Конспект урока: Сочетания

Сочетания из $\mathit{n}$ элементов по $\mathit{k}$

Нам часто приходится решать комбинаторные задачи в жизни. Флористы, составляя букеты, выбирают несколько видов цветов из большого ассортимента, мы, покупая канцелярию, выбираем несколько тетрадей или ручек из огромного ассортимента. А сколько различных букетов может составить флорист из данных цветов? Сколькими способами мы можем составить канцелярский набор?

Эти задачи отличаются от задач на размещения. Дело в том, что, если составить букет, используя белую, розовую и персиковую розу, букет будет получаться всегда одинаковым, независимо от того, в каком порядке брать цветы.

Пусть есть 5 разноцветных шариков: синий (С), красный (К), белый (Б), черный (Ч), жёлтый (Ж). Необходимо выбрать три шарика. Составим тройки.

Если в набор входит синий шарик, то можно составить следующие тройки:

СКБ, СКЧ, СКЖ, СБЧ, СБЖ, СЧЖ.

Если в набор не входит синий шар, но входит красный, то можем получить следующие тройки:

КБЧ, КБЖ, КЧЖ.

Теперь осталось составить наборы без синего и красного шарика, такой набор будет всего один:

БЧЖ.

В этом случае мы составили 10 сочетаний из 5 элементов по 3.

Формула количества сочетаний из $\mathit{n}$ элементов по $\mathit{k}$

Сочетания отличаются между собой только набором элементов, а размещения еще и порядком этих элементов, т. е. для нашей задачи с шариками есть одно сочетание с синим, красным и белым шариками (СКБ). Но если в задаче немного исправить условие и спросить: «сколькими способами можно распределить 5 этих шариков между тремя мальчиками», то для тройки СКБ можно получить 6 разных перестановок:

СКБ, СБК, КСБ, КБС, БСК, БКС.

Таким образом можно сделать вывод, что размещений всегда больше. Так же обратив внимание, что для того, чтобы из одного сочетания получить все размещения, необходимо составить все перестановки этого сочетания. Значит, чтобы получить количество размещений, нужно количество всех сочетаний умножить на количество перестановок.

Тогда число сочетаний связано с числом размещений следующей формулой:

$A_n^k=C_n^k\times P_k$.

Отсюда

$C_n^k=\frac{A_n^k}{P_k}$.

Формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$ $(k\le n)$ и перестановок нам известны:

$P_k=k!$,                       $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$.

При $k=n$, в знаменателе получим $(n-k)!=0!$. По определению факториала $0!=1$.

В научном институте в лаборатории по исследованию жидких металлов работают 7 аспирантов. Двух из них необходимо отправить на конференцию. Сколькими способами можно выбрать этих двух человек?

Решение

В этой задаче нам важен лишь состав группы, поэтому необходимо найти количество сочетаний. Используя формулу, найдем число сочетаний из 7 элементов по 2:

${С}_7^2=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7\times 6}{1\times 2}=21$.

Ответ: $21$.

Вова идет на день рождение. Он хочет подарить Илье три книги и две фигурки Лего. В книжном магазине ему посоветовали восемь книг, а в магазине игрушек было десять фигурок. Сколькими способами Вова мог выбрать подарок для Ильи?

Решение

В этой задаче нам так важен лишь состав подарка, причем можно разделить выбор книг, от выбора фигурок.

Три книги из восьми предложенных можно выбрать ${С}_8^3$ способами.

Две фигурки из десяти можно выбрать ${С}_{10}^2$ способами.

Тогда выбрать подарок можно ${С}_8^3\times {С}_{10}^2$ способами:

${С}_8^3\times {С}_{10}^2=\frac{8!}{3!(8-3)!}\times \frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{8\times 7\times 6}{1\times 2\times 3}\times \frac{10\times 9}{1\times 2}=2 520$.

Ответ: $2 520$.

1. Сколькими способами можно выбрать 4 карандаша из коробки разноцветных карандашей 12 штук?

2. Сколькими способами можно выбрать трех выступающих из команды из 7 человек?

3. В клубе дебатов не хватает 5 человек, и 10 учеников подали заявку, причем из них 3 девочки. Сколькими способами можно набрать людей в команду, если хотя бы одну девочку должны взять?

Упражнение 1

1. $495$.               2. $35$.                 3. $231$.