Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Решение уравнений и неравенств

  • Функции

  • Последовательности

  • Алгебраические выражения

  • Системы уравнений и неравенств

  • Корни

  • Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Конспект урока: Корень n-ой степени

Корни

02.12.2024
2146
0

Корень n-й степени

План урока

  • Корень n-й степени;
  • Нахождение значения корня n-й степени;
  • Арифметический корень n-й степени.

Цели урока

  • Знать определение корня n-й степени;
  • Знать определение арифметического корня n-й степени;
  • Уметь находить корень n-й степени из числа.

Разминка

  • Как прочитать эту запись: x=15?
  • Чему равны корни уравнения x2=4?
  • Имеет ли решение уравнение x3=40?

Корень n-й степени

 

Решим уравнения x2=9 и x2=11. Первое уравнение ни у кого из вас не должно вызвать сложности:

 

x2=9x1=3x2=-3.

 

Второе уравнение выглядит немного сложнее, так как нет такого целого числа, которое при возведении в квадрат дало бы 11. Для записи решения таких уравнений в математике есть специальный символ:  . Тогда можем легко записать решение для второго уравнения:

 

x2=11x1=11x2=-11.

 

Напомним, что числа, которые записываются с помощью корня квадратного ( ) называются иррациональными, а квадратным корнем из числа a называется такое число, квадрат которого равен a:

 

a=b, если b2=a.

 

Аналогично определяется корень любой натуральной степени n.


Корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a.


Нахождение значения корня  n-й степени

 

Рассмотрим степенную функцию y=xn с нечётным показателем n (рис.1). Для любого числа a существует единственное значение xn-я степень которого равна a. Это значение является корнем n-й степени из числа a. Для записи корня нечётной степени n из числа a используют обозначение an(читают: «корень n-й степени из a»).

Рис. 1. Функция y=xn, n-нечётное


Число n называют показателем корня, выражение, стоящее под знаком корня, - подкоренным выражением.


Пример 1

Вычислить 1253 и -1287.


Решение

 

Из определения корня следует, что 1253=5, так как 53=125.

Аналогично, из определения корня следует, что -1287=-2, так как (-2)7=-128.

 

Ответ: 5;  -2.


Упражнение 1

  1. 2163  2. -0,002435  3. 21871287


Рис. 2. Функция y=xn, n-чётное

Рассмотрим теперь степенную функцию y=xn с чётным показателем n (рис.2). При любом a>0 существуют два противоположных значения xn-я степень которых равна a. При a=0 такое число одно (число 0), при a<0 таких чисел нет. Другими словами, если n чётное число и a>0, то существует два корня n-й степени из a. Эти корни являются противоположными числами. Если a=0, то корень n-й степени из a равен нулю. 

 

Если a<0 и n - чётное число, то корня n-й степени из a не существует.

В случае чётного n знаком an обозначают неотрицательный корень n-й степени из a. Отрицательный корень  n-й степени из a (при a>0 ) записывается так: -an. 

Выражение an при чётном n и a<0 не имеет смысла.

 

Если n=2, то показатель не пишется (a2=a).


Пример 2

Вычислить 164.


Решение

 

Запись 164 означает неотрицательный корень четвёртой степени из 16.

Имеем 164=2, так как 2 - неотрицательное число и 24=16.

 

Ответ: 2.


Упражнение 2

Вычислить:

 

  1. 256 2. -0,06254 3. 4096156256


Арифметический корень n-й степени

 

Итак, если n- нечётное число, то выражение an имеет смысл при любом a; если n- чётное число, то выражение an имеет смысл лишь при любом a0.


При всех значениях a, при которых выражение имеет смысл, верно равенство ann=a.


Выражение an при a0 имеет смысл как при чётном, так и при нечётном n, и значение этого выражения является неотрицательным числом. Его называют арифметическим корнем  n-й степени из a.


Арифметическим корнем  n-й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.


Корень нечётной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень. 

 

Например, -273=-273, так как -273=-3 и -273=-3.


При любом нечётном n и положительном a верно равенство -an=-an.


При нахождении корня n-й степени из положительного числа a используют представление выражения an, где a>0, в виде степени числа a с дробным показателем. 


Если a>0 и n - натуральное число, большее 1, считают, что

 

an=a1n.


Упражнение 3

1. Найдите значение выражения:

 

а)  -4-533 б) 2-755 в) 7244

 

2. Представьте корень n-й степени в виде числа в дробной степени:

 

а) 13 б) 473 в) 618


Контрольные вопросы:

 

1. Корень какой степени можно извлекать из отрицательных чисел?

2. Чем арифметический корень n-й степени отличается от корня n-й степени?

3. Что будет, если корень n-й степени возвести в степень n?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 6. 2. -0,3. 3. 1,5

 

Упражнение 2

 

1. 16. 2. -0,5. 3. 0,8

 

Упражнение 3

 

1. а) 320; б) -224; в) 4802. 

2. а) 1312; б) 4713; в) 6118.


Предыдущий урок
Решение систем уравнений второй степени
Системы уравнений и неравенств
Следующий урок
Корень n-ой степени
Корни
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Гражданское общество и государство

    Обществознание

  • Общая характеристика элементов IA-группы. Общая характеристика элементов IIA-группы

    Химия

  • Природа Сибири. Природа и ресурсы гор юга Сибири. Арктические моря

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке