Основное свойство дроби. Сокращение дробей

План урока

Основное свойство дроби
Приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей

Цели урока

Знать основное свойство дроби
Знать определение тождества
Уметь приводить дробь к новому знаменателю
Уметь сокращать дробь

Разминка

Приведите дроби $\frac{1}{16}; \frac{1}{12}; \frac{3}{4}; \frac{5}{9}; \frac{2}{3}; \frac{11}{18}$ к знаменателю 36.
Сократите дробь: $\frac{7}{21}; \frac{17}{51}; \frac{10}{15}; \frac{72}{64}$ .

Основное свойство дроби

Как известно, для обыкновенных дробей справедливо свойство: если числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Т.е. при любых натуральных значениях a, b и c верно равенство $\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}$ .

Докажем, что это равенство верно при любых значениях a, b и c, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при $b \neq 0, c \neq 0$ .

Пусть $\frac{a}{b} = m$ . Тогда по определению частного $a = b m$ . Умножим обе части этого равенства на $c \neq 0$ :

$a c = (b m) c .$

Воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами умножения:

$a c = (b c) m .$

Поскольку $b c \neq 0$ , то по определению частного получаем

$\frac{a c}{b c} = m$ .

Значит, для любых числовых значений переменных a, b и c, где $b \neq 0, c \neq 0$ , верно равенство.

$\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}$ (1)

Равенство (1) сохраняет силу также, когда под буквами a, b и c понимают многочлены, где b и с — ненулевые многочлены, т.е. не равные тождественно нулю.

Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби:

если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Равенство (1) верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами.

Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю, т. е. заменить дробь тождественно ей равной, а также выполнить сокращение рациональной дроби.

Пример 1

Приведите дробь $\frac{7}{8 a^{3} b}$ к знаменателю $24 a^{4} b^{2} .$

Решение

Мы должны заменить данную дробь тождественно равной ей дробью со знаменателем $24 a^{4} b^{2} .$

Т.к. $24 a^{4} b^{2} = 8 a^{3} b \cdot 3 a b,$ умножим числитель и знаменатель данной дроби на множитель $3 a b :$

$\frac{7}{8 a^{3} b} \cdot \frac{3 a b}{3 a b} = \frac{21 a b}{24 a^{4} b^{2}}$

Множитель $3 a b$ является дополнительным множителем к знаменателю и числителю дроби $\frac{7}{8 a^{3} b}$ .

Ответ: $\frac{21 a b}{24 a^{4} b^{2}} .$

Пример 2

Приведите дробь $\frac{4}{2 x - 3 y}$ к знаменателю $3 y - 2 x$ .

Решение

Выражения $2 x - 3 y$ и $3 y - 2 x$ противоположны друг другу, т.е. $2 x - 3 y = - (3 y - 2 x) .$ Т.е. дополнительным множителем является число $- 1$ .

$\frac{4 \cdot (- 1)}{(2 x - 3 y) \cdot (- 1)} = \frac{- 4}{3 y - 2 x}$

Дробь $\frac{- 4}{3 y - 2 x}$ можно заменить тождественно равной дробью $- \frac{4}{3 y - 2 x}$ , если изменить знак числителя и знак перед самой дробью: $\frac{- 4}{3 y - 2 x} = - \frac{4}{3 y - 2 x} .$

Ответ: $- \frac{4}{3 y - 2 x} .$

Если изменить знак числителя (или знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим дробь, тождественно равную данной:

$\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b} и \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$

Упражнение 1

Приведите дробь:

а) $\frac{b}{a^{2}}$ к знаменателю $a^{4}$

б) $\frac{x}{2 y}$ к знаменателю $4 y^{3}$

в) $\frac{3 c}{7 y^{5}}$ к знаменателю $14 x y^{6}$

г) $\frac{a}{b - 5 a}$ к знаменателю $5 a - b$

Пример 3

Сократите дробь:

а) $\frac{16 a^{2}}{4 a^{3}}$ ; б) $\frac{a^{2} - b^{2}}{b - a}$ ; в) $\frac{3 x^{2} - 3 x y}{x^{2} - y^{2}} .$

Решение

Разложим на множители числитель и знаменатель каждой дроби и затем сократим дробь на общий множитель числителя и знаменателя дроби (если такой множитель окажется).

а) $\frac{16 a^{2}}{4 a^{3}} = \frac{4 a^{2} \times 4}{4 a^{2} \times a} = \frac{4}{a}$ (общий множитель — одночлен $4 a^{2}$ )

б) $\frac{a^{2} - b^{2}}{b - a} = \frac{(a - b) (a + b)}{- (a - b)} = - (a + b) = - a - b$ (общий множитель — двучлен $a - b$ )

в) $\frac{3 x^{2} - 3 x y}{x^{2} - y^{2}} = \frac{3 x (x - y)}{(x + y) (x - y)} = \frac{3 x}{x + y}$ (общий множитель — двучлен $x - y$ )

Ответ: а) $\frac{4}{a};$ б) $- a - b;$ в) $\frac{3 x}{x + y} .$

Упражнение 2

Сократите дробь:

а) $\frac{3 a^{2} b}{4 a b^{2}};$

б) $\frac{3 x y^{2} - x y}{6 y - 2};$

в) $\frac{7 t (b - a)}{14 t {(b - a)}^{2}};$

г) $\frac{4 x y^{2} - x y}{1 - 16 y^{2}};$

д) $\frac{x^{2} - 4 y^{2}}{4 y^{2} - 4 x y + x^{2}} .$

Пример 4

Построим график функции $y = \frac{x^{2} - 9}{9 - 3 x}$

Решение

Рис. 1. Пример 4

Рассмотрим знаменатель дроби:

$9 - 3 x = - 3 (x - 3),$ т. е. $x \neq 3 .$

Упростим правую часть формулы:

$\frac{x^{2} - 9}{9 - 3 x} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{- 3 (x - 3)} = - \frac{x + 3}{3} = - \frac{x}{3} - 1$

Получаем формулу $y = - \frac{x}{3} - 1$ , где $x \neq 3$

Графиком данной функции является прямая с исключенной («выколотой») точкой (3; –2). Для построения прямой найдем координаты двух точек, принадлежащих прямой.

x	0	-3
y	-1	0

Проведем прямую через эти две точки и «выколем» точку, не принадлежащую прямой.

Упражнение 3

Постройте график функции $y = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основное свойство рациональной дроби.

2. Что такое тождество?

3. Что необходимо сделать, чтобы поменять знак числителя или знаменателя?

4. Каков алгоритм сокращения рациональной дроби?

Ответы

Упражнение 1

а) $\frac{a^{2} b}{a^{4}}$ б) $\frac{2 x y^{2}}{4 y^{3}}$ в) $\frac{6 c x y}{14 x y^{6}}$ г) $- \frac{a}{5 a - b}$

Упражнение 2

а) $\frac{3 a}{4 b}$ б) $\frac{x y}{2}$ в) $\frac{1}{2 (b - a)}$ г) $\frac{- x y}{1 + 4 y}$ д) $\frac{x + 2 y}{x - 2 y}$

Упражнение 3

Рис. 2. Упражнение 3. Ответ