Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Преобразование рациональных выражений

Алгебраические выражения

Преобразование рациональных выражений

 

План урока

  • Преобразование рациональных выражений;
  • Формула среднего гармонического ряда положительных чисел.

Цели урока

  • Уметь определять порядок действий в рациональных выражениях;
  • Уметь применять правила сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления рациональных дробей;
  • Знать формулу среднего гармонического ряда положительных чисел.

Разминка

  • Выполните действия с дробями:

а)a+1a-3:a+1a;  б)a+ba-b+bb-a;  в)2xx2-3x2.

 

Преобразование рациональных выражений

 

Рациональное выражение (xy-yx)5xy2x-y представляет собой произведение разности рациональных дробей на дробь. Таким образом, преобразование данного рационального выражения сводится к разности дробей xy,yx и умножению результата на 5xy2x-y. Преобразование рациональных выражений можно свести к сложению, вычитанию, умножению, возведению в степень и делению рациональных дробей. 

 

Правила действий с дробями дают возможность представить любое рациональное выражение в виде рациональной дроби.

 


Пример 1

Преобразуйте рациональное выражение a+b-2a+ba:2a-ba2 в рациональную дробь. 


Решение
 

1)2a+ba:2a-ba2=2a+baa22a-b=a(2a+b)2a-b;
 

2)a+b-a(2a+b)2a-b=a+b1-a(2a+b)2a-b=(a+b)(2a-b)-a(2a+b)2a-b =2a2-ab+2ab-b2-2a2-ab2a-b=-b22a-b=

=b2b-2a.

 

Можно это записать через знак равенства:
 

a+b-2a+ba:2a-ba2=a+b-2a+baa22a-b=a+b1-a(2a+b)2a-b=(a+b)(2a-b)-a(2a+b)2a-b=

=2a2-ab+2ab-b2-2a2-ab2a-b=-b22a-b=b2b-2a.

Ответ: b2b-2a.


Пример 2

Упростите выражение 4x-24x-3+112x-9(2x-1)(8x-5) +3.


Решение
 

Выполним преобразования по действиям: 
 

1)4x-24x-3+1=4x-24x-3+11=4x-2+4x-34x-3=8x-54x-3;
 

2)8x-54x-33(4x-3)(2x-1)(8x-5) =(8x-5)3(4x-3)(4x-3)(2x-1)(8x-5)=32x-1;
 

3)32x-1+3=32x-1+31=3+3(2x-1)2x-1=3+6x-32x-1=6x2x-1.


Ответ: 6x2x-1.


Пример 3

Упростите выражение a-4a-4a2a-1.

Преобразования можно провести разными способами. Можно преобразовать отдельно числитель и знаменатель, а потом разделить первый результат на второй. А можно поступить по-другому — умножить числитель и знаменатель на a, воспользовавшись основным свойством дроби:
 

a-4a-4a2a-1=a2-4a-4aa2aa-a=a2-(4a-4)2-a=a2-4a+42-a=(2-a)22-a=2-a.


Ответ: 2-a.


Упражнение 1

Выполните преобразования рациональных выражений:
 

а)3x+7y6x+8x-3y6y12x2y7y2+8x2; б)x+yx-y-x-yx+yx2-y24xy; в)5t4t+2-t2-4t:9t2-3t1-4t+4t2

г)3aa-1+1:a-3a21-a;  д)ab+b25a2-5ab+ab+b2×5aa+b-ba-b

е)1-3c6c-9c-c.


Формула среднего гармонического ряда положительных чисел


Пример 4

По кольцевому маршруту поселок А — станция B — поселок С — поселок А ходит автобус. Каждый участок пути имеет одинаковую длину. Участок поселок А — станция B автобус прошёл со скоростью v1 км/ч. Участок станция B — поселок С со скоростью v2 км/ч. Участок поселок С — поселок А со скоростью v3 км/ч. Выясните, какой была средняя скорость автобуса на всём пройденном им пути.
 

Решение

 

Обозначим длину каждого участка пути s км.  Тогда на путь AB автобус затратил sv1ч, на путь BС — sv2ч, на путь СА —  sv3ч. Полный путь 3s км.  Можем найти среднюю скорость vср автобуса на всём пути:
 

vср=3ssv1+sv2+sv3.
 

Сократим эту дробь на s и получим:

vср=31v1+1v2+1v3.
 

Ответ: 31v1+1v2+1v3.


Каждый участок пути одинаковой длины, а скорость на каждом участке разная. В результате, средняя скорость в этой задаче равна не среднему арифметическому скоростей. Она вычисляется по формуле, которую называют формулой среднего гармонического трех чисел. 

 

В случае двух участков пути одинаковой длины средняя скорость вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел: 
 

vср=21v1+1v2,
 

где v1,v2  — скорости на этих участках.
 

В случае четырёх участков пути одинаковой длины средняя скорость вычисляется по формуле среднего гармонического четырех чисел: 
 

vср=41v1+1v2+1v3+1v4,
 

где v1,v2,v3,v4  — скорости на этих участках.


Если у нас есть некоторый ряд положительных чисел a1,a2, ... an, то среднее гармоническое этого ряда вычисляется по формуле: 
 

aср=n1a1+1a2+....+1an.


Эту формулу можно записать в другом виде:
 

1aср=1a1+1a2+....+1ann.
 

При такой записи видно, что величина, обратная среднему гармоническому ряда чисел, равна среднему арифметическому чисел, им обратных.


Контрольные вопросы

1. Почему любое рациональное выражение можно представить в виде многочлена или рациональной дроби?

2. С помощью какой формулы можно найти среднюю скорость движения объекта, если путь состоит из нескольких участков одинаковой длины, на каждом из которых скорость объекта разная?


Ответы

Упражнение 1
 

а) 2x; б) 1 в) 4t-26t+3; г) 1a; д) 5ab; е) 13-c.


Предыдущий урок
Рациональные выражения
Алгебраические выражения
Следующий урок
Элементы статистики
Статистика
  • Предложение и его типы. Интонация предложения

    Русский язык

  • Инфляция и семейная экономика

    Обществознание

  • Оксиды, их классификация и химические свойства

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке