- Смежные и вертикальные углы;
- Перпендикулярные прямые;
- Построение прямых углов на местности.
- Знать определение смежных углов и свойство смежных углов;
- Знать определение вертикальных углов и их свойство;
- Знать определение перпендикулярных прямых;
- Уметь строить смежные углы, вертикальные углы, перпендикулярные прямые;
- Уметь применять свойства смежных углов, вертикальных углов, определение перпендикулярных прямых при решении задач.
- Назовите виды углов.
- Сколько общих точек имеют пересекающиеся прямые?
Рис. 1. Луч ОС - продолжение луча ОА
Смежные и вертикальные углы
На рис. 1а изображён угол . Продолжим луч за точку .
На рис. 1б видим два угла: и , которые образуют развёрнутый : .
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
Сумма смежных углов равна .
На рисунке 1б углы и - смежные.
Пример 1
Рис. 2. Пример 1
Назовите несколько пар смежных углов, изображённых на рисунке 2.
Решение
- и - смежные, т. к. – общая сторона, – продолжение ( - развёрнутый);
- и - смежные, т. к. – общая сторона, – продолжение ( - развёрнутый); и т. д.
Ответ: и ; и ; и т.д. (всего 6 пар смежных углов).
Рис. 3. ОС – продолжение ОА, ОD – продолжение ОВ
Продолжим у заданного угла (рис. 3а) обе стороны: и луч , и луч за точку . Получим четыре неразвёрнутых угла: и (рис. 3б). Среди них выберем пары смежных углов:
, отсюда .
, отсюда . Тогда .
Если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого, то такие углы называются вертикальными.
Вертикальные углы равны.
На рис. 3б и – вертикальные, и – вертикальные.
Пример 2
Найдите пару острых вертикальных углов и пару тупых вертикальных углов, изображённых на рисунке 2.
Ответ: и – острые вертикальные; и – тупые вертикальные углы.
Рис. 4. Углы при пересечении двух прямых
Перпендикулярные прямые
При пересечении двух прямых образуются четыре неразвёрнутых угла (рис. 4), среди которых можно отметить две пары вертикальных углов: и , и . Нетрудно проверить, что если один из них прямой, то и остальные углы – прямые
Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
Рис. 5. Перпендикулярные прямые
На рис. 5 прямые и перпендикулярны (пишут так: ). Запись читают так: "прямые и перпендикулярны или прямая перпендикулярна прямой ".
Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, будут перпендикулярны.
Рис. 6. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (рис. 6).
Упражнение 1
1. Градусные меры углов и , изображённых на рис. 7, относятся как 1:5. Найдите эти углы.
2. На рис. 8 . – биссектриса . а) Найдите . б) Сравните углы и .
Рис. 7. Рис 8.
Рис. 9. Построение перпендикулярных прямых
Построение прямых углов на местности
Для построения перпендикулярных прямых на бумаге используют чертёжный угольник и линейку.
Экер служит для построения прямых углов на местности.
Основная его часть – это бруски, закреплённые под прямым углом, на концах которых вбиты гвозди. Прямые, проходящие через гвозди, взаимно перпендикулярны.
Рис. 10. Экер
Прибор устанавливают в вершину угла. Направление луча на местности (одной из сторон угла, который надо построить), совмещают с направлением одного из брусков. Вторую сторону провешивают по направлению другого бруска.
Для построения прямых углов на местности существуют и более совершенные приборы, например теодолит.
Контрольные вопросы
1. Какие углы называются смежными?
2. Каким свойством они обладают?
3. Какие углы называются вертикальными?
4. Каким свойством они обладают?
5. Какие прямые называются перпендикулярными?
Упражнение 1
- а) ; б) равны.
