- Несовместные события. Правило сложения вероятностей;
- Независимые события. Правило умножения вероятностей.
- Уметь определять несовместные и независимые события;
- Знать, какие события называются независимыми, несовместными;
- Уметь применять правила сложения и умножения вероятностей для решения задач.
- Какова вероятность, что телефонный номер заканчивается чётной цифрой?
- Чему равна вероятность вытащить белый шар из коробки, в которой 15 белых и 10 черных шаров?
- Если вероятность попадания по мишени равна 0,87, то чему равна вероятность промаха?
Несовместные события. Правило сложения вероятностей
Часто задачи на нахождение вероятности не решить с помощью классического подхода. Поэтому в теории вероятностей точно так же, как и в других разделах математики, существуют свои правила и законы, которые помогают решить эти задачи.
Рассмотрим пример. В магазине на полке бестселлеров стоят 3 детектива, 4 книги по психологии и 8 романов. С полки выбирают одну книгу. Пусть событие — взяли детектив, событие — взяли книгу по психологии, — взяли роман.
Обратим внимание, что если с полки взяли книгу, то может произойти одно из событий , или , причём они не могут произойти вместе, т.е. наступление каждого из них исключает наступление других. Говорят, что события , и являются несовместными .
Несколько событий называются несовместными , если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, т. е. наступление одного исключает наступление другого.
Теперь рассмотрим событие — с полки не взяли роман. Другими словами, с полки взяли детектив или книгу по психологии. Учитывая, что на полке стоит всего книг , найдем вероятность событий , и :
, ,
Вероятности этих событий связаны следующим соотношением:
.
На самом деле подобным соотношением связаны все несовместные события.
Если событие означает, что наступает одно из двух несовместных событий или , то вероятность события равна сумме вероятностей событий и , т. е.
.
Пример 1
В онлайн-магазине при покупке от 500 рублей покупателю дарят подарок. Вероятность того, что это будет кружка равна 0,3, а вероятность, то что это будет свечка — 0,15. Какова вероятность того, что покупателю не положат в подарок кружку или свечку.
Решение
Пусть событие — положили кружку, событие — положили свечку, — положили свечку или кружку, а событие — не положили свечку или кружку.
События и являются противоположными, так же событие означает, что наступает одно из двух несовместных событий или .
Тогда имеем следующие соотношения:
и .
Нам необходимо найти вероятность события . Получим
.
Ответ: .
Упражнение 1
1. В забеге на 1 500 метров участвуют два девятиклассника Ваня и Толя. Эксперты полагают, что вероятность победы Вани составляет 0,26, а шансы Толи оцениваются в 0,04. Если эти оценки справедливы, то каковы шансы того, что чемпионом станет девятиклассник?
2. При стрельбе по мишени стрелок выбьет 10 баллов (максимальный результат) с вероятностью 0,17; 9 баллов с вероятностью 0,14; 8 баллов с вероятностью 0,23. Какова вероятность, что стрелок НЕ наберет даже 8 баллов одним выстрелом?
Независимые события. Правило умножения вероятностей
В теории вероятностей очень часто события происходят совместно. Определим правило нахождения вероятности совместного наступления независимых событий.
События называются независимыми , если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления других событий.
Рассмотрим ещё один пример. Игральный кубик бросают дважды. Игрок выигрывает, если в первый раз выпадает нечетное число, а во второй раз — число меньше 3. Какова вероятность выигрыша?
Пусть событие — в первый раз выпало нечетное число, событие — во второй раз выпало число меньше 3, событие — выигрыш игрока. Обратим внимание, что события и являются независимыми.
Найдем вероятность каждого события по отдельности. Число благоприятных исходов для равно трём (число 1, 3, 5), для — двум (числа 1 и 2). Общее число исходов для каждого из этих двух событий равно шести, тогда
и .
Для события , необходимо воспользоваться комбинаторным правилом умножения. Количество благоприятных исходов для события равно произведению (для первого броска соответствуют три возможных выпадения: 1, 3 и 5, а для второго – два: 1 и 2), а количество всех исходов для события равно произведению (каждому из 6 выпавших чисел в первый раз соответствуют 6 возможных выпавших чисел во второй раз). Тогда
,
т. е.
.
На самом деле подобным соотношением связаны все независимые события.
Если событие означает совместное наступление двух независимых событий и , то вероятность события равна произведению вероятностей событий и , т. е.
.
Пример 2
В классе есть два друга: Артем и Егор. Вероятность, что Артем напишет контрольную на «отлично» равна 0,8, а Егор — 0,6. Найдите вероятность того, что оба мальчика не напишут контрольную работу на отлично.
Решение
Пусть событие — Артем написал на отлично, а — противоположное к , событие — Егор написал на отлично, а — противоположное к .
Найдем вероятности событий и :
,
.
Пусть событие — Артем и Егор не написали контрольную работу на отлично. Событие означает совместное наступление двух независимых событий и . Тогда
.
Ответ: .
Упражнение 2
1. Ученик решает две задачи. Вероятность сделать в первой задаче ошибку составляет 0,05, во второй задаче — 0,2. Ученик получит дополнительную задачу, если обе задачи будут сделаны с ошибкой. Какова вероятность получить дополнительную задачу?
2. По мишени стреляют из двух орудий. Вероятность попадания из первого орудия составляет 0,4, а из второго — 0,6. С какой вероятностью по мишени попадет ровно одно орудие?
Контрольные вопросы
1. Какие события называются несовместными? Приведите примеры.
2. Какие события называются независимыми? Приведите примеры.
3. В каком случае нужно сложить вероятности, а в каком умножить?
Упражнение 1
1. . 2. .
Упражнение 2
1. . 2. .