Конспект урока: Скрещивающиеся прямые. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Рис. 1. Пример скрещивающихся прямых

В предыдущем параграфе уже обращалось внимание на то, что в стереометрии если прямые не пересекаются, то это ещё не означает, что они параллельны. Причиной этому является то, что непересекающиеся прямые могут быть расположены таким образом, что через них не проходит ни одна плоскость. Параллельные же прямые (как и пересекающиеся) лежат в одной плоскости. При таком взаимном расположении прямых их называют скрещивающимися.

Рис. 2

Пусть дана прямая $m$, лежащая в плоскости $\alpha$ и прямая $n$, которая пересекает $\alpha$ в точке K, причем $K\notin m$.
Предположим, что прямые $m$ и $n$ лежат в одной плоскости. Обозначим её буквой $\beta$.  Тогда прямая $m$ и точка K лежат как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$. Но через прямую $m$ и не лежащую на ней точку K можно провести только одну плоскость. Значит, плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают.  Следовательно, прямая $n$ лежит в плоскости $\alpha$. Это невозможно, так как $n$ пересекает плоскость $\alpha$. Пришли к противоречию. Предположение, что прямые $m$ и $n$ лежат в одной плоскости, неверно. Значит, $m$ и $n$ – скрещивающиеся прямые.

Теорема доказана.

Перечислим возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1. прямые пересекаются (имеют одну общую точку);
2. прямые параллельны (лежат в одной плоскости и не пересекаются);
3. прямые скрещиваются (не лежат в одной плоскости).

Рис. 3

Пусть прямые $m$ и $n$ – скрещивающиеся.

1. Отметим на прямой $m$ произвольную точку A и через эту точку проведём прямую $k$, параллельную прямой $n.$ Обозначим буквой $\alpha$ плоскость, проходящую через прямые $m$ и $k$. Так как прямая $n$ параллельна прямой $k$, лежащей в плоскости $\alpha$, то прямая $n$ параллельна плоскости $\alpha$.
2. Плоскость $\alpha$ – единственная плоскость, проходящая через прямую $m$ и параллельная прямой $n$. Действительно, любая другая плоскость, проходящая через прямую $m$, пересекается с прямой $k$, а значит и с прямой $n$, так как $n \left|\right| k$.

Теорема доказана.

Рис. 4

На рисунке 4 показана прямая $a$, называемая границей, которая разделяет некоторую плоскость на две части - полуплоскости. На данном рисунке точки A и B находятся по одну сторону от прямой $a$, а точки A и C – по разные стороны от этой границы.

Дадим определение сонаправленным лучам.

Рис. 5

На рисунке 5 лучи $O_1{A}_1$ и $O_2{A}_2$, а также $O_2{A}_2$ и $O_3{A}_3$ – сонаправленные. Кроме этого, сонаправленными являются лучи $O_1{O}_3$ и $O_2{O}_3$, так как они лежат на одной прямой и один является частью другого. Лучи $O_1{A}_1$ и $O_4{A}_5$ не являются сонаправленными, так как они не параллельны. Лучи $O_2{A}_2$ и $O_3{A}_4$ также сонаправленными не являются (они лежат в разных полуплоскостях относительно границы $O_2{O}_3$).

Рис. 6

Пусть $O_1{M}_1$ и $O_2{M}_2$, $O_1{N}_1$ и $O_2{N}_2$ – сонаправленные лучи. Докажем, что углы $M_1{O}_1{N}_1$ и $M_2{O}_2{N}_2$ равны.
Отметим на лучах $O_1{M}_1$ и $O_1{N}_1$ какие-нибудь точки соответственно $A_1$ и $B_1$.

На лучах $O_2{M}_2$ и $O_2{N}_2$ отложим отрезки $O_2{A}_2=$ $O_1{A}_1$ и $O_2{B}_2=O_1{B}_1$ (рис. 6).

Четырёхугольник $O_2{O}_1{A}_1{A}_2$ – параллелограмм, так как противоположные стороны $O_1{A}_1$ и $O_2{A}_2$ параллельны и равны.

Следовательно, $A_1{A}_2\left|\right|O_1{O}_2$ и $A_1{A}_2=O_1{O}_2$ .

Также $O_2{O}_1{B}_1{B}_2$ – параллелограмм, так как противоположные стороны $O_1{B}_1$ и $O_2{B}_2$ параллельны и равны.

Следовательно, $B_1{B}_2\left|\right|O_1{O}_2$ и $B_1{B}_2=O_1{O}_2$.

Так как $A_1{A}_2\left|\right|O_1{O}_2$ и $B_1{B}_2\left|\right|O_1{O}_2$, то $A_1{A}_2\left|\right|B_1{B}_2$.

Так как $A_1{A}_2=O_1{O}_2$ и $B_1{B}_2=O_1{O}_2$, то $A_1{A}_2=B_1{B}_2$.

Таким образом, в четырёхугольнике $A_1{B}_1{B}_2{A}_2$ стороны $A_1{A}_2$ и $B_1{B}_2$ параллельны и равны. Значит, $A_1{B}_1{B}_2{A}_2$ – параллелограмм и отсюда следует, что $A_1{B}_1=A_2{B}_2$.

Рассмотрим треугольники $A_1{O}_1{B}_1$ и $A_2{O}_2{B}_2$. Они равны по трём сторонам, значит, $\angle A_1{O}_1{B}_1=\angle A_2{O}_2{B}_2$, т.е. $\angle M_1{O}_1{N}_1=\angle M_2{O}_2{N}_2$.

Теорема доказана.

Рис. 7

Поскольку две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости, то задача нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми решается так же, как и на плоскости. Очевидно, что при пересечении двух прямых образуются четыре неразвёрнутых угла. При этом если известен один из них, то можно найти и остальные углы (рис. 7). Выберем тот из углов, который не превосходит любой из трёх остальных углов. Этот угол и принимают за угол между пересекающимися прямыми. Очевидно, что угол между пересекающимися прямыми больше нуля, но не превосходит 90^o.

Рис. 8

Рассмотрим теперь скрещивающиеся прямые.

Пусть $a$ и $b$ – скрещивающиеся прямые.

Через произвольную точку M проведём прямые $a_1$и $b_1$ (рис. 8), параллельные соответственно прямым $a$ и $b$. Очевидно, что прямые $a_1$и $b_1$ пересекаются в точке M. После таких построений за угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ принимают величину угла между пересекающимися прямыми $a_1$ и $b_1$ (угол $\phi$).

Рис. 9

Из теоремы об углах с сонаправленными сторонами следует, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки M.

Поэтому часто берут точку M на одной из данных скрещивающихся прямых. В этом случае, как показано на рисунке 9, нет необходимости проводить прямую $a_1$, так как она совпадает с прямой $a$.

Обобщив описанный принцип нахождения угла между скрещивающимися прямыми, можно сформулировать следующее определение.