Конспект урока: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых. Параллельность прямой и плоскости

Рис. 1

Параллельные прямые в пространстве

Как вы помните из курса планиметрии, две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. В пространстве же встречаются непересекающиеся прямые, которые совсем не обладают свойствами параллельных прямых. Например, на изображённом параллелепипеде (рис.1) прямые $m$ и $p$ не пересекаются, но и параллельными не являются. Поэтому в курсе стереометрии необходимо уточнить определение параллельных прямых.

Рис. 2

Параллельность прямых $m$ и $n$ обозначается так: $m\left|\right|n$.

На рисунке 2 прямые $m$ и $n$ параллельны, а прямые $a$ и $m$, $a$ и $n$, $a$ и $b$ не параллельны.

Обратите внимание, что в стереометрии если прямые не пересекаются, то это ещё не означает, что они параллельны.

А также если прямые не параллельны, то это ещё не означает, что они пересекаются.

Докажем следующую теорему о параллельных прямых.

Рис. 3

Пусть дана прямая $a$ и точка M, не принадлежащая ей.

1) Через прямую $a$ и точку M проходит единственная плоскость (по теореме, доказанной ранее). Обозначим эту плоскость $\alpha$ (рис. 3). В этой плоскости $\alpha$ через точку M можно провести единственную прямую $b$, параллельную прямой $a$ (это известно из курса планиметрии). Таким образом, доказано, что существует прямая $b$, проходящая через точку M параллельно прямой $a$.

2) Так как плоскость $\alpha$ – единственная плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку M, а в этой плоскости прямая $b$ – единственная прямая, проходящая через точку M параллельно прямой $a$, то в пространстве $b$ также единственная прямая, проходящая через точку M параллельно прямой $a$.

Теорема доказана.

Рис. 4

Так как данные прямые $a$ и $b$ параллельны, то через них можно провести плоскость (рис. 4). Обозначим её $\beta$. Прямая $c$, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с плоскостью $\beta$ две общие точки – точки пересечения M и N с прямыми $a$ и $b$ соответственно. Поскольку M и N лежат в плоскости $\beta$, то и прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$. Аналогично, можно провести сколь угодно много прямых, пересекающих прямые $a$ и $b$, которые будут лежать в плоскости $\beta$.

Рис. 5

Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны, прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке M.
Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\beta$ (рис. 5). Так как прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке M, то это означает, что M является общей точкой плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Обозначим эту прямую буквой $p$. Прямая $p$ лежит в плоскости $\beta$ и пересекает прямую $a$, значит пересекает и параллельную ей прямую $b$ в некоторой точке N. Прямая $p$ лежит и в плоскости $\alpha$. Следовательно точка N тоже лежит в плоскости $\alpha$. Мы пришли к тому, что N – общая точка прямой $b$ и плоскости $\alpha$.

(При этом прямая $b$ не имеет других общих точек с плоскостью $\alpha$, так как в этом случае прямая $b$ была бы общей прямой плоскостей $\alpha$ и $\beta$, т.е. совпадала бы с прямой $p$, а это невозможно.)

Мы пришли к тому, что прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

Лемма доказана.
 

Теперь перейдём к доказательству теоремы о параллельности трёх прямых для случая, когда три прямые не лежат в одной плоскости.

Рис. 6

Пусть $a\left|\right|c$, $b\left|\right|c$.

Докажем сначала, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости.
Отметим на прямой $b$ произвольную точку N. Обозначим буквой $\alpha$ плоскость, проходящую через прямую $a$ и точку N. Прямая $b$ лежит в этой же плоскости. В самом деле, если бы прямая $b$ пересекала плоскость $\alpha$, то по доказанной лемме прямая $c$также пересекала бы плоскость $\alpha$ (так как $b\left|\right|c$), а значит и прямая $a$ пересекала бы плоскость $\alpha$ (так как $c\left|\right|a$). Но это невозможно, поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.

Докажем теперь, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются.

Если бы прямые $a$ и $b$ пересекались, то через точку их пересечения проходили бы две прямые ($a$ и $b$), параллельные прямой $c$, а это невозможно.

Мы доказали, что прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это означает, что они параллельны.

Теорема доказана

Рис. 7

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости (рис. 7):

1. прямая лежит в плоскости 
   ($a\subset \alpha$);
2. прямая и плоскость пересекаются $(b\cap \alpha )$);
3. прямая и плоскость не имеют общих точек.

Рис. 8

Пусть $a\not\subset \alpha ,b\subset \alpha ,a\left|\right|b$.

Предположим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$.

В таком случае прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая $b$ также пересекает плоскость $\alpha$. Но это противоречит тому, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, предположение, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$, неверно. Значит прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.

Теорема доказана.

При решении задач часто используются следующие два утверждения, которые являются прямыми следствиями признака параллельности прямой и плоскости.

Рис. 10

Дано:

$A,B\in \alpha$

$C\notin \alpha$

$M$ – середина $AC$

$N$ – середина $BC$

_______________________

Доказать:

$MN \left|\right| \alpha$ 

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ABC$, $MN$ – средняя линия (по определению) $\Rightarrow MN \left|\right| AB$. При этом  $AB\subset \alpha$. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости прямая MN параллельна плоскости $\alpha$.

Рис. 11

Дано:

$DM\left|\right|\beta$ 

$DA\cap \beta =F,MA\cap \beta =E$
___________________________________

Доказать: $\Delta ADM~\Delta AFE$

Доказательство

$DM\subset \left(ADM\right),DM\left|\right|\beta ,\left(ADM\right)\cap \beta =FE$ $\Rightarrow$$DM\left|\right|FE$.

В плоскости $ADM$ рассмотрим $\Delta ADM$ и $\Delta AFE$. У них $\angle A-$ общий, $\angle ADM=\angle AFE$ как соответственные при пересечении параллельных прямых $DM$ и $FE$ секущей $AD$. Тогда по признаку подобия треугольников (по двум углам) $\Delta ADM~\Delta AFE$. Что и требовалось доказать.

Рис. 12

2. Пусть ABCD – данный пространственный четырёхугольник (рис. 12). 
Пусть $M_1,M_2,M_3,M_4$ – середины его сторон.
Тогда $M_1{M}_2$ – средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AC; $M_3{M}_4$ – средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне AC. По теореме о параллельности трёх прямых $M_1{M}_2$ и $M_3{M}_4$ параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно также доказывается параллельность прямых $M_1{M}_4$ и $M_2{M}_3$. Таким образом, четырёхугольник $M_1{M}_2{M}_3{M}_4$ лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм.