Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Рациональные выражения

Алгебраические выражения

02.03.2024
1706
0

Рациональные выражения

 

План урока

  • Понятие рационального выражения
  • Допустимые значения переменных
  • Понятие рациональной дроби

Цели урока

  • Знать определения целого выражения, дробного выражения, рационального выражения
  • Уметь различать целые и дробные выражения
  • Уметь находить допустимые значения переменных выражения
  • Знать определение рациональной дроби
  • Уметь находить значения рациональной дроби
  • Уметь находить значения переменных, при которых рациональная дробь равна нулю

Разминка

  • Какие из выражений являются одночленами, а какие — многочленами?

     0,5a2b, 7a2+b, x2+xy+y3,-75xy3z7, x2+7x-9, 79a3b6 
     
  • Представьте в виде многочлена: 
    а) -0,5(4-2a); б) (b+3)(b-1); в) (a-2)2; г) (a+1)2; д) (3+b)(b-1)

Понятие рационального выражения

 

В курсе алгебры 7 класса мы занимались различными преобразованиями одночленов и многочленов. Обобщим наши знания об алгебраических выражениях.


Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на число, отличное от нуля, называются целыми выражениями .


Таким образом, можно сделать вывод, что одночлены и многочлены являются целыми выражениями.


Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на выражение с переменными, называются  дробными выражениями .

 

Целые и дробные выражения называют  рациональными выражениями .


Пример 1

Какие из выражений являются целыми, а какие — дробными?
 

 -12a3+23; (x-y)(x+y); 3x:(5y); (2x)2:10; a+58; 4a2 -a2a+1. 


 

Решение

 

Руководствуясь определениями целых и дробных выражений, ответим на поставленный вопрос.

Выражения -12a3+23; (x-y)(x+y); (2x)2:10; a+58 отвечают определению целых выражений, т.к. содержат действия сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на число, отличное от нуля.

Выражения 3x:(5y); 4a2 -a2a+1 отвечают определению дробных выражений, т.к. содержат действия сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления на выражение с переменными.

 

Ответ: -12a3+23; (x-y)(x+y); (2x)2:10; a+58 — целые выражения; 
3x:(5y); 4a2 -a2a+1 — дробные выражения.

 


Упражнение 1

Какие из выражений являются целыми, а какие — дробными?

 b5-b(3b+c)7; 3a2-14a; (x+2)(x2+3); x2x2-4; (x+2)2:(x-3)2.    


Допустимые значения переменных

 

Если в целое выражение вместо входящих в него переменных подставить конкретные числа, то мы получим некоторое числовое значение этого выражения. Это всегда возможно, так как все действия в целом выражении всегда выполнимы. Т.е. целые выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных.

 

Дробные же выражения при некоторых значениях переменных могут потерять смысл, так как действие деления не всегда выполнимо.


Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных , а множество всех таких чисел —  областью допустимых значений переменных .


Пример 2

Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) x2-6x+9; б) 2x+1x2+2x ; в) b-44+b2; г) x2x-2+x2-1x.


Решение

 

а) x2-6x+9 является целым выражением, поэтому допустимы любые значения переменной.

б) Выясним, при каких значениях переменной  знаменатель дроби обращается в нуль. Для этого решим уравнение x2+2x=0 x(x+2)=0 x=-2;x=0 

Допустимы все значения переменной, кроме -2 и 0.

 

в) Знаменатель дроби 4+b24; поскольку квадрат числа неотрицателен, т.е. b20.Таким образом, допустимы любые значения переменной.

 

г)  x2x-2+x2-1x. В данном выражении две дроби, поэтому рассматриваем знаменатель каждой дроби в отдельности. Получаем значения, при которых знаменатели равны нулю, x=0  и x=2.

 

Допустимы все значения переменной, кроме 0 и 2.

 

Ответ: а) любое число; б) все числа, кроме –2 и 0; в) любое число; г) все числа, кроме 0 и 2.

 


Упражнение 2

1. Укажите допустимые значения переменной в выражении: 
а)  x2-7x+8; б)  3a-12a2-2; в)  2xx-6; г)  b2b+3+5b-1b-1.

 

2. Найдите значение дробного выражения:

а)  4x-32x+1 при x=1; б)  2a-3b2a+4b при a=2,b=3; в)  2x2-3x+1x2-4  при x=0; 

г)  (2x+3)(2x-3)4-9x при x=-1.


Понятие рациональной дроби

 

Выражение вида ab, как известно, называется дробью. Обозначение дроби ab впервые появилось в «Книге абака» (1202) итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180–1240), а широкое распространение в Европе данная запись получила после издания работ французского математика Франсуа Виета (1540–1603). 

 


Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют  рациональной дробью .

 


Наиболее полно действия с рациональными дробями впервые были изложены во «Всеобщей арифметике» (1707) выдающегося ученого Исаака Ньютона (1643–1727). 

 

В рациональной дроби допустимые значения переменных те, при которых знаменатель не обращается в нуль, т.к. на ноль делить нельзя. 


Рациональная дробь равна нулю, когда она имеет смысл, а ее числитель равен нулю, т.е. ab=0, если а=0 и b0.


Пример 3

Найдите значения переменной, при которых дробь x2-4xx2-16  равна нулю 


Решение

 

Сначала выясним, при каких значениях переменной  числитель равен нулю: x2-4x=0, x(x-4)=0, x=0;x=4.

Далее определим, при каких значениях переменной  знаменатель не равен нулю: x2-16=(x+4)(x-4), x-4;x4.

Таким образом, дробь равна нулю при х=0, т. к. х=4 не входит в область допустимых значений.

 

Ответ: 0.


Упражнение 3

Найдите значения переменной, при которых дробь равна нулю:
а)  x2+xx2-1; б) x2-1x2-x; в) x2-4x2+4x+4.


Контрольные вопросы

1. Чем отличаются целые и дробные выражения?

2. Что такое допустимые значения переменной?

3. Дробь и дробное выражение это одно и то же?

4. Когда рациональная дробь равна нулю?


Ответы

Упражнение 1

 

b5-b(3b+c)7; 3a2-14a; (x+2)(x2+3) — целые выражения; x2x2-4; (x+2)2:(x-3)2 — дробные.

 

Упражнение 2

 

1. а) любое число; б) все числа, кроме -1 и 1; в) все числа, кроме 6; г) все числа, кроме –3 и 1 

2. а)  13; б) -516; в)  -14; г)  -513

 

Упражнение 3

 

а) 0; б) –1; в) 2


 

 

Предыдущий урок
Деление дробей
Алгебраические выражения
Следующий урок
Умножение дробей. Возведение дроби в степень
Алгебраические выражения
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Приложение

    Русский язык

  • Кислоты, их классификация и химические свойства

    Химия

  • Уточняющие члены предложения

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке