- Двугранный угол
- Признак перпендикулярности двух плоскостей
- Знать определение двугранного угла
- Уметь определять величину двугранного угла
- Знать какие плоскости называются перпендикулярными
- Уметь доказывать и применять признак перпендикулярности плоскостей
- Какую фигуру на плоскости называют углом?
- Какие прямые называются перпендикулярными?
- Как определяется угол между прямыми на плоскости и в пространстве?
Двугранный угол
Из планиметрии мы знаем, что углом на плоскости называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Наряду с этим в стереометрии рассматривают ещё и двугранный угол. Дадим определение этого понятия.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 1). Полуплоскости называются гранями , а ограничивающая их прямая – ребром двугранного угла .
Если на разных гранях двугранного угла отмечены точки и , а на ребре этого угла отмечены точки и , то данный угол обозначают (рис. 1).
Примерами, иллюстрирующими двугранный угол, могут быть полураскрытая книга, двускатная крыша, раскрытый ноутбук и т. д.
Углы на плоскости, как известно, можно измерить с помощью транспортира. Каким же образом можно измерить двугранные углы?
Отметим на ребре двугранного угла некоторую точку.
В каждой грани из этой точки проведём луч перпендикулярно к ребру. Величина угла, образованного этими лучами не зависит от выбора точки на ребре. Поэтому построенный таким образом угол и используют для измерения величины двугранного угла. Называют такой угол линейным углом двугранного угла .
Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
На рисунке 2 из точки , лежащей на ребре двугранного ребра в каждой грани проведены перпендикуляры к этому ребру и . Угол является линейным углом двугранного угла.
Понятия прямого, острого и тупого угла распространяются и на двугранные углы.
Двугранный угол называется прямым, если он равен .
Двугранный угол называется острым, если он меньше .
Двугранный угол называется тупым, если он больше .
Пример 1
Из точек и , лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры и на ребро угла. Найдите длину отрезка , если и двугранный угол равен .
Решение
Проведём прямые параллельно и параллельно (рис. 3). Четырёхугольник – параллелограмм, значит, . Прямая перпендикулярна плоскости треугольника , так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости и . Следовательно, параллельная ей прямая тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник – прямоугольный с прямым углом . Из теоремы косинусов для :
.
По теореме Пифагора для треугольника , найдём :
.
Ответ: .
Упражнение 1
1. Двугранный угол равен . Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на 12 см. Найдите расстояние от данной точки до второй грани.
2. Равнобедренный треугольник и правильный треугольник не лежат в одной плоскости. Отрезок является перпендикуляром к плоскости . Найдите двугранный угол если см, см.
Признак перпендикулярности двух плоскостей
При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 4).
Обозначим один из углов, а именно тот, который не превосходит , буквой .
Этот угол принимают за угол между пересекающимися плоскостями.
Другие три угла равны соответственно , и . Очевидно, что если , то и остальные углы равны .
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными , (взаимно перпендикулярными) если угол между ними равен .
Примером перпендикулярных плоскостей являются смежные стены комнаты, а также стена и потолок комнаты.
Сформулируем и докажем признак перпендикулярности плоскостей.
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Доказательство
Пусть плоскость проходит через прямую , перпендикулярную к плоскости и пересекающую её в точке (рис. 5). Докажем, что .
Плоскости и пересекаются по некоторой прямой . Так как прямая перпендикулярна к плоскости , то прямая перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости, значит .
Если в плоскости провести прямую , перпендикулярную к прямой , угол будет представлять собой линейный угол двугранного угла (двугранный угол, образованный при пересечении плоскостей и ). При этом , так как прямая перпендикулярна к плоскости . Следовательно, угол между плоскостями и равен . Значит .
Теорема доказана.
Из рассмотренного признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из данных плоскостей.
Пример 2
Прямая проходит через вершину треугольника , причём и . Докажите перпендикулярность плоскостей и .
Решение
Прямая перпендикулярна к пересекающимся прямым и (рис. 6).
Следовательно, прямая перпендикулярна к плоскости . Значит, плоскость проходит через прямую , перпендикулярную плоскости . По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость перпендикулярна плоскости . Что и требовалось доказать.
Пример 3
Дан параллелепипед , все грани которого прямоугольники. Вычислите градусную меру двугранного угла если см, см, см.
Решение
, — наклонная к ,
— проекция наклонной на , (по определению прямоугольника), тогда по теореме о трех перпендикулярах . Значит, — линейный угол двугранного угла .
Из треугольника , по теореме Пифагора, см.
Из треугольника : , следовательно, .
Ответ: .
Контрольные вопросы
- Что называют двугранным углом?
- Что принимают за градусную меру двугранного угла?
- Какие плоскости называют взаимно перпендикулярными?
- Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.
Упражнение 1
- 6 см.
- 30o.