Конспект урока: Сложение и умножение вероятностей

Несовместные события. Правило сложения вероятностей

Часто задачи на нахождение вероятности не решить с помощью классического подхода. Поэтому в теории вероятностей точно так же, как и в других разделах математики, существуют свои правила и законы, которые помогают решить эти задачи.

Рассмотрим пример. В магазине на полке бестселлеров стоят 3 детектива, 4 книги по психологии и 8 романов. С полки выбирают одну книгу. Пусть событие $A$ — взяли детектив, событие $B$ — взяли книгу по психологии, $C$ — взяли роман.

Обратим внимание, что если с полки взяли книгу, то может произойти одно из событий $A$, $B$ или $C$, причём они не могут произойти вместе, т.е. наступление каждого из них исключает наступление других. Говорят, что события $A$,$B$ и $C$ являются несовместными.

Теперь рассмотрим событие $D$ — с полки не взяли роман. Другими словами, с полки взяли детектив или книгу по психологии. Учитывая, что на полке стоит всего $15$ книг $(3+4+8)$, найдем вероятность событий $A$, $B$ и $D$:

$P\left(A\right)=\frac{3}{15}$,                  $P\left(B\right)=\frac{4}{15}$,                   $P\left(D\right)=\frac{7}{15}$

Вероятности этих событий связаны следующим соотношением:

$P\left(A\right)+P\left(B\right)=P\left(D\right)$.

На самом деле подобным соотношением связаны все несовместные события.

В онлайн-магазине при покупке от 500 рублей покупателю дарят подарок. Вероятность того, что это будет кружка равна 0,3, а вероятность, то что это будет свечка — 0,15. Какова вероятность того, что покупателю не положат в подарок кружку или свечку.

Решение

Пусть событие $A$ — положили кружку, событие $B$ — положили свечку, $C$ — положили свечку или кружку, а событие $D$ — не положили свечку или кружку.

События $C$ и $D$ являются противоположными, так же событие $C$ означает, что наступает одно из двух несовместных событий $A$ или $B$.

Тогда имеем следующие соотношения:

$P\left(C\right)+P\left(D\right)=1$ и $P\left(C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Нам необходимо найти вероятность события $D$. Получим

$P\left(D\right)=1-P\left(C\right)=1-\left(P\right(A)+P(B\left)\right)=1-(0,3+0,15)=0,55$.

Ответ: $0,55$.

1. В забеге на 1 500 метров участвуют два девятиклассника Ваня и Толя. Эксперты полагают, что вероятность победы Вани составляет 0,26, а шансы Толи оцениваются в 0,04. Если эти оценки справедливы, то каковы шансы того, что чемпионом станет девятиклассник?

2. При стрельбе по мишени стрелок выбьет 10 баллов (максимальный результат) с вероятностью 0,17; 9 баллов с вероятностью 0,14; 8 баллов с вероятностью 0,23. Какова вероятность, что стрелок НЕ наберет даже 8 баллов одним выстрелом?

Независимые события. Правило умножения вероятностей

В теории вероятностей очень часто события происходят совместно. Определим правило нахождения вероятности совместного наступления независимых событий.

Рассмотрим ещё один пример. Игральный кубик бросают дважды. Игрок выигрывает, если в первый раз выпадает нечетное число, а во второй раз — число меньше 3. Какова вероятность выигрыша?

Пусть событие $A$ — в первый раз выпало нечетное число, событие $B$ — во второй раз выпало число меньше 3, событие $C$ — выигрыш игрока. Обратим внимание, что события $A$ и $B$ являются независимыми.

Найдем вероятность каждого события по отдельности. Число благоприятных исходов для $A$ равно трём (число 1, 3, 5), для $B$ — двум (числа 1 и 2). Общее число исходов для каждого из этих двух событий равно шести, тогда

$P\left(A\right)=\frac{3}{6}$ и $P\left(B\right)=\frac{2}{6}$.

Для события $C$, необходимо воспользоваться комбинаторным правилом умножения. Количество благоприятных исходов для события $C$ равно произведению $3\times 2$ (для первого броска соответствуют три возможных выпадения: 1, 3 и 5, а для второго – два: 1 и 2), а количество всех исходов для события $C$ равно произведению $6\times 6$ (каждому из 6 выпавших чисел в первый раз соответствуют 6 возможных выпавших чисел во второй раз). Тогда

$P\left(C\right)=\frac{3\times 2}{6\times 6}=\frac{3}{6}\times \frac{2}{6}$,

т. е.

$P\left(C\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)$.

На самом деле подобным соотношением связаны все независимые события.

В классе есть два друга: Артем и Егор. Вероятность, что Артем напишет контрольную на «отлично» равна 0,8, а Егор — 0,6. Найдите вероятность того, что оба мальчика не напишут контрольную работу на отлично.

Решение

Пусть   событие   $A$   —   Артем   написал    на   отлично,   а   $\overline{A}$   —   противоположное к $A$, событие $B$ — Егор написал на отлично, а $\overline{B}$ — противоположное к $B$.

Найдем вероятности событий $\overline{A}$ и $\overline{B}$:

$P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,8=0,2$,

$P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,6=0,4$.

Пусть событие $C$ — Артем и Егор не написали контрольную работу на отлично. Событие $C$ означает совместное наступление двух независимых событий $\overline{A}$ и $\overline{B}$. Тогда

$P\left(C\right)=P\left(\overline{A}\right)\times P\left(\overline{B}\right)=0,2\times 0,4=0,08$.

Ответ: $0,08$.

1. Ученик решает две задачи. Вероятность сделать в первой задаче ошибку составляет 0,05, во второй задаче — 0,2. Ученик получит дополнительную задачу, если обе задачи будут сделаны с ошибкой. Какова вероятность получить дополнительную задачу?

2. По мишени стреляют из двух орудий. Вероятность попадания из первого орудия составляет 0,4, а из второго — 0,6. С какой вероятностью по мишени попадет ровно одно орудие?

Упражнение 1

1. $0,3$.                2. $0,46$. 

Упражнение 2

1. $0,01$.                2. $0,52$.