Измерение углов | Геометрия 7 класс

Градусная мера угла. Измерение углов на местности

План урока

Градусная мера угла;
Виды углов;
Измерение углов на местности.

Цели урока

Знать, что такое градус, градусная мера угла, единицы измерения углов;
Знать свойства градусных мер углов;
Знать виды углов;
Знать приборы для измерения углов;
Уметь решать задачи на вычисление градусных мер углов, определять вид угла.

Разминка

Ещё в древние времена люди сталкивались с необходимостью измерять углы. Одна из теорий гласит, что в древнем Вавилоне получили градус, разделив окружность на 360 частей. А почему вавилоняне делили именно на 360? В Вавилоне была принята шестидесятеричная система счисления. Число 60 считалось священным. Календарь вавилонян включал 360 дней.

Разделив градус на 60 частей, получили минуты.

Разделив минуту на 60 частей, получили секунду.

Градусная мера угла

Измерить угол — это значит сравнить его с углом, принятым за единицу измерения. Основной единицей измерения является градус – угол, равный $\frac{1}{180}$ части развернутого угла.

Положительное число, которое указывает, сколько раз угол, равный одному градусу, укладывается в данном угле, называется градусной мерой угла .

Применяют и другие единицы измерения углов - это минута ( $\frac{1}{60}$ часть градуса) и секунда ( $\frac{1}{60}$ часть минуты). Минуты обозначают с помощью штриха, секунды обозначают с помощью двух штрихов: $1 ° = 60$ ', $1$ ' $= 60$ ".

Равные углы имеют равные градусные меры.

Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Рис. 1. ∠AOB = ∠AOK+∠KOB

Если луч делит угол на два угла, то градусная мера данного угла равна сумме градусных мер этих углов.

Виды углов

Градус составляет $\frac{1}{180}$ часть развернутого угла, поэтому градус укладывается в развернутом угле 180 раз.

Развёрнутый угол равен $180 °$ .

Рис. 2. Прямой угол

Прямой угол – угол, равный $90 °$ .

На чертеже прямой угол указывается с помощью «квадратика», который получается при вершине угла.

Рис. 3. Острый угол

Если угол меньше прямого, то он называется острым . Градусная мера острого угла меньше $90 °$ .

Рис. 4. Тупой угол

Если угол больше прямого, то он называется тупым . Градусная мера тупого угла больше $90 °,$ но меньше $180 °$ .

Упражнение 1

1. Прямой угол $K O T$ разделён лучом $O C$ на два угла, один из которых в 4 раза меньше другого. Найдите градусные меры этих углов.

2. Угол $C O M$ , равный $130 °$ , разделён лучом $O B$ на два угла, разность которых равна $24 °$ .

а) Найдите эти углы;

б) Найдите величину угла, образованного лучом $O B$ и биссектрисой угла $C O M$ .

Рис. 5. Упражнение 1

3. а) Сколько развёрнутых, прямых, острых и тупых углов изображено на рисунке 5? Назовите их.

б) Запишите в порядке возрастания градусных мер все углы, одной из сторон которых является луч $O C$ .

4. Дан угол, градусная мера которого $65 ° 20$ ' $48$ ".

а) Найдите градусную меру половины этого угла;

б) Найдите треть данного угла.

Измерение углов на местности

Рис. 6. Транспортир

Для измерения и построения углов применяют транспортир (рис. 6). Транспортир состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы), разделённого на градусы от $0 °$ до $180 °$ . Точность транспортира прямо пропорциональна его размеру (чем больше транспортир, тем меньше цена деления и, соответственно точность выше).

На местности применяются другие приборы для измерения углов.

Астролябия - прибор для измерения углов на местности.

Рис. 7. Астролябия

Астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидада).

Чтобы измерить угол, астролябию устанавливают в его вершине, при этом лимб её должен быть в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный в центре диска, должен находиться точно над вершиной угла. Затем необходимо установить алидаду вдоль одной из сторон угла, заметить деление, напротив которого находится указатель алидады. Далее необходимо повернуть алидаду по ходу часовой стрелки так. Чтобы она совпала со второй стороной угла, отметить деление, напротив которого оказался указатель алидады. Вычислив разность второго и первого измерений, мы найдём градусную меру измеряемого угла.

Первые астролябии появились в Древней Греции и применялись в астрономии.

В настоящее время существуют более сложные приборы для измерения углов, которые применяются в геодезии, в астрономии.

Контрольные вопросы

1. Что такое градусная мера угла?

2. Назовите единицы измерения углов.

3. Перечислите виды углов, укажите градусную меру.

Ответы

Упражнение 1

$18 °$ и $72 °$ .
а) $53 °$ , $77 °$ ; б) $12 °$ .
а) 1 развёрнутый угол: $∠ R O C$ ; 1 прямой угол: $∠ N O M$ ; 4 острых угла: $∠ C O N, ∠ C O M, ∠ K O M, ∠ R O K$ ; 4 тупых угла: $∠ R O M, ∠ C O K, ∠ K O N, ∠ N O R$ . б) $∠ C O N, ∠ C O M, ∠ C O K, ∠ C O R .$
а) $32 ° 40$ ' $24$ "; б) $21 ° 46$ ' $56$ ".

Конспект урока: Измерение углов

Общие геометрические сведения

Градусная мера угла

Виды углов

Измерение углов на местности