Конспект урока: Корень n-ой степени

Корень $n$-й степени

Решим уравнения $x^2=9$ и $x^2=11$. Первое уравнение ни у кого из вас не должно вызвать сложности:

$x^2=9$, $x_1=3$, $x_2=-3$.

Второе уравнение выглядит немного сложнее, так как нет такого целого числа, которое при возведении в квадрат дало бы 11. Для записи решения таких уравнений в математике есть специальный символ: $\sqrt{ }$. Тогда можем легко записать решение для второго уравнения:

$x^2=11$, $x_1=\sqrt{11}$, $x_2=-\sqrt{11}$.

Напомним, что числа, которые записываются с помощью корня квадратного ($\sqrt{ }$) называются иррациональными, а квадратным корнем из числа $a$ называется такое число, квадрат которого равен $a$:

$\sqrt{a}=b$, если $b^2=a$.

Аналогично определяется корень любой натуральной степени $n$.

Нахождение значения корня  $n$-й степени

Рассмотрим степенную функцию $y=x^n$ с нечётным показателем $n$ (рис.1). Для любого числа $a$ существует единственное значение $x$, $n$-я степень которого равна $a.$ Это значение является корнем $n$-й степени из числа $a$. Для записи корня нечётной степени $n$ из числа $a$ используют обозначение $\sqrt[n]{a}$(читают: «корень $n$-й степени из $a$»).

Рис. 1. Функция y=xⁿ, n-нечётное

Вычислить $\sqrt[3]{125}$ и $\sqrt[7]{-128}$.

Решение

Из определения корня следует, что $\sqrt[3]{125}=5$, так как $5^3=125$.

Аналогично, из определения корня следует, что $\sqrt[7]{-128}=-2$, так как ${(-2)}^7=-128.$

Ответ: $5$;  $-2$.

1. $\sqrt[3]{216}$  2. $\sqrt[5]{-0,00243}$  3. $\sqrt[7]{\frac{2187}{128}}$

Рис. 2. Функция y=xⁿ, n-чётное

Рассмотрим теперь степенную функцию $y=x^n$ с чётным показателем $n$ (рис.2). При любом $a>0$ существуют два противоположных значения $x$, $n$-я степень которых равна $a$. При $a=0$ такое число одно (число 0), при $a<0$таких чисел нет. Другими словами, если $n$ чётное число и $a>0$, то существует два корня $n$-й степени из $a$. Эти корни являются противоположными числами. Если $a=0$, то корень $n$-й степени из $a$ равен нулю. 

 

Если $a<0$и $n$ - чётное число, то корня $n$-й степени из $a$ не существует.

В случае чётного $n$ знаком $\sqrt[n]{a}$ обозначают неотрицательный корень $n$-й степени из $a$. Отрицательный корень  $n$-й степени из $a$ (при $a>0$) записывается так: $-\sqrt[n]{a}.$ 

Выражение $\sqrt[n]{a}$ при чётном $n$ и $a<0$не имеет смысла.

Если $n=2$, то показатель не пишется ($\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}$).

Вычислить $\sqrt[4]{16}$.

Решение

Запись $\sqrt[4]{16}$ означает неотрицательный корень четвёртой степени из 16.

Имеем $\sqrt[4]{16}=2$, так как $2$ - неотрицательное число и $2^4=16$.

Ответ: $2$.

Вычислить:

1. $\sqrt{256}$ 2. $-\sqrt[4]{0,0625}$ 3. $\sqrt[6]{\frac{4096}{15625}}$

Арифметический корень $n$-й степени

Итак, если $n$- нечётное число, то выражение $\sqrt[n]{a}$ имеет смысл при любом $a$; если $n$- чётное число, то выражение $\sqrt[n]{a}$ имеет смысл лишь при любом $a\ge 0$.

Выражение $\sqrt[n]{a}$ при $a\ge 0$ имеет смысл как при чётном, так и при нечётном $n$, и значение этого выражения является неотрицательным числом. Его называют арифметическим корнем  $n$-й степени из $a$.

Арифметическим корнем  $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Корень нечётной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень. 

Например, $\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}$, так как $\sqrt[3]{-27}=-3$ и $-\sqrt[3]{27}=-3$.

При нахождении корня $n$-й степени из положительного числа $a$ используют представление выражения $\sqrt[n]{a}$, где $a>0$, в виде степени числа $a$ с дробным показателем. 

1. Найдите значение выражения:

а)  ${\left(-4\sqrt[3]{-5}\right)}^3$ б) ${\left(2\sqrt[5]{-7}\right)}^5$ в) ${\left(7\sqrt[4]{2}\right)}^4$

2. Представьте корень $n$-й степени в виде числа в дробной степени:

а) $\sqrt{13}$ б) $\sqrt[3]{47}$ в) $\sqrt[8]{61}$