Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых. Параллельность прямой и плоскости

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

02.03.2024
2381
0

Параллельность прямых, прямой и плоскости

План урока

  • Параллельные прямые в пространстве
  • Параллельность трех прямых
  • Параллельность прямой и плоскости

Цели урока

  • Знать определение параллельных прямых в пространстве
  • Знать определение параллельных прямой и плоскости
  • Знать формулировки теорем о параллельных прямых и уметь их доказывать
  • Знать формулировку признака параллельности прямой и плоскости и уметь его доказывать
  • Уметь решать задачи с применением определений и теорем о параллельности прямых, прямой и плоскости

Разминка

  • Какие прямые называются параллельными на плоскости?
  • Сформулируйте известные вам свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей
  • Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, если прямая не лежит в данной плоскости?

Рис. 1

Параллельные прямые в пространстве

Как вы помните из курса планиметрии, две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. В пространстве же встречаются непересекающиеся прямые, которые совсем не обладают свойствами параллельных прямых. Например, на изображённом параллелепипеде (рис.1) прямые m и p не пересекаются, но и параллельными не являются. Поэтому в курсе стереометрии необходимо уточнить определение параллельных прямых.


Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.


Рис. 2

Параллельность прямых m и n обозначается так: m||n.

На рисунке 2 прямые m и n параллельны, а прямые a и ma и na и b не параллельны.

Обратите внимание, что в стереометрии если прямые не пересекаются, то это ещё не означает, что они параллельны.

А также если прямые не параллельны, то это ещё не означает, что они пересекаются.

Докажем следующую теорему о параллельных прямых.


Теорема 1

 

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.



Доказательство

Рис. 3

Пусть дана прямая a и точка M, не принадлежащая ей.

1) Через прямую a и точку M проходит единственная плоскость (по теореме, доказанной ранее). Обозначим эту плоскость α (рис. 3). В этой плоскости α через точку M можно провести единственную прямую b, параллельную прямой a (это известно из курса планиметрии). Таким образом, доказано, что существует прямая b, проходящая через точку M параллельно прямой a.

2) Так как плоскость α – единственная плоскость, проходящая через прямую a и точку M, а в этой плоскости прямая b – единственная прямая, проходящая через точку M параллельно прямой a, то в пространстве b также единственная прямая, проходящая через точку M параллельно прямой a.

Теорема доказана.


Два отрезка в пространстве называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, отрезка и луча, луча и прямой. 


Пример 1

 

Докажите, что все прямые, пересекающие две параллельные прямые a и b, лежат в одной плоскости.


Доказательство

Рис. 4

Так как данные прямые a и b параллельны, то через них можно провести плоскость (рис. 4). Обозначим её β. Прямая c, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с плоскостью β две общие точки – точки пересечения M и N с прямыми a и b соответственно. Поскольку M и N лежат в плоскости β, то и прямая c лежит в плоскости β. Аналогично, можно провести сколь угодно много прямых, пересекающих прямые a и b, которые будут лежать в плоскости β.


Упражнение 1

 

  1. Известно, что прямые a и b не пересекаются. Можно ли утверждать, что они параллельны? Почему?
  2. Известно, что прямые a и b  не параллельны. Можно ли утверждать, что они пересекаются? Почему?
  3. Через точку M, не лежащую на прямой a, провели прямую b, параллельную прямой a. На прямой b отметили точку N, отличную от точки M. Через точку N, провели ещё одну прямую c, параллельную прямой a. Что можно сказать о взаимном расположении прямых b и c?

Параллельность трех прямых

 

Из курса планиметрии вы знаете, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они все параллельны между собой. Однако в планиметрии предполагалось, что все три прямые лежат в одной плоскости. Теперь докажем справедливость этого утверждения и для случая, когда наши прямые не лежат в одной плоскости.

Для этого нам потребуется сначала доказать одну вспомогательную теорему (лемму).


Лемма

 

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.


Доказательство
 

Рис. 5

Пусть прямые a и b параллельны, прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке M.
Так как прямые a и b параллельны, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость β (рис. 5). Так как прямая a пересекает плоскость α в точке M, то это означает, что M является общей точкой плоскостей α и β. Если плоскости α и β имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Обозначим эту прямую буквой  p. Прямая  p лежит в плоскости β и пересекает прямую a, значит пересекает и параллельную ей прямую b в некоторой точке N. Прямая  p лежит и в плоскости α. Следовательно точка N тоже лежит в плоскости α. Мы пришли к тому, что N – общая точка прямой b и плоскости α.

(При этом прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, так как в этом случае прямая b была бы общей прямой плоскостей α и β, т.е. совпадала бы с прямой p, а это невозможно.)

Мы пришли к тому, что прямая b пересекает плоскость α.

Лемма доказана.
 

Теперь перейдём к доказательству теоремы о параллельности трёх прямых для случая, когда три прямые не лежат в одной плоскости.


Теорема 2

 

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.



Доказательство

Рис. 6

Пусть a||cb||c.

Докажем сначала, что прямые a и b лежат в одной плоскости.
Отметим на прямой b произвольную точку N. Обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямую a и точку N. Прямая b лежит в этой же плоскости. В самом деле, если бы прямая b пересекала плоскость α, то по доказанной лемме прямая cтакже пересекала бы плоскость α (так как b||c), а значит и прямая a пересекала бы плоскость α (так как c||a). Но это невозможно, поскольку прямая a лежит в плоскости α.

 

Докажем теперь, что прямые a и b не пересекаются.

Если бы прямые a и b пересекались, то через точку их пересечения проходили бы две прямые (a и b), параллельные прямой c, а это невозможно.

Мы доказали, что прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это означает, что они параллельны.

Теорема доказана


Упражнение 2

 

  1. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Как расположена прямая, параллельная отрезку CD, по отношению к плоскостям ABC и ABD? Ответ обоснуйте.
  2. Докажите, что середины пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырёхугольника не лежат в одной плоскости).

Параллельность прямой и плоскости

Рис. 7

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости (рис. 7):

  1. прямая лежит в плоскости 
    (aα);
  2. прямая и плоскость пересекаются (bα));
  3. прямая и плоскость не имеют общих точек.


Определение

 

Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.


Параллельность прямой c плоскости α обозначается так: c||α.

Для доказательства параллельности прямой и плоскости удобно пользоваться специальной теоремой – признаком параллельности прямой и плоскости.


 

Теорема 3 (признак параллельности прямой и плоскости)

 

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.



Доказательство

Рис. 8

Пусть aα,bα,a||b.

Предположим, что прямая a не параллельна плоскости α.

В таком случае прямая a пересекает плоскость α. Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая b также пересекает плоскость α. Но это противоречит тому, что прямая b лежит в плоскости α. Следовательно, предположение, что прямая a не параллельна плоскости α, неверно. Значит прямая a параллельна плоскости α.

Теорема доказана.

При решении задач часто используются следующие два утверждения, которые являются прямыми следствиями признака параллельности прямой и плоскости.


Рис. 9. К следствию 1

Следствие 1

 

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.


Cледствие 2

 

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.


Пример 2

 

Точки A и B лежат в плоскости α, а точка C не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости α.


Рис. 10

 

Дано:

 

A,Bα

Cα

M – середина AC

N – середина BC

_______________________

Доказать:

 

MN || α 

 


Доказательство

 

Рассмотрим треугольник ABCMN – средняя линия (по определению)  MN || AB. При этом  ABα. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости прямая MN параллельна плоскости α.


Пример 3

 

Сторона DM треугольника ADM параллельна плоскости β, стороны DA и MA пересекают β в точках F и E соответственно. Докажите, что треугольники ADM и AFE подобны.


Рис. 11

Дано:

 

DM||β  

DAβ=F,MAβ=E 
___________________________________

Доказать: ΔADM~ΔAFE

 

 

 

Доказательство

 

DM(ADM),DM||β,(ADM)β=FE  DM||FE.

В плоскости ADM рассмотрим ΔADM и ΔAFE. У них A- общий, ADM=AFE как соответственные при пересечении параллельных прямых DM и FE секущей AD. Тогда по признаку подобия треугольников (по двум углам) ΔADM~ΔAFE. Что и требовалось доказать.


Контрольные вопросы

 

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

2. Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?

3. Что значит «прямая и плоскость параллельны»?

4. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.


Ответы

 

Упражнение 1

 

  1. Нет, так как не известно лежат ли прямые в одной плоскости.
  2. Нет, так как они могут быть в разных плоскостях.
  3. Прямые b и c совпадают.

 

Упражнение 2

 

 

1. Прямая, параллельная отрезку CD, пересекает как плоскость ABC, так и плоскость ABD. Объясняется это тем, что прямая CD пересекает данные плоскости, а если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость (лемма).
 

Рис. 11

2. Пусть ABCD – данный пространственный четырёхугольник (рис. 11). 
Пусть M1,M2,M3,M4 – середины его сторон.
Тогда M1M2 – средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне ACM3M4 – средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне AC. По теореме о параллельности трёх прямых M1M2 и M3M4 параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно также доказывается параллельность прямых M1M4 и M2M3. Таким образом, четырёхугольник M1M2M3M4 лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм.

 

 

Предыдущий урок
Параллельные плоскости. Свойства параллельных плоскостей
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Следующий урок
Скрещивающиеся прямые. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Поделиться:
  • Ароматические углеводороды, или арены

    Химия

  • A magazine article. Статья в журнале

    Английский язык

  • Мировая транспортная система. Современная информационная экономика

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке