Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Параллельность плоскостей

План урока

Параллельные плоскости
Свойства параллельных плоскостей

Цели урока

Знать определение параллельных плоскостей
Знать и уметь доказывать признак параллельности двух плоскостей
Знать и уметь доказывать свойства параллельных плоскостей
Уметь применять свойства параллельных плоскостей при решении задач

Разминка

Продолжите формулировку одной из аксиом стереометрии: «если две плоскости имеют общую точку, то они …»
Сколько различных плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?
Сформулируйте свойства параллелограмма

Параллельные плоскости

Рис. 1 Рис. 2

Из аксиомы А3, рассмотренной ранее, следует, что две различные плоскости либо пересекаются по прямой (рис. 1), либо не имеют ни одной общей точки, т. е. не пересекаются (рис. 2).

Во втором случае говорят, что плоскости параллельны.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Наглядными примерами параллельных плоскостей являются плоскости потолка и пола, плоскости противоположных стен комнаты, плоскости полок в шкафу и т. п.

Для обозначения параллельности плоскостей α и β используется запись α||β.

Теорема. Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство

Рис. 3

Пусть даны две плоскости и и две пары прямых в каждой из них $(a_{1}, b_{1} \subset α,$ $a_{2}, b_{2} \subset β),$ причем $a_{1} \cap b_{1} = M, a_{1} | | a_{2},$ $b_{1} | | b_{2} .$ Так как прямая $a_{1}$ параллельна прямой $a_{2}$ , лежащей в плоскости $β$ , а прямая $b_{1}$ параллельна прямой $b_{2}$ , лежащей в плоскости $β$ , то $a_{1} | | β$ и $b_{1} | | β$ (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Предположим, что плоскости $α$ и $β$ не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой $с$ . В этом случае каждая из прямых $a_{1}$ и $b_{1}$ параллельны этой прямой $с$ . Но это невозможно, так как через точку M можно провести только одну прямую, параллельную прямой $c$ . Значит, предположение, что плоскости $α$ и $β$ не параллельны, неверно.

Следовательно, $α | | β$ .

Теорема доказана.

Упражнение 1

Плоскости $α$ и $β$ параллельны. Докажите, что если прямая $m$ лежит в плоскости $α$ , то она параллельна плоскости $β$ .
Треугольники $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A_{2} B_{2} C_{2}$ не лежат в одной плоскости. При этом отрезки $A_{1} A_{2}$ , $B_{1} B_{2}$ и $C_{1} C_{2}$ имеют общую середину. Докажите, что плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A_{2} B_{2} C_{2}$ параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Перейдём к рассмотрению свойств параллельных плоскостей.

Свойство 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Рис. 4

Действительно, согласно определению, параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Линии пересечения данных параллельных плоскостей с секущей плоскостью лежат именно в этой секущей плоскости (рис. 4). При этом, если бы эти прямые пересекались, то точка их пересечения (общая точка этих прямых) являлась бы общей точкой данных параллельных плоскостей, а это невозможно. Поэтому эти прямые параллельны.

Свойство 2

Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.

Рис. 5

Действительно, пусть $α$ и $β$ – параллельные плоскости, $A B$ и $C D$ – отрезки двух параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями $α$ и $β$ (рис. 5). Из свойства 1 следует, что плоскость $γ$ , проходящая через параллельные прямые $A B$ и $C D$ , пересекается с плоскостями $α$ и $β$ по параллельным прямым $A C$ и $B D$ . В четырёхугольнике $A B D C$ противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, $A B D C$ – параллелограмм. По свойству параллелограмма $A B = C D$ .

Пример 1

В тетраэдре $D A B C$ точки $B_{1}, C_{1}, D_{1}$ середины ребер $A B, A C, A D$ соответственно. Найдите площадь треугольника $B C D$ , если площадь треугольника $B_{1} C_{1} D_{1}$ равна 12 см².

Решение

Рис. 6

C_{1}

– середина

A C, D_{1}

– середина

A D

, тогда

C_{1} D_{1}

– средняя линия треугольника

A D C,

C_{1} D_{1} = \frac{1}{2} C D

.
Аналогично,

D_{1} B_{1} = \frac{1}{2} D B,

B_{1} C_{1} = \frac{1}{2} B C .

Заметим, что треугольники

B_{1} C_{1} D_{1}

B C D

подобны по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия

k = \frac{1}{2}

, тогда площади этих треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, т. е.

$\frac{S_{B_{1} C_{1} D_{1}}}{S_{B C D}} = \frac{1}{4},$

отсюда $S_{B C D} = 48 с м^{2}$ .

Ответ: $48 с м^{2}$ .

Упражнение 2

Рис. 7

Через вершины треугольника $A B C$ , лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ . Докажите равенство треугольников $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ .
Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках $A, B, C$ , а параллельную ей плоскость в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ (рис. 7). Докажите подобие треугольников $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Контрольные вопросы

Какие плоскости называются параллельными?
Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
Сформулируйте свойства параллельных плоскостей.

Ответы

Упражнение 1

Рис. 8

Дано:

$α | | β$

$m \subset α$

_______________________

Доказать:

$m | | β$

Доказательство

Предположим, что прямая $m$ не параллельна плоскости $β$ . Тогда прямая $m$ и плоскость $β$ пересекаются в некоторой точке M. В таком случае точка M принадлежит каждой из параллельных плоскостей $α$ и $β$ , а это невозможно. Значит, предположение, что $m$ не параллельна плоскости $β$ , неверно. Следовательно, $m | | β$ .

Что и требовалось доказать.

Рис. 9

Дано:

Треугольники $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A_{2} B_{2} C_{2}$ не лежат в одной плоскости;

$O A_{1} = O A_{2}$ ;

$O B_{1} = O B_{2}$ ;

$O C_{1} = O C_{2} .$
________________________________________

Доказать:

$(A_{1} B_{1} C_{1}) | | (A_{2} B_{2} C_{2})$

Доказательство

Рассмотрим плоскость пересекающихся прямых $A_{1} A_{2}$ и $B_{1} B_{2}$ .

Треугольники $A_{1} B_{1} O$ и $A_{2} B_{2} O$ , лежащие в этой плоскости равны по двум сторонам и углу между ними (у них $O A_{1} = O A_{2},$ $O B_{1} = O B_{2},$ $∠ A_{1} O B_{1} = ∠ A_{2} O B_{2}) .$ Из равенства этих треугольников следует равенство углов $A_{1} B_{1} O$ и $A_{2} B_{2} O$ . Это накрест лежащие углы по отношению к прямым $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}$ и секущей $B_{1} B_{2}$ . По признаку параллельности $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}$ параллельны.

Аналогично доказывается, что $A_{1} C_{1}, A_{2} C_{2}$ тоже параллельны.

Таким образом две пересекающиеся прямые плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ параллельны двум прямым плоскости $A_{2} B_{2} C_{2}$ . По признаку параллельности плоскостей, плоскости $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A_{2} B_{2} C_{2}$ параллельны. Что и требовалось доказать.

Упражнение 2

Рис. 10

Прямые $A A_{1}, B B_{1}$ и $C C_{1}$ параллельны (рис. 10). Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны (свойство 2). Отсюда следует, что $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1}$ . Так как в четырёхугольнике $A B B_{1} A_{1}$ противоположные стороны $A A_{1}$ и $B B_{1}$ параллельны и равны, то $A B B_{1} A_{1}$ – параллелограмм и, значит, $A B = A_{1} B_{1}$ . Аналогично доказывается и то, что $A C = A_{1} C_{1}$ и $B C = B_{1} C_{1}$ . Треугольники $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ равны по трем сторонам.

Прямые

S A

S B

пересекаются, а значит лежат в одной плоскости (рис. 7). По первому свойству параллельных плоскостей, плоскость этих прямых пересекает параллельные плоскости треугольников

A B C

A_{1} B_{1} C_{1}

по параллельным прямым (свойство 1).

Следовательно, $A B | | A_{1} B_{1}$ .

Аналогично доказывается, что $A C | | A_{1} C_{1}$ и $B C | | B_{1} C_{1}$ .

По теореме об углах с сонаправленными сторонами $∠ A B C = ∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ и $∠ B A C = ∠ B_{1} A_{1} C_{1}$ . Так как два угла треугольника $A B C$ соответственно равны двум углам треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ , то эти треугольники подобны.

Конспект урока: Параллельные плоскости. Свойства параллельных плоскостей

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве