Конспект урока: Деление дробей

Правило деления дробей

При делении обыкновенных дробей делимое умножают на дробь, обратную делителю, т. е. деление дробей сводится к умножению:
 

$\frac{3}{8}:\frac{5}{4}=\frac{3}{8}·\frac{4}{5}=\frac{3·4}{8·5}=\frac{3}{10}$.
 

Деление рациональных дробей выполняется так же:
 

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}$.
 

a, b, c, d  — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

Применение правила деления дробей

Рассмотрим несколько примеров применения правила деления дробей.

Выполните деление дробей: $\frac{46x^{2}c}{15a}:\frac{23x{c}^2}{5a^2}.$

Решение
 

Воспользуемся правилом деления дробей:
 

$\frac{46x^{2}c}{15a}:\frac{23x{c}^2}{5a^2}=\frac{46x^{2}c}{15a}\cdot \frac{5a^2}{23x{c}^2}=\frac{46\cdot 5\cdot x^2\cdot c\cdot a^2}{15\cdot 23\cdot a\cdot x\cdot c^2}=\frac{2ax}{3c}.$

Ответ: $\frac{2ax}{3c}.$

Выполните деление дробей: $\frac{a+b}{9a^2{b}^3}:\frac{a^2-b^2}{27a{b}^2}$.

Решение
 

$\frac{a+b}{9a^2{b}^3}:\frac{a^2-b^2}{27a{b}^2}=\frac{a+b}{9a^2{b}^3}\cdot \frac{27a{b}^2}{a^2-b^2}=\frac{a+b}{9a^2{b}^3}\cdot \frac{27a{b}^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{(a+b)\cdot 27a{b}^2}{9a^2{b}^3\cdot (a-b)(a+b)}=$

$=\frac{3}{ab(a-b)}=\frac{3}{a^{2}b-a{b}^2}.$

Ответ: $\frac{3}{a^{2}b-a{b}^2}$

Разделим дробь $\frac{c^2+6c+9}{c-5}$на многочлен $c^2+3c$.

Решение

 Для деления дроби на многочлен нужно, как и при умножении, записать многочлен в виде дроби со знаменателем 1. Затем применяется правило деления дробей:
 

$\frac{c^2+6c+9}{c-5}:(c^2+3c)=\frac{c^2+6c+9}{c-5}:\frac{c^2+3c}{1}=\frac{c^2+6c+9}{c-5}\cdot \frac{1}{c^2+3c}=\frac{(c+3{)}^2}{c-5}\cdot \frac{1}{c(c+3)}=$$=\frac{(c+3{)}^2}{(c-5)\cdot c(c+3)}=\frac{c+3}{c(c-5)}=\frac{c+3}{c^2-5c}.$

Ответ: $\frac{c+3}{c^2-5c}$.

Выполните действия с дробями:

 

а)$\frac{16t^{2}z}{7x}:\frac{10t{z}^3}{21x^2};$ б)$\frac{xy+y^2}{9x^2}:\frac{y^2}{3x};$ в)$\frac{x^2-y^2}{9y^2}:\frac{(x-y{)}^2}{27y^3};$ г)$\frac{5a}{a^2-b^2}:\frac{25a^3}{(a-b{)}^2};$ 
д)$(m^2-n^2):\frac{3m+3n}{7mn};$ е)$\frac{81a^2-49b^2}{ab}:(9a-7b).$

1. Какое выражение будет обратное $\frac{y}{x}$?

2. Сформулируйте правило деления двух рациональных дробей?

3. Как необходимо преобразовать многочлен при делении на дробь?