов в любом виде. Этот метод — аналитический. Для решения комбинаторных задач с помощью этого способа достаточно воспользоваться комбинаторным правилом умножения . Это значительно сокращает время решения комбинаторной задачи, то при этом теряется наглядность решения.


Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать n3 способами из оставшихся и т. д., то число способов которые могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1, n2, n3, ..., nk.


Другими словами, чтобы получить количество различных комбинаций из конечного числа элементов нужно перемножить между собой количество способов выбора элементов на каждое место в этой комбинации.


Пример 3

Катя решила распланировать свой выходной день. Утром она может выйти на пробежку или сходить в бассейн; днем — встретиться с Машей или Светой, или навестить бабушку; вечером — почитать книгу, поиграть с братом на приставке, погулять с собакой или посмотреть фильм с родителями. Сколько вариантов расписания у неё могло получиться?

 

Решение

 

Утро может быть запланировано двумя вариантами, день — тремя, а вечер — с помощью четырех.

Тогда общее количество исходов равно произведению 2×3×4=24. Т. е. 24 варианта расписания у неё могло получиться.

 

Ответ: 24.


Упражнение 3

Учителю необходимо составить тест из трех вопросов. Для этого об берет из одного сборника по одному вопросу. При этом в первом сборнике 15 вопросов, во втором — 10, а в третьем — 20. Сколько вариантов теста он может составить?


Контрольные вопросы

 

1. Какие задачи решает комбинаторика?

2. Чем метод перебора вариантов отличается от дерева исходов?

3. Сформулируйте правило умножения.


Ответы

Упражнение 1

 

1. 20.

 

 

Упражнение 2

 

1. 48.

 

 

Упражнение 3

 

1. 3 000.


Предыдущий урок
Размещения
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Следующий урок
Вероятность равновозможных событий
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
  • Древнерусская литература. «Слово о полку Игореве»

    Литература

  • Образование и наука. Периодическая печать и художественная культура

    История

  • Русский романтизм. В.А. Жуковский. «Море». «Светлана»

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке