Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Скрещивающиеся прямые. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

29.05.2024
2490
0

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми

План урока

  • Скрещивающиеся прямые
  • Углы с сонаправленными сторонами
  • Угол между прямыми

Цели урока

  • Знать все возможные случаи расположения двух прямых в пространстве
  • Знать и уметь доказывать признак скрещивающихся прямых
  • Знать определение сонаправленных лучей и теорему об углах с сонаправленными сторонами
  • Уметь находить угол между прямыми

Разминка

  • Сформулируйте определение параллельных прямых в пространстве
  • Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости
  • Сколько общих точек могут иметь две различные прямые на плоскости?

Скрещивающиеся прямые

Рис. 1. Пример скрещивающихся прямых

В предыдущем параграфе уже обращалось внимание на то, что в стереометрии если прямые не пересекаются, то это ещё не означает, что они параллельны. Причиной этому является то, что непересекающиеся прямые могут быть расположены таким образом, что через них не проходит ни одна плоскость. Параллельные же прямые (как и пересекающиеся) лежат в одной плоскости. При таком взаимном расположении прямых их называют скрещивающимися.


Определение

 

Две прямые называются скрещивающимися , если они не лежат в одной плоскости.


То, что прямые a и b скрещивающиеся обозначается так: ab.

Наглядным примером скрещивающихся прямых являются дороги по мосту и под мостом на транспортной развязке 
(рис. 1). При решении задач удобно использовать признак скрещивающихся прямых.


Теорема. Признак скрещивающихся прямых

 

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.



Доказательство

Рис. 2

Пусть дана прямая m, лежащая в плоскости α и прямая n, которая пересекает α в точке K, причем Km.
Предположим, что прямые m и n лежат в одной плоскости. Обозначим её буквой β.  Тогда прямая m и точка K лежат как в плоскости α, так и в плоскости β. Но через прямую m и не лежащую на ней точку K можно провести только одну плоскость. Значит, плоскости α и β совпадают.  Следовательно, прямая n лежит в плоскости α. Это невозможно, так как n пересекает плоскость α. Пришли к противоречию. Предположение, что прямые m и n лежат в одной плоскости, неверно. Значит, m и n – скрещивающиеся прямые.

Теорема доказана.

 

Перечислим возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве:

  1. прямые пересекаются (имеют одну общую точку);
  2. прямые параллельны (лежат в одной плоскости и не пересекаются);
  3. прямые скрещиваются (не лежат в одной плоскости).

Теорема 

 

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.


Доказательство

Рис. 3

Пусть прямые m и n – скрещивающиеся.

  1. Отметим на прямой m произвольную точку A и через эту точку проведём прямую k, параллельную прямой n. Обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые m и k. Так как прямая n параллельна прямой k, лежащей в плоскости α, то прямая n параллельна плоскости α.
  2. Плоскость α – единственная плоскость, проходящая через прямую m и параллельная прямой n. Действительно, любая другая плоскость, проходящая через прямую m, пересекается с прямой k, а значит и с прямой n, так как n || k.

Теорема доказана.


Упражнение 1

 

Точка S не лежит в плоскости треугольника MNK, точки E, F и G – середины отрезков SM, SN и SK соответственно. Точка X лежит на отрезке NF. Выясните взаимное расположение прямых:

1) SF и MN

2) EF и NK

3) GX и EF

4) EG и MK.


Углы с сонаправленными сторонами

 

Перед тем, как рассматривать сонаправленные лучи, введём аксиому.


Аксиома

 

Каждая прямая a, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой a, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой a. При этом точки прямой a не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.


Рис. 4

На рисунке 4 показана прямая aназываемая границей , которая разделяет некоторую плоскость на две части - полуплоскости . На данном рисунке точки и B находятся по одну сторону от прямой a, а точки A и – по разные стороны от этой границы.

Дадим определение сонаправленным лучам.


Определение 

 

Два луча O1M1 и O2M2, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости относительно границы O1O2.

 

Если лучи O1M1 и O2M2 лежат на одной прямой, то сонаправленными они называются в том случае, если они совпадают или один из них содержит другой.


Рис. 5

На рисунке 5 лучи O1A1 и O2A2, а также O2A2 и O3A3 – сонаправленные. Кроме этого, сонаправленными являются лучи O1O3 и O2O3, так как они лежат на одной прямой и один является частью другого. Лучи O1A1 и O4A5 не являются сонаправленными, так как они не параллельны. Лучи O2A2 и O3A4 также сонаправленными не являются (они лежат в разных полуплоскостях относительно границы O2O3).


Теорема

 

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.


Доказательство

Рис. 6

Пусть O1M1 и O2M2O1N1 и O2N2 – сонаправленные лучи. Докажем, что углы M1O1N1 и M2O2N2 равны.
Отметим на лучах O1M1 и O1N1 какие-нибудь точки соответственно A1 и B1.

На лучах O2M2 и O2N2 отложим отрезки O2A2= O1A1 и O2B2=O1B1 (рис. 6).

Четырёхугольник O2O1A1A2 – параллелограмм, так как противоположные стороны O1A1 и O2A2 параллельны и равны.

Следовательно, A1A2||O1O2 и A1A2=O1O2 .

Также O2O1B1B2 – параллелограмм, так как противоположные стороны O1B1 и O2B2 параллельны и равны.

Следовательно, B1B2||O1O2 и B1B2=O1O2.

Так как A1A2||O1O2 и B1B2||O1O2, то A1A2||B1B2.

Так как A1A2=O1O2 и B1B2=O1O2, то A1A2=B1B2.

Таким образом, в четырёхугольнике A1B1B2A2 стороны A1A2 и B1B2 параллельны и равны. Значит, A1B1B2A2 – параллелограмм и отсюда следует, что A1B1=A2B2.

Рассмотрим треугольники A1O1B1 и A2O2B2. Они равны по трём сторонам, значит, A1O1B1=A2O2B2, т.е. M1O1N1=M2O2N2.

Теорема доказана.

Угол между прямыми

Рис. 7

Поскольку две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости, то задача нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми решается так же, как и на плоскости. Очевидно, что при пересечении двух прямых образуются четыре неразвёрнутых угла. При этом если известен один из них, то можно найти и остальные углы (рис. 7). Выберем тот из углов, который не превосходит любой из трёх остальных углов. Этот угол и принимают за угол между пересекающимися прямыми. Очевидно, что угол между пересекающимися прямыми больше нуля, но не превосходит 90o.

Рис. 8

 

Рассмотрим теперь скрещивающиеся прямые.

Пусть a и b – скрещивающиеся прямые.

Через произвольную точку M проведём прямые a1и b1 (рис. 8), параллельные соответственно прямым a и b. Очевидно, что прямые a1и b1 пересекаются в точке M. После таких построений за угол между скрещивающимися прямыми a и b принимают величину угла между пересекающимися прямыми a1 и b1 (угол φ).

Рис. 9

Из теоремы об углах с сонаправленными сторонами следует, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки M.

Поэтому часто берут точку M на одной из данных скрещивающихся прямых. В этом случае, как показано на рисунке 9, нет необходимости проводить прямую a1, так как она совпадает с прямой a.

 

Обобщив описанный принцип нахождения угла между скрещивающимися прямыми, можно сформулировать следующее определение.


Определение

 

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися прямыми, параллельными заданным. Его угловую меру α выбирают в границах 0<α90°.


Упражнение 2

 

  1. Чему равен угол между двумя пересекающимися прямыми, если один из углов, образованных при их пересечении равен: а) 27o; б) 150o; в) 90o?
  2. Прямые MN и KL параллельны, а MS и KL – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми MS и KL, если: а) SMN=30°; б) SMN=120°; в) SMN=90°.
  3. Прямая m параллельна стороне AB параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Найдите угол между прямыми m и CB, если один из углов параллелограмма равен: а) 70o; б) 142o.

Контрольные вопросы

 

  1. Перечислите возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве.
  2. Какие прямые называются скрещивающимися?
  3. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
  4. Объясните, что такое угол между скрещивающимися прямыми?

Ответы

 

Упражнение 1

 

  1. пересекающиеся прямые;
  2. скрещивающиеся прямые;
  3. скрещивающиеся прямые;
  4. параллельные прямые.

 

Упражнение 2

 

  1. а) 27o; б) 30o; в) 90o.
  2. а) 30o; б) 60o; в) 90o.
  3. а) 70o; б) 38o.
Предыдущий урок
Параллельные плоскости. Свойства параллельных плоскостей
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Следующий урок
Угол между прямой и плоскостью
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Поделиться:
  • Качественные реакции органических веществ

    Химия

  • Поздний романтизм. Ф.И. Тютчев. Жизнь и творчество. Единство мира и философия природы в его лирике. Тема родины

    Литература

  • Ускорение. Прямолинейное равноускоренное движение. Свободное падение. Решение задач о равноускоренном движении. Аналитический и графический способы решения

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке