Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Угол между прямой и плоскостью

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

03.12.2024
2521
0

Угол между прямой и плоскостью

План урока

  • Угол между прямой и плоскостью

Цели урока

  • Знать, что называется углом между прямой и плоскостью
  • Уметь находить угол между прямой и плоскостью

Разминка

  • Что называют перпендикуляром к плоскости?
  • Что называют наклонной к плоскости и её проекцией на плоскость?
  • Как определяется угол между прямыми в пространстве?

Угол между прямой и плоскостью

 

Введём понятие проекции произвольной фигуры на плоскость, но перед этим дадим определение проекции точки на плоскость.


Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.


Рис. 1.

На рисунке 1 точка A1 – проекция точки A на плоскость α, а точка B, которая лежит в плоскости α – проекция самой точки B на эту плоскость.


Пусть в пространстве дана некоторая фигура X. Если простроить проекции всех точек фигуры X на плоскость α, то фигура X1, состоящая из этих проекций, называется проекцией фигуры X на плоскость α.


Рис. 2.

Чтобы построить проекцию прямой a на плоскость α, не перпендикулярную к этой прямой, надо взять две произвольные точки M1 и M2, лежащие на прямой a и найти их проекции H1 и H2 на плоскость α. Тогда проекцией прямой a на плоскость α является прямая a1 проходящая через точки H1 и H2 (рис. 2). Проекцией отрезка MN на плоскость, не перпендикулярную к нему, является отрезок, концы которого – проекции точек M и N на эту плоскость.

 

Дадим теперь определение угла между прямой и плоскостью.


Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.


Рис. 3.

На рисунке 3 показана прямая a, пересекающая плоскость α и проекция a1 этой прямой на данную плоскость. Угол φ между прямой a и проекцией a1 есть угол между прямой a и плоскостью α.

 

В случае, если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекцией на эту плоскость будет точка пересечения этой прямой с плоскостью. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается прямым и равен 90°.


Пример 1

 

Точка A отстоит от плоскости α на расстоянии 8 см. Найдите длину наклонной, проведённой из этой точки под углом к плоскости, равным 30°


Рис. 4.

Решение

 

Опустим перпендикуляр AA1 на плоскость α (рис. 4). В таком случае AB - наклонная к плоскости, A1B - её проекция на плоскость, а φ - угол между прямой AB и плоскостью α. Получили треугольник AA1B с прямым углом при вершине A1, где острый угол этого треугольника, противолежащий катету AA1, равен 30°. Следовательно, AB=2·AA1=2·8=16 см.

 

Ответ: 16 см.


Пример 2

 

Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость, концы его находятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.


Рис. 5.

Решение

 

Обозначим концы данного отрезка буквами A и B, плоскость – буквой α, точку пересечения отрезка AB с плоскостью α буквой O, а проекции точек A и B на плоскость α буквами соответственно A1 и B1 (рис. 5).

 

Углом между отрезком AB и плоскостью α является угол AOA1.

По условию задачи AB=10 м, расстояния от точек A и B до плоскости α равны соответственно 2 м и 3 м. Значит AA1=2 мBB1=3 м.

 

Треугольники AA1O и BB1O подобны, так как AA1O=BB1O (прямые) и AOA1=BOB1 (вертикальные).

Из подобия треугольников следует AOBO=AA1BB1.

Обозначим AO=x. Тогда BO=10-x.

Получим уравнение

 

x10-x=23,

3x=2·(10-x),

3x=20-2x,

3x+2x=20,

5x=20,

x=4.

 

Получили AO=4 м

Таким образом, sin AOA1=AA1AO=24=12AOA1=30°.

 

Ответ: 30°.


Пример 3

 

Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.


Рис. 6.

Решение

 

Пусть катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежит в плоскости α (рис. 6). По условию задачи катеты AC и BC равны. Катет BC наклонён к плоскости α под углом в 45°. Проведём перпендикуляр BH к плоскости. Получим еще один прямоугольный треугольник BHC с прямым углом при вершине H. Так как BCH=45°, то и CBH=45°. Следовательно, треугольник BHC равнобедренный. Обозначим CH=BH=a.

Тогда BC=CH2+BH2=a2+a2=2a2=2aAC=2aAB==AC2+BC2=2a2+2a2=4a2=2a

Углом между гипотенузой AB и плоскостью α является угол BAH.

 

sin BAH=BHAB=a2a=12BAH=30°.

 

Ответ: 30°.


Упражнение 1

 

1. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 5 см, проведены две наклонные под углом 30o к плоскости, причём их проекции образуют угол 120o. Найдите расстояние между концами наклонных.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из наклонных равна 10 см и имеет проекцию длиной 8 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с данной плоскостью угол 30o.


Контрольные вопросы

 

  1. Что называют проекцией точки на плоскость?
  2. Что называют проекцией фигуры на плоскость?
  3. Как построить проекцию прямой на плоскость?
  4. Какой угол принимают за угол между прямой и плоскостью?


Ответы

Упражнение 1

 

  1. 15 см.
  2. 12 см.

Предыдущий урок
Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Следующий урок
Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых. Параллельность прямой и плоскости
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Поделиться:
  • Нарастание агрессии в мире. Установление нацисткой диктатуры в Германии. Борьба с фашизмом. Народный фронт во Франции и Испании. Гражданская война в Испании. Австрия: от демократии к авторитарному режиму

    История

  • Правописание сложных существительных

    Русский язык

  • Ф.И. Тютчев. Адресаты любовной лирики. Любовная лирика Ф.И. Тютчева. Любовь как стихийная сила и «поединок роковой»

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке