Конспект урока: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых. Параллельность прямой и плоскости

[header]Параллельность прямых, прямой и плоскости[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Параллельные прямые в пространстве
• Параллельность трех прямых
• Параллельность прямой и плоскости

[/row][row title='Цели урока']

• Знать определение параллельных прямых в пространстве
• Знать определение параллельных прямой и плоскости
• Знать формулировки теорем о параллельных прямых и уметь их доказывать
• Знать формулировку признака параллельности прямой и плоскости и уметь его доказывать
• Уметь решать задачи с применением определений и теорем о параллельности прямых, прямой и плоскости

[/row][row title='Разминка' final='true']

• Какие прямые называются параллельными на плоскости?
• Сформулируйте известные вам свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей
• Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, если прямая не лежит в данной плоскости?

[/row][/flex]

[img url='/upload/epEE1yoQDHyC_899%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%25201.png' name='Рис. 1' width='30' float='right']

Параллельные прямые в пространстве

Как вы помните из курса планиметрии, две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. В пространстве же встречаются непересекающиеся прямые, которые совсем не обладают свойствами параллельных прямых. Например, на изображённом параллелепипеде (рис.1) прямые $m$ и $p$ не пересекаются, но и параллельными не являются. Поэтому в курсе стереометрии необходимо уточнить определение параллельных прямых.

[/img]

[line][/line]

[section icon='note']

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

[/section] [line][/line]

[img url='/upload/JTZrCjZ7c5I3_898%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%25202%2520%281%29.png' name='Рис. 2' width='40' float='right']

Параллельность прямых $m$ и $n$ обозначается так: $m\left|\right|n$.

На рисунке 2 прямые $m$ и $n$ параллельны, а прямые $a$ и $m$, $a$ и $n$, $a$ и $b$ не параллельны.

Обратите внимание, что в стереометрии если прямые не пересекаются, то это ещё не означает, что они параллельны.

А также если прямые не параллельны, то это ещё не означает, что они пересекаются.

Докажем следующую теорему о параллельных прямых.

[/img]

[line][/line]

[section icon='note']

Теорема 1

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

[/section]

[line][/line]
Доказательство

[img url='/upload/VAyIxX9wlN5w_897%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%25203%2520%281%29.png' name='Рис. 3' width='45' float='right']

Пусть дана прямая $a$ и точка M, не принадлежащая ей.

1) Через прямую $a$ и точку M проходит единственная плоскость (по теореме, доказанной ранее). Обозначим эту плоскость $\alpha$ (рис. 3). В этой плоскости $\alpha$ через точку M можно провести единственную прямую $b$, параллельную прямой $a$ (это известно из курса планиметрии). Таким образом, доказано, что существует прямая $b$, проходящая через точку M параллельно прямой $a$.

2) Так как плоскость $\alpha$ – единственная плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку M, а в этой плоскости прямая $b$ – единственная прямая, проходящая через точку M параллельно прямой $a$, то в пространстве $b$ также единственная прямая, проходящая через точку M параллельно прямой $a$.

Теорема доказана.

[/img]

[line][/line]

Два отрезка в пространстве называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, отрезка и луча, луча и прямой. 

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 1

Докажите, что все прямые, пересекающие две параллельные прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости.

[/section]

[line][/line]

Доказательство

[img url='/upload/0pOsOEThyUVL_896%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%25204%2520%281%29.png' name='Рис. 4' width='45' float='right']

Так как данные прямые $a$ и $b$ параллельны, то через них можно провести плоскость (рис. 4). Обозначим её $\beta$. Прямая $c$, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с плоскостью $\beta$ две общие точки – точки пересечения M и N с прямыми $a$ и $b$ соответственно. Поскольку M и N лежат в плоскости $\beta$, то и прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$. Аналогично, можно провести сколь угодно много прямых, пересекающих прямые $a$ и $b$, которые будут лежать в плоскости $\beta$.

[/img]

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 1

1. Известно, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Можно ли утверждать, что они параллельны? Почему?
2. Известно, что прямые $a$ и $b$  не параллельны. Можно ли утверждать, что они пересекаются? Почему?
3. Через точку M, не лежащую на прямой $a$, провели прямую $b$, параллельную прямой $a$. На прямой $b$ отметили точку N, отличную от точки M. Через точку N, провели ещё одну прямую $c$, параллельную прямой $a$. Что можно сказать о взаимном расположении прямых $b$ и $c$?[/section][line][/line]

Параллельность трех прямых

Из курса планиметрии вы знаете, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они все параллельны между собой. Однако в планиметрии предполагалось, что все три прямые лежат в одной плоскости. Теперь докажем справедливость этого утверждения и для случая, когда наши прямые не лежат в одной плоскости.

Для этого нам потребуется сначала доказать одну вспомогательную теорему (лемму).

[line][/line]

[section icon='note']

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

[/section]

[line][/line]

Доказательство
 

[img url='/upload/Fn6iYQidGykI_895%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%25205.png' name='Рис. 5' width='40' float='right']

Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны, прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке M.
Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\beta$ (рис. 5). Так как прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке M, то это означает, что M является общей точкой плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Обозначим эту прямую буквой $p$. Прямая $p$ лежит в плоскости $\beta$ и пересекает прямую $a$, значит пересекает и параллельную ей прямую $b$ в некоторой точке N. Прямая $p$ лежит и в плоскости $\alpha$. Следовательно точка N тоже лежит в плоскости $\alpha$. Мы пришли к тому, что N – общая точка прямой $b$ и плоскости $\alpha$.

(При этом прямая $b$ не имеет других общих точек с плоскостью $\alpha$, так как в этом случае прямая $b$ была бы общей прямой плоскостей $\alpha$ и $\beta$, т.е. совпадала бы с прямой $p$, а это невозможно.)

Мы пришли к тому, что прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

Лемма доказана.
 

Теперь перейдём к доказательству теоремы о параллельности трёх прямых для случая, когда три прямые не лежат в одной плоскости.

[/img]

[line][/line]

[section icon='note']

Теорема 2

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

[/section]

[line][/line]
Доказательство

[img url='/upload/5E8rSTmTZ6Xd_894%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%25206.png' name='Рис. 6' width='45' float='right']

Пусть $a\left|\right|c$, $b\left|\right|c$.

Докажем сначала, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.
Отметим на прямой $b$ произвольную точку N. Обозначим буквой $\alpha$ плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку N. Прямая $b$ лежит в этой же плоскости. В самом деле, если бы прямая $b$ пересекала плоскость $\alpha$, то по доказанной лемме прямая $c$также пересекала бы плоскость $\alpha$ (так как $b\left|\right|c$), а значит и прямая $a$ пересекала бы плоскость $\alpha$ (так как $c\left|\right|a$). Но это невозможно, поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.

Докажем теперь, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются.

Если бы прямые $a$ и $b$ пересекались, то через точку их пересечения проходили бы две прямые ($a$ и $b$), параллельные прямой $c$, а это невозможно.

Мы доказали, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это означает, что они параллельны.

Теорема доказана

[/img] [line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 2

1. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Как расположена прямая, параллельная отрезку CD, по отношению к плоскостям ABC и ABD? Ответ обоснуйте.
2. Докажите, что середины пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырёхугольника не лежат в одной плоскости).[/section][line][/line]

Параллельность прямой и плоскости

[img url='/upload/KLtd4IRnInDI_893%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%25207.png' name='Рис. 7' width='40' float='right']

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости (рис. 7):

1. прямая лежит в плоскости 
   ($a\subset \alpha$);
2. прямая и плоскость пересекаются $(b\cap \alpha )$);
3. прямая и плоскость не имеют общих точек.

[/img]

[line][/line]

[section icon='note']

Определение

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

[/section] [line][/line]

Параллельность прямой $c$ плоскости $\alpha$ обозначается так: $c\left|\right|\alpha$.

Для доказательства параллельности прямой и плоскости удобно пользоваться специальной теоремой – признаком параллельности прямой и плоскости.

[line][/line] [section icon='note'] 

Теорема 3 (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

[/section]

[line][/line]
Доказательство

[img url='/upload/nzNponiwS1xF_892%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%25208.png' name='Рис. 8' width='45' float='right']

Пусть $a\not\subset \alpha ,b\subset \alpha ,a\left|\right|b$.

Предположим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$.

В таком случае прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая $b$ также пересекает плоскость $\alpha$. Но это противоречит тому, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, предположение, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$, неверно. Значит прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.

Теорема доказана.

При решении задач часто используются следующие два утверждения, которые являются прямыми следствиями признака параллельности прямой и плоскости.

[/img]

[line][/line]

[section icon='note']

[img url='/upload/1IveaISbWlMQ_891%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%25209%2520%25D0%25BA%2520%25D1%2581%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25B4%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B2%25D0%25B8%25D1%258E%25201%2520%281%29.png' name='Рис. 9. К следствию 1' width='40' float='right']

Следствие 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

[/img]

[/section]

[line][/line]

[section icon='note']

Cледствие 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

[/section][line][/line]

[section icon='example']

Пример 2

Точки A и B лежат в плоскости $\alpha$, а точка C не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости $\alpha$.

[/section]

[line][/line]

[img url='/upload/gPUHqi24WLxO_890%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%252010%2520%281%29.png' name='Рис. 10' width='40' float='right']

Дано:

$A,B\in \alpha$

$C\notin \alpha$

$M$ – середина $AC$

$N$ – середина $BC$

_______________________

Доказать:

$MN \left|\right| \alpha$ 

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ABC$, $MN$ – средняя линия (по определению) $\Rightarrow MN \left|\right| AB$. При этом  $AB\subset \alpha$. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости прямая MN параллельна плоскости $\alpha$.

[/img]

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 3

Сторона DM треугольника ADM параллельна плоскости $\beta$, стороны DA и MA пересекают $\beta$ в точках F и E соответственно. Докажите, что треугольники ADM и AFE подобны.

[/section]

[line][/line]

[img url='/upload/zAYcFySPMEzJ_889%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%252011.png' name='Рис. 11' width='25' float='right']

Дано:

$DM\left|\right|\beta$ 

$DA\cap \beta =F,MA\cap \beta =E$
___________________________________

Доказать: $\Delta ADM~\Delta AFE$

Доказательство

$DM\subset \left(ADM\right),DM\left|\right|\beta ,\left(ADM\right)\cap \beta =FE$ $\Rightarrow$$DM\left|\right|FE$.

В плоскости $ADM$ рассмотрим $\Delta ADM$ и $\Delta AFE$. У них $\angle A-$ общий, $\angle ADM=\angle AFE$ как соответственные при пересечении параллельных прямых $DM$ и $FE$ секущей $AD$. Тогда по признаку подобия треугольников (по двум углам) $\Delta ADM~\Delta AFE$. Что и требовалось доказать.

[/img]

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

2. Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?

3. Что значит «прямая и плоскость параллельны»?

4. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

[/section]

[line][/line]

[u]Ответы[/u]

Упражнение 1

1. Нет, так как не известно лежат ли прямые в одной плоскости.
2. Нет, так как они могут быть в разных плоскостях.
3. Прямые $b$ и $c$ совпадают.

Упражнение 2

1. Прямая, параллельная отрезку CD, пересекает как плоскость ABC, так и плоскость ABD. Объясняется это тем, что прямая CD пересекает данные плоскости, а если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость (лемма).
 

[img url='/upload/EjE3diDlD9Wa_888%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25202.%2520%25D0%259F%25D0%25B0%25D1%2580%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C%25D0%25BD%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%258C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D1%258B%25D1%2585%2C%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D1%258F%25D0%25BC%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25B8%2520%25D0%25BF%25D0%25BB%25D0%25BE%25D1%2581%25D0%25BA%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D0%25B8%2520%25D1%2580%25D0%25B8%25D1%2581%252011.png' name='Рис. 12' width='30' float='right']

2. Пусть ABCD – данный пространственный четырёхугольник (рис. 12). 
Пусть $M_1,M_2,M_3,M_4$ – середины его сторон.
Тогда $M_1{M}_2$ – средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC; $M_3{M}_4$ – средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне AC. По теореме о параллельности трёх прямых $M_1{M}_2$ и $M_3{M}_4$ параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно также доказывается параллельность прямых $M_1{M}_4$ и $M_2{M}_3$. Таким образом, четырёхугольник $M_1{M}_2{M}_3{M}_4$ лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм.

[/img]