Конспект урока: Относительная частота случайного события

Теория вероятностей

Нам нередко приходится проводить наблюдения, опыты, участвовать в экспериментах или испытаниях. Часто подобные исследования заканчиваются некоторым результатом, который заранее предсказать нельзя. Если открыть книгу наугад, то невозможно знать заранее, какой номер страницы вы увидите.

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятность», например, «это невероятный случай», «вероятнее всего он опоздает» и т. д. Здесь интуитивно оценивается возможность того или иного события, исходя из здравого смысла, интуиции.

В задачах, которые мы решаем на уроках математики у всех получается один и тот же ответ. И этот ответ не зависит от способа решения задачи, а зависит только от правильности выполнения вычислений. 

В реальной же жизни не все так просто. Многие события нельзя предсказать заранее. Мы не можем знать, какая погода будет в первый день весны, когда будет первая гроза. Нельзя наверняка сказать, сколько человек решат позвонить по телефону в ближайший час. Кто может гарантировать, что если я сейчас пойду в магазин, то обязательно встречу там свою одноклассницу. Все эти события могут произойти, а могут и не произойти. Поэтому эти события называются случайными .

Оказывается, что случайные события тоже имеют свои закономерности, которые изучает раздел математики — теория вероятностей .

Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Она помогает оценить свои шансы на успех, принимать оптимальные решения.

Относительная частота случайного события

Теория вероятностей имеет дело с экспериментами, исходы которых непредсказуемы: они зависят от случая. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно вычислить, как часто оно происходит.

Рассмотрим пример. В коробке лежат 8 разноцветных шаров, включая красный. Провели следующий эксперимент. Из коробки, не глядя, доставали один шарик, записывали его цвет и убирали обратно в коробку. Так сделали 100 раз. Вытащить из коробки красный шарик (впрочем, как и любой другой) является случайным событием. В данном эксперименте красный шарик достали 13 раз. Число 13, которое показывает, сколько раз в этом испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события, а отношение частоты к общему числу испытаний (100), равное $\frac{13}{100}$, называют относительной частотой этого события.

Почему важна относительная частота события? Рассмотрим пример. 

Вова попал в мишень три раза, Миша — четыре. Кто из них лучше стреляет? Можно ответить, что Миша — лучше, так как больше число попаданий. Но мы не знаем, сколько у каждого было попыток. Например, Вова сделал всего три выстрела и попал все три раза, относительная частота попадания $\frac{3}{3}=1$. А Миша сделал серию из 10 выстрелов и попал всего четыре раза: $\frac{4}{10}=0,4$.

Во втором случае сделать вывод о том, кто лучше стреляет, гораздо легче.

Ваня 20 раз выстрелил по мишеням и попал 9 раз. Найти относительную частоту попадания по мишени.

Решение

Число испытаний $n=20$, а частота попадания $m=9$.

По определению относительная частота попадания равна:

$\frac{m}{n}=\frac{9}{20}=0,45$.

Ответ: $0,45$.

1. Игральный кубик подбросили 150 раз, при этом тройка выпала 24 раза. Найдите относительную частоту появления тройки.

2. Относительная частота солнечных дней летом примерно равна 0,74. Найдите число солнечных дней летом. 

3. В магазин привезли 500 коробок с соком, 30 из них были бракованными. Определите относительную частоту не бракованных коробок с соком.

Вероятность

Наблюдения показывают, что если условия экспериментов примерно одинаковы, а их число велико, то частота одного и того же события будет примерно одинаковой. Чем больше число испытаний, тем обычно ближе частота события к некоторому постоянному числу $p$. Это число и называют вероятностью случайного события $A$ и обозначают $P\left(A\right)$.

Грубо говоря, частота и вероятность событий — это примерно одно и то же. Частоту определяют на практике, в ходе эксперимента, а вероятность можно рассчитать аналитически. 

Главная задача теории вероятностей — найти вероятность наступления конкретного события. При проведении большого количества испытаний с длинной серией экспериментов получают, что относительные частоты появления одного и того же события близки к некоторому числу. Это число будут считать вероятностью наступления данного случайного события.

В этом случае, говорят, что вероятность события была найдена с помощью статистического подхода .

Упражнение 1

1. $0,16$.                2. $68$.                  3. $0,94$