Конспект урока: Угол между прямой и плоскостью

Рис. 1.

На рисунке 1 точка $A_1$ – проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$, а точка $B$, которая лежит в плоскости $\alpha$ – проекция самой точки $B$ на эту плоскость.

Рис. 2.

Чтобы построить проекцию прямой $a$ на плоскость $\alpha$, не перпендикулярную к этой прямой, надо взять две произвольные точки $M_1$ и $M_2,$ лежащие на прямой $a$ и найти их проекции $H_1$ и $H_2$ на плоскость $\alpha$. Тогда проекцией прямой a на плоскость $\alpha$ является прямая $a_1$ проходящая через точки $H_1$ и $H_2$ (рис. 2). Проекцией отрезка MN на плоскость, не перпендикулярную к нему, является отрезок, концы которого – проекции точек M и N на эту плоскость.

Дадим теперь определение угла между прямой и плоскостью.

Рис. 3.

На рисунке 3 показана прямая $a$, пересекающая плоскость $\alpha$ и проекция $a_1$ этой прямой на данную плоскость. Угол $\phi$ между прямой $a$ и проекцией $a_1$ есть угол между прямой $a$ и плоскостью $\alpha$.

В случае, если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекцией на эту плоскость будет точка пересечения этой прямой с плоскостью. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается прямым и равен $90°$.

Рис. 4.

Решение

Опустим перпендикуляр $A{A}_1$ на плоскость $\alpha$ (рис. 4). В таком случае $AB$ - наклонная к плоскости, $A_{1}B$ - её проекция на плоскость, а $\phi$ - угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha .$ Получили треугольник $A{A}_{1}B$ с прямым углом при вершине $A_1$, где острый угол этого треугольника, противолежащий катету $A{A}_1$, равен $30°$. Следовательно, $AB=2·A{A}_1=2·8=16 см$.

Ответ: 16 см.

Рис. 5.

Решение

Обозначим концы данного отрезка буквами $A$ и $B$, плоскость – буквой $\alpha$, точку пересечения отрезка $AB$ с плоскостью $\alpha$ буквой $O$, а проекции точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$ буквами соответственно $A_1$ и $B_1$ (рис. 5).

Углом между отрезком $AB$ и плоскостью $\alpha$ является угол $AO{A}_1$.

По условию задачи $AB=10 м$, расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ равны соответственно 2 м и 3 м. Значит $A{A}_1=2 м$, $B{B}_1=3 м$.

Треугольники $A{A}_{1}O$ и $B{B}_{1}O$ подобны, так как $\angle A{A}_{1}O=\angle B{B}_{1}O$ (прямые) и $\angle AO{A}_1=\angle BO{B}_1$ (вертикальные).

Из подобия треугольников следует $\frac{AO}{BO}=\frac{A{A}_1}{B{B}_1}$.

Рис. 6.

Решение

Пусть катет $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежит в плоскости $\alpha$ (рис. 6). По условию задачи катеты $AC$ и $BC$ равны. Катет $BC$ наклонён к плоскости $\alpha$ под углом в $45°$. Проведём перпендикуляр $BH$ к плоскости. Получим еще один прямоугольный треугольник $BHC$ с прямым углом при вершине $H$. Так как $\angle BCH=45°$, то и $\angle CBH=45°$. Следовательно, треугольник $BHC$ равнобедренный. Обозначим $CH=BH=a$.

Тогда $BC=\sqrt{C{H}^2+B{H}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a\Rightarrow AC=\sqrt{2}a\Rightarrow AB=$$=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}a\right)}^2+{\left(\sqrt{2}a\right)}^2}=\sqrt{4a^2}=2a$. 

Углом между гипотенузой $AB$ и плоскостью $\alpha$ является угол $BAH$.

$sin \angle BAH=\frac{BH}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle BAH=30°$.

Ответ: $30°$.